2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題3 數(shù)列-專項突破三 數(shù)列解答題【課件】

專項突破三

數(shù)列解答題專題三2025突破求數(shù)列的通項及前n項和必備知識?精要梳理1.分組轉(zhuǎn)化法具有下列特點的數(shù)列常用分組轉(zhuǎn)化法求和:(1)an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.2.錯位相減法一般地,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法,一般是和式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解.3.裂項相消法實質(zhì)是將數(shù)列的通項分解為兩項之差,求和時能消去中間的一些項,最終達到求和的目的,其解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地裂項和消項.(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破考向一

分組轉(zhuǎn)化法求和(1)若數(shù)列{bn}滿足bn=a2n-1(n∈N*),求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an}的通項公式,并求S2n.解

(1)因為數(shù)列{an}滿足a1=1,所以bn+1=a2n+1=3a2n+2=3(2a2n-1+1)+2=6a2n-1+5=6bn+5.因為b1+1=a1+1=2≠0,且bn+1+1=6(bn+1),所以數(shù)列{bn+1}是首項為2,公比為6的等比數(shù)列.所以bn+1=2·6n-1,則bn=2·6n-1-1.解題心得分組轉(zhuǎn)化法求和的類型和解題技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

(2)有些數(shù)列的項和項數(shù)的奇偶有關(guān),有些數(shù)列的項有周期性,有些數(shù)列的項與三角函數(shù)值相關(guān),求解上述條件下數(shù)列和的問題時,可以將原數(shù)列的通項轉(zhuǎn)化為若干個簡單數(shù)列的通項的和差,整體轉(zhuǎn)化后求和.精典對練·得高分已知等差數(shù)列{an}的首項為2,前n項和為Sn,正項等比數(shù)列{bn}的首項為1,且滿足a3=2b2,S5=b2+b4.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求數(shù)列{cn}的前26項和.∴cn=(-1)nlog3[n(n+1)]+log33n-1=(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)+n-1.設(shè){cn}的前n項和為Tn,則T26=(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2)+…+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)數(shù)學(xué)思想·擴思路轉(zhuǎn)化與化歸思想已知等差數(shù)列{an}滿足a2=4,a3+a4=17.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,從下列三個條件中任選一個作為已知,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn.①bn+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn.點評有些數(shù)列求和問題,通過分組或并項,將不易直接求和的問題轉(zhuǎn)化為容易求和的問題,這一過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.考向二

裂項相消法求和[例2]已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(1)解

因為a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2,①所以當(dāng)n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2.②①-②,得nan=(n-1)2n+1-(n-2)2n,即an=2n(n≥2).當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式.所以an=2n.(2)證明

因為log2an=log22n=n,解題心得(1)裂項相消法求和的基本步驟

(2)利用裂項相消法求和需注意:①檢驗通項公式裂項前后是否等價.②求和時,正負項相消,消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項.精典對練·得高分(2024·廣西壯族自治區(qū)二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d為整數(shù),S3=21,且a1,a2+1,a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;一題多解·練思維已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,給出條件:若

,

(1)求m的值及數(shù)列{an}的通項公式;考向三

錯位相減法求和[例3](2024·浙江金華高三模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=3,公差d≠0,且a1,a7,a25構(gòu)成等比數(shù)列,(1)求an;(2)設(shè)f(n)=an,若存在數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=7,b3=25,且數(shù)列{f(bn)}為等比數(shù)列,求{anbn}的前n項和Sn.解

(1)∵{an}是等差數(shù)列,a1=3,d≠0,∴a7=a1+6d,a25=a1+24d.∵a1,a7,a25構(gòu)成等比數(shù)列,∴(a1+6d)2=a1(a1+24d),∴a1=3d=3,∴d=1,∴an=n+2.

方法技巧已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是公比為q(q≠0,q≠1)的等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{anbn}的前n項和.利用錯位相減法求數(shù)列{anbn}的前n項和的基本步驟精典對練·得高分

易錯防范·不丟分

即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因為an>0,所以an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n.選②,因為nan+1=2Sn,所以當(dāng)n≥2時,(n-1)an=2Sn-1,所以nan+1-(n-1)an=2Sn-2Sn-1=2an,即nan+1=(n+1)an,誤區(qū)警示應(yīng)用錯位相減法求和對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)有較高的要求.容易出現(xiàn)兩個錯誤:一是相減時弄錯最后一項的符號;二是忘記把相減后所得等式的左邊的式子的系數(shù)化為1.考向四

數(shù)列中的存在性問題[例4]已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40.設(shè)bn=log2an.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(1)解

設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則a1+a1q2=10,a1q2+a1q4=40,解得a1=2,q=2,所以an=2n,bn=log22n=n.解題心得假設(shè)推理法解數(shù)列存在性問題解決數(shù)列中的存在性問題的一般方法是假設(shè)推理法,即先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立,以此假設(shè)為前提進行運算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的結(jié)果.精典對練·得高分①{bn}為等比數(shù)列,b1=a1,3b2=a2,②{bn}為等差數(shù)列,2b1=a1,4b2=a2,③{bn}為等比數(shù)列,b1=a1+2,b2=a2+4.在這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并解答.又a1=2滿足an=(2n-1)·2n,所以an=(2n-1)·2n.若選①,設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0).由已知得b1=2,b2=2q=4,則q=2,所以bn=2×2n-1=2n.由Sk=k2≥2

023,k∈N*,可得k≥45,所以存在正整數(shù)k,使得Sk≥2

023成立,且k的最小值為45.若選②,設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.由已知得b1=1,b2=3,則d=b2-b1=2,由Sk=2k+1-2≥2

023,k∈N*得k≥10,所以存在正整數(shù)k,使得Sk≥2

023成立,且k的最小值為10.若選③,設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0).數(shù)學(xué)思想·擴思路函數(shù)與方程思想在數(shù)列{an}中,a1=1,a1