2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題4 立體幾何-第2講 空間位置關(guān)系的判斷與證明【課件】_第1頁
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文檔簡介

第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明專題四2025內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.直線、平面平行的判定與性質(zhì)(1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.(3)面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α.(4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.2.直線、平面垂直的判定與性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?β⊥α.(4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.3.定義法求空間角求空間角的大小,一般是根據(jù)相關(guān)角(異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角)的定義,把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來求解.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判斷與證明命題角度1有關(guān)線面位置關(guān)系的命題的真假判斷[例1-1]設(shè)α,β是空間兩個(gè)不同平面,a,b,c是空間三條不同直線,下列命題為真命題的是(

)A.若α∥β,b∥α,則b∥βB.若a與b相交,a∥α,b∥β,則α與β相交C.若α⊥β,a∥α,則a⊥βD.若α⊥β,α∩β=a,b?α,b⊥a,c⊥β,則b∥cD解析

對于A選項(xiàng),若α∥β,b∥α,則b∥β或b?β,故A中命題為假命題.對于B選項(xiàng),若直線a與b相交,a∥α,b∥β,則α與β相交或平行,故B中命題為假命題.對于C選項(xiàng),若α⊥β,a∥α,則a與β的位置關(guān)系不確定,故C中命題為假命題.對于D選項(xiàng),若α⊥β,α∩β=a,b?α,b⊥a,則b⊥β,又c⊥β,所以b∥c,故D中命題為真命題.故選D.名師點(diǎn)析判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的3種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)借助反證法,當(dāng)從正面入手較難時(shí),可利用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾,進(jìn)而作出判斷.(3)借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行判斷.對點(diǎn)練1(2024·天津,6)若m,n為兩條直線,α為一個(gè)平面,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若m∥α,n∥α,則m⊥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m∥α,n⊥α,則m⊥nD.若m∥α,n⊥α,則m與n相交C解析

對于A,B,若m∥α,n∥α,則m與n可能平行、相交或異面,故A,B錯(cuò)誤;對于C,D,若m∥α,n⊥α,則m⊥n,且m與n可能相交,也可能異面,故C正確,D錯(cuò)誤.命題角度2空間幾何體中線面位置關(guān)系的判斷[例1-2](2022·全國乙,理7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1DA解析

如圖,對于A,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC.在正方體ABCD

-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯(cuò)誤.對于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯(cuò)誤.對于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯(cuò)誤.名師點(diǎn)析空間幾何體中線面位置關(guān)系的判斷方法(1)明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,明確其中已有的平行、垂直關(guān)系.(2)熟練掌握線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,并能靈活運(yùn)用.對點(diǎn)練2如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則(

)

A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1A解析

如圖,連接AD1,則AD1經(jīng)過點(diǎn)M,且M為AD1的中點(diǎn).又N為BD1的中點(diǎn),所以MN∥AB.又MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方體ABCD

-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D?平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四邊形ADD1A1為正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,∴直線A1D與直線D1B垂直.易知直線A1D與直線D1B異面.故選A.突破點(diǎn)二空間角的定義求法[例2-1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為(

)D[例2-2](2022·全國甲,理7)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°,則(

)A.AB=2AD B.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC=CB1

D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D名師點(diǎn)析用定義法求空間角的基本步驟(1)作:根據(jù)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角的定義,在空間圖形中作出相應(yīng)的角.(2)證:證明作出的角是異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角.(3)求:在三角形中,計(jì)算所作出的角,通常要用勾股定理、余弦定理等.對點(diǎn)練3(1)如圖,圓臺OO1的上底面半徑為O1A1=1,下底面半徑為OA=2,母線長AA1=2,過OA的中點(diǎn)B作OA的垂線交圓O于點(diǎn)C,則異面直線OO1與A1C所成角的大小為(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°B解析

如圖,在直角梯形OO1A1A中,∵B為OA的中點(diǎn),OA=2,∴O1A1=OB=AB=1,連接A1B,易知四邊形OO1A1B為矩形,∴OO1∥A1B,∴∠BA1C為異面直線OO1與A1C所成的角.在Rt△AA1B中,AA1=2,AB=1,在Rt△A1BC中,∵BC=A1B,∴∠BA1C=45°.故選B.(2)(2021·山東濟(jì)南二模)已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍,則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為

.

突破點(diǎn)三立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題[例3]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng),給出以下3個(gè)結(jié)論:①三棱錐D-BPC1的體積為定值;②異面直線C1P與CB1所成的角為定值;③二面角P-BC1-D的大小為定值.其中正確結(jié)論有(

)A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)D

名師點(diǎn)析立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題及解法(1)立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,求面積、體積及角的取值范圍,判斷位置關(guān)系等問題.(2)立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題的解法:①根據(jù)已知的定義、定理、性質(zhì)等推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡;②注意轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用;③注意動(dòng)態(tài)問題中不變的量與位置關(guān)系.對點(diǎn)練4(多選題)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,P為AA1的中點(diǎn),AB=4,BC=3,BB1=8,點(diǎn)M在面AA1B1B內(nèi)運(yùn)動(dòng),則下列說法正確的是(

)A.存在點(diǎn)M,使BM∥CPC.存在點(diǎn)M(異于點(diǎn)P),使P,M,C,D1四點(diǎn)共面D.若點(diǎn)M到面ABCD的距離與它到點(diǎn)A1的距離相等,則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分BCD解析

對于A,假設(shè)存在點(diǎn)M,使BM∥CP,因?yàn)锽M?平面ABB1A1,CP?平面ABB1A1,所以CP∥平面ABB1A1,與CP∩平面ABB1A1=P矛盾,所以A錯(cuò)誤.對于B,如圖,連接AC,因?yàn)锳B=4,BC=3,AB⊥BC,所以AC=5.因?yàn)镻為AA1的中點(diǎn),AA1=BB1=8,所以PA=4,所以B正確.對于C,如圖,取AB的中點(diǎn)N,連接PN,A1

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