中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第17講 解直角三角形中的“擁抱”型（解析版）

第17講解直角三角形中的“擁抱”型【應(yīng)對方法與策略】【模型展示】【多題一解】一、解答題1．（2017·陜西·中考真題）某市一湖的湖心島有一顆百年古樹，當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達(dá)，每年初春時(shí)節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離，于是，有一天，他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來測量這個(gè)距離．測量方法如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°，此時(shí)測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米，然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°，這時(shí)測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請你利用以上測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【答案】34米．【詳解】試題分析：作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN=x米，則BD=CE=x米，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．試題解析：如圖，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN=x米，則BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x?tan23°，在Rt△MCE中，ME=x?tan24°，∵M(jìn)E﹣MD=DE=BC，∴x?tan24°﹣x?tan23°=1.7﹣1，∴x=，解得x≈34（米）．答：“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長約為34米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．2．（2022秋·全國·九年級期末）如圖,某幢大樓頂部有廣告牌CD,小宇身高M(jìn)A為1.89米,他站在立在離大樓45米的A處測得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為30°;接著他向大樓前進(jìn)15米,站在點(diǎn)B處測得廣告牌頂端點(diǎn)C的仰角為45°.(1)求這幢大樓的高DH;(2)求這塊廣告牌CD的高度.(取≈1.732,計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù))【答案】（1）樓高DH為27.9米；（2）廣告牌CD的高度為4.0米.【分析】在Rt△DME與Rt△CNE；應(yīng)利用ME-NE=AB=15構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可解即可求出答案．【詳解】解:(1)在Rt△DME中,ME=AH=45;由tan30°=,得DE=45×≈15×1.732=25.98;又因?yàn)镋H=MA=1.89,故大樓DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9.(2)在Rt△CNE中,NE=45-15=30,由tan45°=,得CE=NE=30,因而廣告牌CD=CE-DE=30-25.98≈4.0.答:樓高DH為27.9米,廣告牌CD的高度為4.0米.【點(diǎn)睛】本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.3．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）某公園的人工湖邊上有一座山，山頂上有一直豎的建筑物，高為10米.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測量山的高度，在公園找了一水平地面，在處測得建筑物點(diǎn)（即山頂）的仰角為，沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)，測得建筑物頂部點(diǎn)的仰角為，求山的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】假山的高度DE約為70米．【分析】過點(diǎn)D作水平線的垂線，利用直角三角形中的三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作水平線的垂線，即（DE⊥AB），垂足為E，則C、D、E在一條直線上，設(shè)DE的長為x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE約為70米．【點(diǎn)睛】此題是解直角三角形的應(yīng)用---仰角和俯角，解本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)解答．4．（2021·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）宋家州主題公園擬修建一座柳宗元塑像，如圖所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在處測得塑像底部的仰角為，再沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測得塑像頂部的仰角為，求柳宗元塑像的高度.（精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】柳宗元塑像的高度約為.【分析】在中，利用正切函數(shù)的定義求得AC的長，繼而求得BC的長，在中，同樣利用正切函數(shù)的定義求得CD的長，從而求得結(jié)果.【詳解】在中，∵，，，∴，∴∵∴在中，∵，，，∴，∴∴答：柳宗元塑像的高度約為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－俯角仰角問題，要先將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分別在兩個(gè)不同的直角三角形中，借助三角函數(shù)的知識，研究角和邊的關(guān)系.5．（2021·河南·九年級專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米【分析】設(shè)，則，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，從而可計(jì)算得出DE的值．【詳解】解：在Rt△ACD中，，則.設(shè)，則在Rt△BCD中，.∴∴

解得：.

在Rt△ACE中，.∴答：塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度不大，但容易在計(jì)算上面出錯．6．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為米的發(fā)射塔，如圖所示，在山腳平地上的處測得塔底的仰角為，向小山前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，測得塔頂?shù)难鼋菫椋笮∩降母叨龋敬鸢浮啃∩降母叨葹槊住痉治觥吭O(shè)塔高BC為x米，根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的關(guān)系式，求出x,進(jìn)而得出小山的高．【詳解】解：設(shè)為米，則米，∵∴，而米，在中，，則米，米，在中，，解得．答：小山的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確理解仰角和俯角的概念是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋·云南昆明·九年級云南師大附中?？计谀?shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度約為64m．【分析】根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)DE=xm，則DC=(x+54)m，在Rt△DCB中，tan∠DBC=，∴BC===(x+54)，在Rt△ECA中，tanA=，∴AC=≈=90，由題意得，90﹣(x+54)=22，解得，x≈64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2020·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測）山西大學(xué)主校區(qū)內(nèi)有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大學(xué)的標(biāo)志性建筑之一，目前已被列入保護(hù)文物．綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)們開展了測量這一毛主席塑像高度的活動．他們在該塑像底部所在的平地上，選取一個(gè)測點(diǎn)，測量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測傾器后二次測量了塑像頂端的仰角．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)及測傾器高度時(shí)，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表．課題測量毛主席塑像的高度組長：XXX

組員：XXX，XXX，XXX測傾器，皮尺等成員測量工具測量示意圖說明：線段的長表示塑像從最高點(diǎn)到地面之間的距離，為測點(diǎn)，線段，表示測傾器（點(diǎn)在上），點(diǎn)，，，，都在同一豎直平面內(nèi)，且，；、表示兩次測量的仰角，點(diǎn)，在上．測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)測傾器的高測傾器的高任務(wù)：（1）根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出毛主席塑像的高度；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）（2）該綜合與實(shí)踐小組在制定方案時(shí)，討論“用已知高度的側(cè)傾器測出仰角，再測出的長來計(jì)算塑像高度”的方案，但未被采納，你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度為；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃涞撞坎豢芍苯拥竭_(dá)，不能準(zhǔn)確測出．【分析】（1）根據(jù)題意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG和ADF分別用正切函數(shù)寫出對應(yīng)邊的式子，即可求得AG的長度，則AB的長度可求；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃涞撞坎豢芍苯拥竭_(dá)，不能準(zhǔn)確測出BC．【詳解】解：（1）由題意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，∴，∴四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，∴BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，且，即，在ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，，即，∴，即，解得：AG=10.56m，∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，答：毛主席塑像的高度為12.26米．（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃?，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測出BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出兩個(gè)直角三角形，并運(yùn)用正切函數(shù)寫出對應(yīng)邊的比例式子．9．（2021秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在某市景區(qū)主干道路旁矗立著一塊景區(qū)指示牌，小明駕駛汽車由東向西行駛，到達(dá)點(diǎn)C處，測得景區(qū)指示牌的上沿M處仰角為30°；前進(jìn)8米后到達(dá)B處，測得景區(qū)指示牌的下沿N處仰角為45°，再前進(jìn)4米后到達(dá)景區(qū)指示牌底部A處，求指示牌的高M(jìn)N長（結(jié)果精確到0.1米，=1.414，=1.732）【答案】MN2.9米【分析】通過兩次解直角三角形計(jì)算出AN和AM，再根據(jù)AM-AN即可求出MN