9.4 矩形、菱形、正方形（第4課時(shí)）（同步課件）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（蘇科版）

第9章·中心對(duì)稱圖形——平行四邊形

9.4矩形、菱形、正方形（4）

第4課時(shí)菱形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并證明菱形的判定定理;2.能應(yīng)用菱形的判定定理解決問題，進(jìn)一步體會(huì)推理的基本方法.

將2張等寬的矩形紙片疊合在一起(如圖)，請(qǐng)你猜想它是什么特殊的四邊形？請(qǐng)動(dòng)手疊一疊.問題情境BADC1.我們知道，菱形的四條邊都相等．反過來，四條邊都相等的四邊形是菱形嗎？思考與探索證明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.BADC思考與探索2.我們知道，當(dāng)平移一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架的一邊，使這個(gè)平行四邊形成菱形時(shí)，它的兩條對(duì)角線互相垂直，反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？BADCO已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O

，AC⊥BD.求證：?ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是線段AC的垂直平分線.∴BA=BC.

∴?ABCD是菱形.還有其它證明方法嗎？新知?dú)w納四邊相等的四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形.BADCO新知?dú)w納ABCD四邊形ABCD四邊相等BD?ABCDAC有一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直判斷一個(gè)四邊形是菱形有哪些方法？BADCO菱形ABCD對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形嗎？討論與交流新知鞏固①有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.()②四條邊都相等的四邊形是菱形.()③對(duì)角線互相平分且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.()④對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形.()⑤對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．()判斷：×√√×√新知應(yīng)用BADC猜想：四邊形ABCD是菱形.易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.EF

例題講解例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．OBADCFE12證法1：∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴?AFCE是菱形.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴?AFCE是菱形.例題講解例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．OBADCFE12證法2：∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，AF=CF.∴AE=CE=AF=CF.∴四邊形AFCE是菱形.1.如圖，E、F、G、H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，四邊形EFGH是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論?解：四邊形EFGH是菱形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵E、F、G、H分別是矩形的各邊中點(diǎn)∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH(SAS)∴EH=EF=GF=GH，∴四邊形EFGH是菱形.ABCDGFHE新知鞏固中點(diǎn)四邊形新知鞏固2.

已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，CE∥DB.求證：四邊形OBEC是菱形.ABCDOE

新知鞏固3.

已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F.求證：四邊形ABEF是菱形.ABCDEFABC

課堂小結(jié)9.4矩形、菱形、正方形(4)有一組鄰邊相等的平行四邊形四邊相等的四邊形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形1.下列命題中正確的是(

)A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線垂直的四邊形是菱形D.對(duì)角線相等的四邊形是菱形當(dāng)堂檢測(cè)B當(dāng)堂檢測(cè)2.

如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是()A.

AB＝AC B.

AD＝BD

C.

BE⊥AC

D.

BE平分∠ABCDDEFABC當(dāng)堂檢測(cè)3.在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的一半長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF.則可以得到四邊形AEDF的形狀(

)A.僅僅只是平行四邊形B.是矩形

C.是菱形D.無(wú)法判斷C當(dāng)堂檢測(cè)第4課時(shí)菱形的判定4.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，且OB＝OD，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件__________________________________________________，使四邊形ABCD成為菱形．(只需添加一個(gè)即可)答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等BADCO當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，則四邊形OCED的周長(zhǎng)是________.20EABCDO當(dāng)堂檢測(cè)6.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AO＝OC＝6cm，BO＝OD＝8cm，AB＝10cm，四邊形ABCD是菱形嗎？請(qǐng)說明理由.BADCO解：四邊形ABCD是菱形，理由如下：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AO＝6cm，BO＝8cm，AB＝10cm，∴AO2＋BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．當(dāng)堂檢測(cè)7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，BF＝DE＝3.求證：四邊形AFCE是菱形．

EBACDF當(dāng)堂檢測(cè)8.如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF.(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；ADCBOEF證明：在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．當(dāng)堂檢測(cè)8.如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF.(2)若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∴?EBFD是菱形．ADCBOEF9.已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE