2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試題含解析

2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試題含解析數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項：1．本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.如果零上記作，那么零下記作（）A. B. C. D.2.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.計算的結(jié)果是（）A.9 B.3 C. D.4.如圖是一個幾何體三視圖，該幾何體是（）A球 B.棱柱 C.圓柱 D.圓錐5.如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)，2023年平均每公頃產(chǎn)．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．列方程為（）A. B.C. D.7.將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.8.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（）A.12 B.13 C.14 D.159.甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為．兩人前進路程s（單位：）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（）A.甲比乙晚出發(fā)1h B.乙全程共用2hC.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是10.在中，，，垂足為H，D是線段上的動點（不與點H，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．兩位同學經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊上時，點D為的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接，當?shù)拈L最小時，．請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（）A.小明正確，小麗錯誤 B.小明錯誤，小麗正確C.小明、小麗都正確 D.小明、小麗都錯誤二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11.分解因式：_________．12.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為______．13.已知關于x一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值：______．14.社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為______m．15.若菱形的周長為，且有一個內(nèi)角為，則該菱形的高為______．16.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是______．17.如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為______．18.平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數(shù)，且）經(jīng)過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為______．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計算：；（2）解方程．20.我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統(tǒng)計圖表．50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數(shù)A7BmCnD6E2合計

50根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）______，______；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在______組；（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？21.如圖，點D在的邊AB上，經(jīng)過邊的中點E，且．求證．22.南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為______；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．23.如圖，中，，，，與相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設上有一動點P，連接，．當?shù)拈L最大時，求的長．24.某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：信息一A型機器人臺數(shù)B型機器人臺數(shù)總費用（單位：萬元）1326032360信息二（1）求A、B兩種型號智能機器人單價；（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多?25.已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）．設自變量x取時，y取得最小值．（1）若，，求的值；（2）在平面直角坐標系中，點在雙曲線上，且．求點P到y(tǒng)軸的距離；（3）當，且時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．26.綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？

數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項：1．本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.如果零上記作，那么零下記作（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【詳解】解∶∵零上記作，∴零下記作，故選∶A．2.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，是負數(shù)．【詳解】解：1582億．故選：C．3.計算的結(jié)果是（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可．【詳解】解：，故選B．4.如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.球 B.棱柱 C.圓柱 D.圓錐【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，結(jié)合三視圖與原幾何體的關系即可解決問題【詳解】解：由所給三視圖可知，該幾何體為圓錐，故選：D5.如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過點作，得到，推出，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，過點作，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故選C．6.紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)，2023年平均每公頃產(chǎn)．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃，則2023年平均每公頃產(chǎn)，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】解：設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃產(chǎn)，則2023年平均每公頃產(chǎn)，根據(jù)題意有：，故選：A．7.將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點式解析式．【詳解】解∶拋物線向右平移3個單位后得到新拋物為，∴新拋物線的頂點坐標為，故選∶D．8.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的面積為．【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，∴，即①，∵，∴②，①②得，∴大正方形的面積，故選：B．9.甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為．兩人前進路程s（單位：）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（）A.甲比乙晚出發(fā)1h B.乙全程共用2hC.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是【答案】D【解析】【分析】本題考查用函數(shù)圖象表示變量之間的關系，從函數(shù)圖形獲取信息，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、乙比甲晚出發(fā)1h，原說法錯誤，不符合題意；B、乙全程共用，原說法錯誤，不符合題意；C、乙比甲早到B地，原說法錯誤，不符合題意；D、甲的速度是，原說法正確，符合題意；故選D．10.