2024年重慶市中考真題（AB卷）數(shù)學(xué)試題含解析

重慶市2024年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（A卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C.3 D.2.下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.3.已知點在反比例函數(shù)圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.64.如圖，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A. B. C. D.6.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（）A.20 B.22 C.24 D.267.已知，則實數(shù)的范圍是（）A B. C. D.8.如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C. D.9.如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（）A. B. C. D.10.已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.計算：＝_____．12.如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)為______．13.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機(jī)選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．14.隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．15.如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．16.若關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為______．17.如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．18.我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是______．把一個“方減數(shù)”進(jìn)行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為______．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.計算：（1）；（2）．20.為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年級名學(xué)生的競賽成績在組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中______，______，______；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有名學(xué)生，八年級有名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？21.在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．22.為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設(shè)的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）24.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請通過計算說明．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時，求的最小值；（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當(dāng)時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．26.在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關(guān)于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．（1）如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．重慶市2024年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（A卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是掌握比較大小的法則．根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴最小的數(shù)是；故選：A．2.下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據(jù)概念逐一判斷即可，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．3.已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式，把代入求解即可．【詳解】解：把代入，得．故選C．4.如圖，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，由鄰補角性質(zhì)得，然后求解即可，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選：．5.若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，故選：D．6.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（）A20 B.22 C.24 D.26【答案】B【解析】【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點，再解答即可．【詳解】解：由圖可得，第1種如圖①有4個氫原子，即第2種如圖②有6個氫原子，即第3種如圖③有8個氫原子，即，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是：；故選：B．7.已知，則實數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法是解決此題的關(guān)鍵．先求出，即可求出m的范圍．【詳解】解：∵，∵，∴，故選：B．8.如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，根據(jù)題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．9.如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設(shè)，得到，則，故，同理可求，則，因此．【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉(zhuǎn)得，∵四邊形是正方形，∴，，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵．10.已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，∴，當(dāng)時，則，∴，，滿足條件的整式有，當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當(dāng)時，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當(dāng)時，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件的單項式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.計算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪意義計算．【詳解】解：，故答案為：3．【點睛】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪的運算，熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的意義是解題關(guān)鍵．12.如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)為______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，用外角和除以即可求解，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴這個多邊形的邊數(shù)是，故答案為：9．13.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機(jī)選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了畫樹狀圖法或列表法求概率，根據(jù)畫樹狀圖法求概率即可，熟練掌握畫樹狀圖法或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時選擇景點的情況有種，∴甲、乙兩人同時選擇景點的的概率為，故答案為：．14.隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)平均增長率為x，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）；故答案為：．15.如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證，進(jìn)而得，，再證明，得，從而即可得解．【詳解】解：∵，過點作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.若關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為______．【答案】16【解析】【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據(jù)關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個整數(shù)解，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，確定的取值范圍且，進(jìn)而得到且，根據(jù)范圍確定出的取值，相加即可得到答案．【詳解】解：，解①得：，解②得：，關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個整數(shù)解，，解得，解方程，得，關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，且，是偶數(shù)，解得且，是偶數(shù)，且，是偶數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是，故答案為：16．17.如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．【答案】①.8②.##【解析】【分析】連接并延長，交于點H，連接，設(shè)、交于點M，根據(jù)四邊形為平行四邊形，得出，，證明，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理得出，求出；證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，證明，得出，求出．【詳解】解：連接并延長，交于點H，連接，設(shè)、交于點M，如圖所示：∵以為直徑的與相切于點A，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：8；．