中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第18講 等腰三角形中的分類(lèi)討論（原卷版）

第18講等腰三角形中的分類(lèi)討論【應(yīng)對(duì)方法與策略】當(dāng)給出等腰三角形的一條邊時(shí)，我們要確定這條邊到底是腰還是底邊，同時(shí)還要確保三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊。如果邊不確定，那么一定要分類(lèi)討論！當(dāng)給出等腰三角形的一個(gè)角時(shí)，也要確定這個(gè)角是底角還是頂角。如果題中沒(méi)有明顯說(shuō)明，那么一定要分類(lèi)討論！【多題一解】【一題多解】一、解答題1．（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中（長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），問(wèn)：(1)當(dāng)t＝1s時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，半徑為1的經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，，過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、B、C．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；(3)若點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，從點(diǎn)出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．4．（2021·福建福州·統(tǒng)考一模）如圖，直角梯形ABCD中，．點(diǎn)E為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線(xiàn)A→B→C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BP=_________________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果以D、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，求t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)LDC，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)Q，使四邊形DQPE為直角梯形，求此時(shí)直角梯形DQPE與直角梯形ABCD面積之比．5．（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒，0．(1)當(dāng)t=2秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（直接寫(xiě)答案）6．（2023秋·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M，邊交y軸于點(diǎn)H．(1)求直線(xiàn)的函數(shù)解析式及的長(zhǎng)；(2)連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；(3)在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以為腰的等腰三角形？如存在，直接寫(xiě)出t的值；如不存在，說(shuō)明理由．7．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，是第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)連接交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)瑞安市安陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，連接．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著線(xiàn)段以個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求線(xiàn)段的長(zhǎng)．(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)作線(xiàn)段的垂線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為(如圖2)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)恰好落在內(nèi)部(不含邊界)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．9．（2023秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，連接．①的度數(shù)為_(kāi)_____；②線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，和都是等腰三角形，，點(diǎn)B、D，E在同一條直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．10．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作，交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．11．（2022·福建廈門(mén)·廈門(mén)市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀材料：如圖①，與都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)在邊上，、的中點(diǎn)均為，連接、、，顯然，點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，可以證明，所以．解決問(wèn)題：（1）將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，猜想此時(shí)線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖③，若與都是等邊三角形，、的中點(diǎn)均為，上述（1）中結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)求出與之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖④，若與都是等腰三角形，、的中點(diǎn)均為，且頂角，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系（用含有的式子表示出來(lái)）．12．（2022秋·重慶巴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線(xiàn)（a≠0）與軸交于點(diǎn)A（，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、C．(1)求，的值；(2)如圖1，點(diǎn)在已知拋物線(xiàn)上，且位于第二象限，當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，將已知拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位．記平移后的拋物線(xiàn)為，若拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q．點(diǎn)E是新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)△PQE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．13．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考一模）如圖，中，，，．點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)．點(diǎn)為射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持．(1)求證：；(2)設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出該函數(shù)的定義域；(3)聯(lián)結(jié)，交線(xiàn)段于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．14．（2021·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D1，已知拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值．(3)如圖2，點(diǎn)Q為對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)DQ分別與y軸、直線(xiàn)AC交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．15．（2023秋·遼寧丹東·九年級(jí)