在中，，，垂足為H，D是線段上的動點（不與點H，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．兩位同學經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊上時，點D為的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接，當?shù)拈L最小時，．請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（）A.小明正確，小麗錯誤 B.小明錯誤，小麗正確C.小明、小麗都正確 D.小明、小麗都錯誤【答案】C【解析】【分析】旋轉(zhuǎn)得到，當點E落在邊上時，利用三角形的外角推出，進而得到，推出，判斷小明的說法，連接，等邊對等角，求出，進而求出，推出點在射線上運動，根據(jù)垂線段最短，得到時，的長最小，進而推出，判斷小麗的說法即可．【詳解】解：∵將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，當點E落在邊上時，如圖：∵，，∴，∴，∴，∴為的中點，故小明的說法是正確的；連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴點在射線上運動，∴當時，的長最小，∴當?shù)拈L最小時，，又∵，∴，∴，∴；故小麗的說法正確；故選C．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確的作圖，確定點的軌跡，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11.分解因式：_________．【答案】【解析】【詳解】此題考查因式分解知識點，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法進行分解，要分解到不能再分解為止；解：原式=；12.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式進行計算即可．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積為；故答案為：．13.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值：______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．先根據(jù)判別式的意義得到，解不等式得到的范圍，然后在此范圍內(nèi)取一個值即可．【詳解】解∶∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，∴當k取0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：0（答案不唯一）．14.社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為______m．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出的值即可．【詳解】解：由題意：，∴；故答案為：．15.若菱形的周長為，且有一個內(nèi)角為，則該菱形的高為______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解，過作于，結(jié)合可得答案．【詳解】解：如圖，菱形的周長為，∴，過作于，而，∴，故答案為：16.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的實際應用，根據(jù)圖象求出反比例函數(shù)的解析式，進而求出時，電阻R的值，根據(jù)增減性，求出電阻R應控制的范圍即可．【詳解】解：由圖象，設，把代入，得：，∴，當時，，∵隨著的增大而減小，∴如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A時，；故答案為：．17.如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為______．【答案】【解析】【分析】過點作，易得為等腰直角三角形，設，得到，證明，得到，進而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出的長即可．【詳解】解：過點作，則：，∴，∵，，∴，∴，∴，設，則：，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．18.平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數(shù)，且）經(jīng)過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為______．【答案】##0.6【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合問題，根據(jù)題意畫出圖形，求待定系數(shù)法求出的解析式，再根據(jù)直線經(jīng)過點，求出，聯(lián)立兩直線求出點D的坐標，再根據(jù)靠近原點部分的面積為為等量關系列出關于k的等式，求解即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形如下，設直線的解析式為：，把，B0,3代入，可得出：，解得：，∴直線的解析式為：，∵直線經(jīng)過點，∴，∴，∴直線，聯(lián)立兩直線方程：，解得：，∴∵，B0,3，∴，，根據(jù)題意有：，即，，解得：,故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計算：；（2）解方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了單項式乘多項式，解分式方程，掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)單項式乘以多項式的運算法則進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟進行計算即可．【詳解】解：（1）；（2），，∴檢驗，當時，，所以，原分式方程的解為20.我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統(tǒng)計圖表．50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數(shù)A7BmCnD6E2合計

50根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）______，______；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在______組；（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸家庭數(shù)有多少個？【答案】（1）20，15（2）B（3）648個【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)的定義，以及用樣本估計總體等知識．（1）根據(jù)C組的扇形統(tǒng)計圖的度數(shù)即可求出n的值，再用50減去其他組別的頻數(shù)，即可求出m的值．（2）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案．（3）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可知：，解得：，∴，故答案為：20，15；【小問2詳解】解：∵一共有50組用水量數(shù)據(jù)，∴50組數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)為第25位和26位的平均數(shù)，即中位數(shù)在B組．∴這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在B組，故答案為：B；【小問3詳解】解：（個），故去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有648個．21.如圖，點D在的邊AB上，經(jīng)過邊的中點E，且．求證．【答案】見詳解【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得，即可證明，有成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵點E為邊的中點，∴，∵，，∴，∴，∴．22.南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為______；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：先列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)m，再找出某事件所占有的可能數(shù)n，然后根據(jù)概率的概念即可得到這個事件的概率．（1）直接利用概率公式計算可得；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得答案．【小問1詳解】解：∵有標識為1、2、3、4的四個出入口，∴甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能結(jié)果，其中甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動有4種結(jié)果，∴甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率為．23.如圖，中，，，，與相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設上有一動點P，連接，．