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．18.我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是______．把一個“方減數(shù)”進(jìn)行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了新定義，設(shè)，則（，）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，代入，即可求解；根據(jù)除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個檢驗計算，即可求解．【詳解】設(shè)，則（，）由題意得：，∵，“方減數(shù)”最小，∴，則，，∴，則當(dāng)時，最小，為，故答案為：；設(shè)，則（，）∴∵除以余數(shù)為，∴能被整除∴為整數(shù)，又（為整數(shù)）∴是完全平方數(shù)，∵，∴最小為，最大為即設(shè)，為正整數(shù)，則當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，當(dāng)時，無整數(shù)解，當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，，，∴，∴故答案為：，．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】分析】（）根據(jù)單項式乘以多項式和完全平方公式法則分別計算，然后合并同類項即可；（）先將括號里的異分母分式相減化為同分母分式相減，再算分式的除法運算得以化簡；本題考查了單項式乘以多項式，完全平方公式和分式的化簡，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：原式，；【小問2詳解】解：原式，，．20.為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年級名學(xué)生的競賽成績在組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中______，______，______；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有名學(xué)生，八年級有名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？【答案】（1），，；（2）八年級學(xué)生競賽成績較好，理由見解析；（3）該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是人．【解析】【分析】（）根據(jù)表格及題意可直接進(jìn)行求解；（）根據(jù)平均分、中位數(shù)及眾數(shù)分析即可得出結(jié)果；（）由題意可得出參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的百分比，然后可進(jìn)行求解；本題主要考查扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】根據(jù)七年級學(xué)生競賽成績可知：出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為，八年級競賽成績中組：（人），組：（人），組：人，所占百分比組：（人）所占百分比為，則，∴八年級的中位數(shù)為第個同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，即組第個同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，故答案為：，，；【小問2詳解】八年級學(xué)生競賽成績較好，理由：七、八年級的平均分均為分，八年級的中位數(shù)高于七年級的中位數(shù)，整體上看八年級學(xué)生競賽成績較好；【小問3詳解】（人），答：該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是人．21.在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．【答案】（1）見解析（2）①；②；③；④四邊形是菱形【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形；證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．22.為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？【答案】（1）該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；（2）需要更新設(shè)備費用為萬元【解析】【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；（2）設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，再建立分式方程，進(jìn)一步求解．【小問1詳解】解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，則，解得：，則；答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；【小問2詳解】解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意；則，則還需要更新設(shè)備費用為（萬元）；23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設(shè)的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）【答案】（1）（2）函數(shù)圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減?。?）【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定：（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)（1）所求利用描點法畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可；（3）找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求；由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減?。弧拘?詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時的取值范圍．24.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請通過計算說明．【答案】（1），兩港之間的距離海里；（2）甲貨輪先到達(dá)港．【解析】【分析】（）過作于點，由題意可知：，，求出，即可求解；（）通過三角函數(shù)求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】如圖，過作于點，∴，由題意可知：，，∴，∴，∴，∴（海里），∴，兩港之間的距離海里；【小問2詳解】由（）得：，，，∴，∴，由題意得：，，∴，∴，（海里），∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），∵，且甲、乙速度相同，∴甲貨輪先到達(dá)港．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時，求的最小值；（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當(dāng)時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）符合條件的點的坐標(biāo)為或．【解析】【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【小問1詳解】解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；【小問2詳解】解：令，則，解得或，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大，此時，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)共線時，取最小值，即取最小值，∵點為線段的中點，∴，∴，∴的最小值為；【小問3詳解】解：由（2）得點的橫坐標(biāo)為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個單位，向下平移2個單位得到，∴，過點作交拋物線于點，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，，當(dāng)時，，∴，作關(guān)于直線的對稱線得交拋物線于點，∴，設(shè)交軸于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，過點作軸，作軸于點，作于點，當(dāng)時，，解得，∴∵，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時，，∴，綜上，符合條件的點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．26.在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關(guān)于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．（1）如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結(jié)合即可求解；（2）在上截取，連接，交于點H，連接，先證明，再證明四邊形是平行四邊形，可得，記與的交點為點N，則由軸對稱可知：，，再解即可；（3）連接，記與的交點為點N，由軸對稱知，，，，當(dāng)點G在邊上時，由于，當(dāng)為等腰三角形時，只能是，由（1）得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；當(dāng)點G在延長線上時，只能是，設(shè)，在中，，解得，設(shè)，解直角三角形求出，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，∵，，∴∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：，在上截取，連接，交于點H，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點關(guān)于直線的對稱點為點，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，記與的交點為點N，則由軸對稱可知：，，∴中，，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：連接，記與的交點為點N，∵，∴，由軸對稱知，當(dāng)點G在邊上時，由于，∴當(dāng)為等腰三角形時，只能是，由（1）得，，∴，∴，∵，∴，∴中，，解得，∴，而，∴為等邊三角形，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點G在延長線上時，只能是，如圖：

