2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算講義文

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算總綱目錄教材研讀1.向量的有關(guān)概念考點突破2.向量的線性運(yùn)算3.共線向量定理考點二向量的線性運(yùn)算考點一向量的有關(guān)概念考點三共線向量定理的應(yīng)用1.向量的有關(guān)概念教材研讀名稱定義備注向量既有①大小

又有②方向

的量;向量的

大小叫做向量的③長度

(或④模

)向量由方向和長度確定,不受位置影響零向量長度為⑤0

的向量;其方向是任意的記作⑥0

單位向量長度等于⑦1個單位

的向量非零向量a的單位向量為±

平行向量方向⑧

相同或相反

的非零向量0與任一向量⑩平行

或共線共線向量⑨

方向相同或相反

的非零向量又叫做共線向量相等向量長度?相等

且方向?相同

的向量兩向量不能比較大小相反向量長度?

相等

且方向?相反

的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算的常用結(jié)論(1)在△ABC中,D是BC的中點,則

=

(

+

);(2)O為△ABC的重心的充要條件是

+

+

=0;(3)四邊形ABCD中,E為AD的中點,F為BC的中點,則

+

=2

.3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ,使得

b=λa

.

1.下列說法正確的是

()A.

∥

就是

所在的直線平行于

所在的直線B.長度相等的向量叫相等向量C.零向量長度等于0D.共線向量是在同一條直線上的向量答案

C

∥

包含

所在的直線與

所在的直線平行和重合兩種情況,故A錯;相等向量不僅要求長度相等,還要求方向相同,故B錯;零

向量長度為0,故C正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以

是所在直線互相平行的向量,故D錯.C2.(2016北京西城期末)設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點,且

=

,則

=

()A.

-

B.

+

C.

(

-

)

D.

(

+

)答案

D∵M(jìn)是△ABC所在平面內(nèi)一點,且

=

,∴M為BC的中點,∴

=

(

+

).故選D.D3.(2017北京海淀二模)已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,則x=

()A.-3

B.-

C.

D.

答案

B∵a=(x,1),b=(3,-2),且a∥b,∴-2x-3=0,∴x=-

.B4.(2017北京海淀期中)在正方形ABCD中,E是線段CD的中點,若

=λ

+μ

,則λ-μ=

.答案

解析在正方形ABCD中,E是線段CD的中點,因為

=

+

=

+

=

-

+

=

+

+

=

+

=λ

+μ

,所以λ=

,μ=1,所以λ-μ=

,故答案為

.考點一向量的有關(guān)概念考點突破典例1給出下列命題:(1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若A、B、C、D是不共線的四點,則

=

是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;(3)若a=b,b=c,則a=c;(4)兩向量a、b相等的充要條件是|a|=|b|且a∥b;(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中假命題的個數(shù)為

()A.2

B.3

C.4

D.5B答案

B解析(1)不正確.兩個向量的模相等,但它們的方向不一定相同,因此由|

a|=|b|推不出a=b.(2)正確.若

=

,則|

|=|

|且

∥

.又∵A、B、C、D是不共線的四點,∴四邊形ABCD是平行四邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB

DC且

與

方向相同,因此

=

.(3)正確.∵a=b,∴a、b的長度相等且方向相同.∵b=c,∴b、c的長度相等且方向相同.∴a、c的長度相等且方向相同,∴a=c.(4)不正確.當(dāng)a∥b,但方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故

不是a=b的充要條件.(5)不正確.若b=0,則a與c不一定共線.易錯警示(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時,不要把它

與函數(shù)圖象的移動混為一談.(4)非零向量a與

的關(guān)系:

是a方向上的單位向量.1-1設(shè)a,b都是非零向量,下列四個條件中,使

=

成立的充分條件是

()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案

C因為向量

的方向與向量a相同,向量

的方向與向量b相同,且

=

,所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項A,B,D.當(dāng)a=2b時,

=

=

,故a=2b是

=

成立的充分條件.C1-2給出下列命題:①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量.②兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.③若λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零.④若λa=μb(λ,μ為實數(shù)),則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C①錯誤,兩向量是否共線要看其方向,而不是起點或終點.②

正確,因為向量既有大小,又有方向,故兩個向量不能比較大小,但兩個向

量的模均為實數(shù),故可以比較大小.③錯誤,當(dāng)a=0時,無論λ為何值,均有λa

=0.④錯誤,當(dāng)λ=μ=0時,λa=μb=0,此時,a與b可以是任意向量.故選C.C1-3如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,則圖中與

相等的向量有

.

答案

,

,

,

,

典例2(1)(2017北京西城一模)在△ABC中,點D滿足

=3

,則

(

)A.

=

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

(2)(2016北京海淀期末)如圖,正方形ABCD中,E為DC的中點,若

=λ

+μ

,則λ+μ的值為

()考點二向量的線性運(yùn)算A.

B.-

C.1

D.-1答案(1)C(2)A解析(1)∵點D滿足

=3

,∴

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

.故選C.(2)因為E為DC的中點,所以

=

+

=

+

+

=

+(

+

)=

+

,故

=-

+

,所以λ=-

,μ=1,所以λ+μ的值為

.1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等

向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示

出來求解.方法指導(dǎo)2.利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形,確定每一個點的位置.(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為要求的向量形

式.(3)比較、觀察可知所求.2-1在△ABC中,

=c,

=b.若點D滿足

=2

,則

=

()A.

b+

cB.

c-

bC.

b-

cD.

b+

c答案

D由題意可知

=

-

=b-c,∵

=2

,∴

=

=

(b-c),則

=

+

=

+

=c+

(b-c)=

b+

c.故選D.D2-2

(2017北京海淀一模)在△ABC中,點D滿足

=2

-

,則(

)A.點D不在直線BC上

B.點D在BC的延長線上C.點D在線段BC上

D.點D在CB的延長線上答案

D

=2

-

=

+

-

=

+

.如圖,以B為始點,作

=

,連接AD',則

+

=

+

=

=

.∴D'和D重合,∴點D在CB的延長線上,故選D.

D典例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.考點三共線向量定理的應(yīng)用解析(1)證明:∵

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),∴

=

+

=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5

,∴

,

共線,又它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是兩個不共線的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.1.共線向量定理的應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線,也可以由向量共線求參數(shù)的

值.(2)若a,b不共線,則λa+μb=0的充要條件是λ=μ=0,這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)

法應(yīng)用非常廣泛.方法技巧2.證明三點共線的方法若

=λ

,則A、B、C三點共線.變式3-1若將本例(1)中“

=2a+8b”改為“

=a+mb”,則m為何值時,A、B、D三點共線?解析

+

=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即

=4a+(m-3)b.若A、B、D三點共線,則存在實數(shù)λ,使

=λ

,即4a+(m-3)b=λ(a+b),∴

解得m=7.故當(dāng)m=7時,A、B、D三點共線.變式3-2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解析因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以

所以k=±1.又λ<0,k=