當?shù)拈L最大時，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質(zhì)得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；（2）延長CA交于P，連接，則最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】解∶連接，∵，，，∴，∴，∵與相切于D，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解∶延長CA交于P，連接，此時最大，由（1）知：，，∴．24.某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：信息一A型機器人臺數(shù)B型機器人臺數(shù)總費用（單位：萬元）1326032360信息二（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多?【答案】（1）A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元（2）選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，掌握二元一次方程組，一元一次不等式的應用是解題的關鍵．（1）設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，根據(jù)題意列出方程組，計算結(jié)果即可；（2）設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，先求出a的取值范圍，再得出每天分揀快遞的件數(shù)當a取得最大值時，每天分揀快遞的件數(shù)最多．【小問1詳解】解：設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，解得，答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；【小問2詳解】解：設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，∴，∴，∵每天分揀快遞的件數(shù)，∴當時，每天分揀快遞的件數(shù)最多為萬件，∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．25.已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）．設自變量x取時，y取得最小值．（1）若，，求的值；（2）在平面直角坐標系中，點在雙曲線上，且．求點P到y(tǒng)軸的距離；（3）當，且時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．【答案】（1）（2）2或1（3）整數(shù)a有4個【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和點到坐標軸的距離，以及解不等式方程．根據(jù)題意代入化簡得，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)得取最小值時x的取值即可；結(jié)合題意得到，代入二次函數(shù)中化簡得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的值，進一步求得點P，即可知點P到y(tǒng)軸的距離；結(jié)合已知得等式化簡得，結(jié)合的范圍求得a的可能值，即可得到整數(shù)a的個數(shù)．【小問1詳解】解：有題意知，當時，y取得最小值8；【小問2詳解】解：∵點在雙曲線上，∴，∴，∵，∴，化解得，解得或，則點或，∴點P到y(tǒng)軸的距離為2或1；【小問3詳解】解：

∵，∴，∴，∵，∴，化簡得，∴，則整數(shù)a有4個．26.綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形角平分線”開展主題學習活動．特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？【答案】（1）見解析；，（2），證明見解析；（3）是定值【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計算，再填表即可；再由可得結(jié)論；（2）如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，證明為等邊三角形，，，設，，利用相似三角形的性質(zhì)求解，再進一步可得；（3）如圖，補全圖形如下：設，則，，求解，可得，連接，，并延長交于，再求解；可得是定值．【詳解】解：（1）∵，是角平分線，，∴，∴；∴，；圖序角平分線的長的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1如圖，由（1）可得：，∴，∴，，∴；（2）猜想：，理由如下：如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，∵，平分，∴為等邊三角形，，，設，，∴，，而，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，即，解得：，∴；，∴；（3）如圖，補全圖形如下：∵中，，點D在邊上，∴設，則，，∴，解得：，∴，∴，即，∴，連接，，并延長交于，∵，∴，，∴平分，∴平分，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，即，解得：（不符合題意的根舍去），∴，∴，，∵是的垂直平分線，∴，∴；∴是定值．【點睛】本題屬于實際探究題，考查了類比方法的應用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的靈活應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．

2024年蘇州市初中學業(yè)水平考試試卷數(shù)學注意事項：1．本試卷共27小題，滿分130分，考試時間120分鐘；2．答題前，考生務必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應位置上，并認真核對條形碼上的準考號、姓名是否與本人的相符；3．答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的位置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案一律無效，不得用其他筆答題；4．考生答題必須答在答題卡上，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1.用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）A. B.1 C.2 D.32.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.蘇州市統(tǒng)計局公布，2023年蘇州市全年實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”．數(shù)據(jù)“2470000000000”用科學記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.4.若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.5.如圖，，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.某公司擬推出由7個盲盒組成的套裝產(chǎn)品，現(xiàn)有10個盲盒可供選擇，統(tǒng)計這10個盲盒的質(zhì)量如圖所示．序號為1到5號的盲盒已選定，這5個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)恰好為100，6號盲盒從甲、乙、丙中選擇1個，7號盲盒從丁、戊中選擇1個，使選定7個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)仍為100，可以選擇（）A.甲、丁 B.乙、戊 C.丙、丁 D.丙、戊7.如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）A. B. C. D.8.如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9.計算：___________．10.若，則______．11.如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率是______．12.如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則______．13.直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對應的函數(shù)表達式是______．14.鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結(jié)果保留）15.二次函數(shù)的圖象過點，，，，其中m，n為常數(shù)，則的值為______．16.如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則______．三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17.計算：．18.解方程組：．19.先化簡，再求值：．其中．20.如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．21.一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻．（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）22.某校計劃在七年級開展陽光體育鍛煉活動，開設以下五個球類項目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（籃球），D（排球），E（足球），要求每位學生必須參加，且只能選擇其中一個項目．為了了解學生對這五個項目的選擇情況，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，對調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，部分信息如下：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）將圖①中的條形統(tǒng)計圖補充完整（畫圖并標注相應數(shù)據(jù)）；（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數(shù)為______°；（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）人數(shù)．23.圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．（1）如圖②，當活動桿處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）；（2）如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）．24.如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．

（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．25.如圖，中，，D為中點，，，是的外接圓．（1）求的長；（2）求的半徑．26.某條城際鐵路線共有A，B，C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中D1001次列車從A站始發(fā)，經(jīng)停B站后到達C站，G1002次列車從A站始發(fā)，直達C站，兩個車次的列車在行駛過程中保持各自的行駛速度不變．某校數(shù)學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示．列車運行時刻表車次A站B站C站發(fā)車時刻到站時刻發(fā)車時刻到站時刻D10018：009：309：5010：50G10028：25途經(jīng)B站，不停車10：30請根據(jù)表格中信息，解答下列問題：（1）D1001次列車從A站到B站行駛了______分鐘，從B站到C站行駛了______分鐘；（2）記D1001次列車的行駛速度為，離A站的路程為；G1002次列車的行駛速度為，離A站的路程為．①______；②從上午8：00開始計時，時長記為t分鐘（如：上午9：15，則），已知千米/小時（可換算為4千米/分鐘），在G1002次列車的行駛過程中，若，求t的值．27.如圖①，二次函數(shù)圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．（1）求圖象對應函數(shù)表達式；（2）若圖象過點，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側(cè)）．當時，求點P的坐標；（3）如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接AD，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數(shù)表達式．2024年蘇州市初中學業(yè)水平考試試卷數(shù)學注意事項：1．本試卷共27小題，滿分130分，考試時間120分鐘；2．答題前，考生務必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應位置上，并認真核對條形碼上的準考號、姓名是否與本人的相符；3．答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的位置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案一律無效，不得用其他筆答題；4．考生答題必須答在答題卡上，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1.用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離．到原點距離最遠的點，即絕對值最大的點，首先求出各個數(shù)的絕對值，即可作出判斷．【詳解】解：∵，，，，，∴與原點距離最近的是1，故選：B．2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項正確；B、不軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．3.蘇州市統(tǒng)計局公布，2023年蘇州市全年實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”．數(shù)據(jù)“2470000000000”用科學記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是科學記數(shù)法-表示較大的數(shù)，把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．根據(jù)科學記數(shù)法-表示較大的數(shù)的方法解答．詳解】解：，故選：C．4.若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向改變．直接利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：，A、，故錯誤，該選項不合題意；B、，故錯誤，該選項不合題意；C、無法得出，故錯誤，該選項不合題意；D、，故正確，該選項符合題意；故選：D．5.如圖，，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】題目主要考查平行線的性質(zhì)求角度，根據(jù)題意得出，再由平角即可得出結(jié)果，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關鍵【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故選：B6.某公司擬推出由7個盲盒組成的套裝產(chǎn)品，現(xiàn)有10個盲盒可供選擇，統(tǒng)計這10個盲盒的質(zhì)量如圖所示．序號為1到5號的盲盒已選定，這5個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)恰好為100，6號盲盒從甲、乙、丙中選擇1個，7號盲盒從丁、戊中選擇1個，使選定7個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)仍為100，可以選擇（）A.甲、丁 B.乙、戊 C.丙、丁 D.丙、戊【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了用中位數(shù)做決策，由圖像可知，要使選定7個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)仍為100，則需要選擇100克以上的一個盲盒和100克以下的盲盒一個，根據(jù)選項即可得出正確的答案．【詳解】解：由圖像可知，要使選定7個盲盒質(zhì)量的中位數(shù)仍為100，則需要從第6號盲盒和第7號盲盒里選擇100克以上的一個盲盒和100克以下的盲盒一個，因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故選：C．7.如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去），故選：A．8.如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】連接，交于點，取中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓?。嗟淖畲笾禐榈拈L，即．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定的軌跡是本題解題的關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9.計算：___________．【答案】【解析】【分析】利用同底數(shù)冪的乘法解題即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握相應的運算法則是解題的關鍵．10.若，則______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，把整體代入化簡計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案：4．11.如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率是______．【答案】【解析】【分析】首先確定在圖中陰影區(qū)域的面積在整個面積中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出指針指向陰影區(qū)域的概率．本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A），然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．【詳解】解：∵轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，其中陰影部分占3份，∴指針落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．12.如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則______．【答案】##62度【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．13.直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對應的函數(shù)表達式是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可求得與坐標軸的交點A和點B，可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到，則，求得，即有點C，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．【詳解】解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象，如圖所示∶設與y軸的交點為點B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，∴，，∴，則點，設直線的解析式為，則，解得，那么，直線的解析式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與坐標軸的交點、直線的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是找到旋轉(zhuǎn)后對應的直角邊長，即可利用待定系數(shù)法求得解析式．14.鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定，得出，利用余弦得出，再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．【詳解】解：如圖所示：過點C作，∵六條弧所對應弦構(gòu)成一個正六邊形，∴，∴為等邊三角形，∵圓心C恰好是的內(nèi)心，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長為：，∴花窗的周長為：，故答案為：．15.二次函數(shù)的圖象過點，，，，其中m，n為常數(shù)，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關系，即可求解．【詳解】解：把，，代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，∴，故答案為：．16.如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．設，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過E作于H，設與相交于M，證明得到，進而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．【詳解】解：∵，∴設，，∵沿翻折，得到，∴，，過E作于H，設與相交于M，則，又，∴，∴，∵，，，∴，∴，，則，∴是等腰直角三角形，∴，則，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵的面積是面積的2倍，∴，則，解得，（舍去），即，故答案為：．三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17.計算：．【答案】2【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的運算，利用絕對值的意義，零指數(shù)冪的意義，算術平方根的定義化簡計算即可．【詳解】解：原式．18.解方程組：．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】解：得，，解得，．將代入①得．方程組的解是19.先化簡，再求值：．其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式．當時，原式．20.如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是：（1）直接利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出，利用三線合一性質(zhì)得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．【小問1詳解】證明：由作圖知：．在和中，．【小問2詳解】解：，，．又，，．，，．21.一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻．（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次事件的概率，解題的關鍵是：（1）用標有“夏”書簽的張數(shù)除以書簽的總張數(shù)即得結(jié)果；（2）利用樹狀圖畫出所有出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再找出1張為“春”，1張為“秋”的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計算即可．【小問1詳解】解：∵有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，∴恰好抽到“夏”的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：用樹狀圖列出所有等可的結(jié)果：等可能的結(jié)果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．在12個等可能的結(jié)果中，抽取的書簽1張為“春”，1張為“秋”出現(xiàn)了2次，P（抽取的書簽價好1張為“春”，張為“秋”）．22.某校計劃在七年級開展陽光體育鍛煉活動，開設以下五個球類項目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（籃球），D（排球），E（足球），要求每位學生必須參加，且只能選擇其中一個項目．為了了解學生對這五個項目的選擇情況，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，對調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，部分信息如下：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）將圖①中的條形統(tǒng)計圖補充完整（畫圖并標注相應數(shù)據(jù)）；（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數(shù)為______°；（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數(shù)．【答案】（1）見解析（2）72（3）本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數(shù)約為240人【解析】【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）利用C組的人數(shù)除以所占百分比求出總?cè)藬?shù)，然后用總?cè)藬?shù)減去A、B、C、E組的人數(shù)，最后補圖即可；（2）用乘以E組所占百分比即可；（3）用800乘以B組所占百分比即可．【小問1詳解】解：總?cè)藬?shù)為，D組人數(shù)為，補圖如下：【小問2詳解】解：，故答案為：72；【小問3詳解】解：（人）．答：本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數(shù)約為240人．23.圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．（1）如圖②，當活動桿處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）；（2）如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）過點C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在在中，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）過點D作，交的延長線于點F，交于點G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據(jù)勾股定理求出即可．【小問1詳解】解：如圖，過點C作，垂足為E，由題意可知，，又，四邊形為矩形．，，，．，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為；【小問2詳解】解：過點D作，交的延長線于點F，交于點G．由題意可知，四邊形為矩形，．在中，，．，，，．，，，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為．24.如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．

（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．【答案】（1），（2）有最大值，此時【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是：（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式，把D的坐標代入直線的函數(shù)表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數(shù)表達式求出k即可；（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：，，．又，．，點．設直線的函數(shù)表達式為，將，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．將點代入，得．．將代入，得．【小問2詳解】解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，，．軸，，．，，，．設點P的坐標為，，則，．．．當時，有最大值，此時．25.如圖，中