設(shè)，∴，，∴，∵，∴，∵∴在中，，解得，∴，設(shè)，則，，在中，，由勾股定理求得，在中，，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．[機(jī)密]2024年6月13日11:00前重慶市2024年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.22.下列標(biāo)點符號中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A. B. C. D.4.如圖，，若，則的度數(shù)為（）A B. C. D.5.若兩個相似三角形的相似比為，則這兩個三角形面積的比是（）A. B. C. D.6.估計的值應(yīng)在（）A.8和9之間 B.9和10之間 C.10和11之間 D.11和12之間7.用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（）A.20 B.21 C.23 D.268.如圖，是的弦，交于點，點是上一點，連接，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在邊長為4正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A.2 B. C. D.10.已知整式，其中自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.計算：______．12.甲、乙兩人分別從A、B、C三個景區(qū)中隨機(jī)選取一個景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為________．13.若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.14.重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預(yù)計第三季度低空飛行航線安全運行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．15.如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為________．16.若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．17.如圖，是的直徑，是的切線，點為切點．連接交于點，點是上一點，連接，，過點作交的延長線于點．若，，，則的長度是________；的長度是________．18.一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個“友誼數(shù)”，且，則這個數(shù)為________；若是一個“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是________．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.計算：（1）；（2）．20.數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識競賽，并對數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級10名學(xué)生的競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級8687八年級8690根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級學(xué)生有500人，八年級學(xué)生有400人．估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”的總共有多少人？21.在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．22.某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．（1）求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設(shè)的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）24.如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求的長度（結(jié)果精確到千米）；（2）甲、乙兩人從景點出發(fā)去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應(yīng)點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．26.在中，，，過點作．（1）如圖1，若點在點的左側(cè)，連接，過點作交于點．若點是的中點，求證：；（2）如圖2，若點在點的右側(cè)，連接，點是的中點，連接并延長交于點，連接．過點作交于點，平分交于點，求證：；（3）若點在點的右側(cè)，連接，點是的中點，且．點是直線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點是直線上一動點，連接，．在點的運動過程中，當(dāng)取得最小值時，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點的運動過程中，直接寫出的最大值．[機(jī)密]2024年6月13日11:00前重慶市2024年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，即可作出判斷．【詳解】是負(fù)數(shù)，其他三個數(shù)均是非負(fù)數(shù)，故是最小的數(shù)；故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)大小的比較：負(fù)數(shù)小于一切非負(fù)數(shù)，明確此性質(zhì)是關(guān)鍵．2.下列標(biāo)點符號中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查軸對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵是理解軸對稱的概念（如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸），尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．據(jù)此對各選項逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．該標(biāo)點符號是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B．該標(biāo)點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該標(biāo)點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．該標(biāo)點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：A．3.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項的點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．【詳解】解：解：當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故A不符合要求；當(dāng)時，，圖象一定經(jīng)過，故B符合要求；當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；故選：B．4.如圖，，若，則的度數(shù)為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補角的定義，根據(jù)鄰補角的定義求出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選：C．5.若兩個相似三角形的相似比為，則這兩個三角形面積的比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形的相似比為，∴這兩個三角形面積的比是，故選：D．6.估計的值應(yīng)在（）A.8和9之間 B.9和10之間 C.10和11之間 D.11和12之間【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數(shù)的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可．【詳解】解：∵，而，∴，故答案為：C7.用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（）A.20 B.21 C.23 D.26【答案】C【解析】【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：第①個圖案中有個菱形，第②個圖案中有個菱形，第③個圖案中有個菱形，第④個圖案中有個菱形，∴第個圖案中有個菱形，∴第⑧個圖案中菱形的個數(shù)為，故選：C．8.如圖，是的弦，交于點，點是上一點，連接，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用圓周角定理求出，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出，等邊對等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故選：B．9.如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)一步證明得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．10.已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，∴，當(dāng)時，則，∴，，滿足條件的整式有，當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當(dāng)時，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當(dāng)時，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件的單項式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.計算：______．【答案】3【解析】【分析】原式第一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項利用零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式=2+1=3，故答案為：3．【點睛】此題考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．12.甲、乙兩人分別從A、B、C三個景區(qū)中隨機(jī)選取一個景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出甲、乙恰好游玩同一景點的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的情況，他們選擇同一個景點有3種，故他們選擇同一個景點的概率是：，故答案為：．13.若正多邊形一個外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是，即該正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等．14.重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預(yù)計第三季度低空飛行航線安全運行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，則第二季度低空飛行航線安全運行了架次，第三季度低空飛行航線安全運行了架次，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，由題意得，，故答案為：．15.如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為________．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進(jìn)而可證明，即可推出．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴,故答案為：2．16.若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，推出且且a是偶數(shù)，則且且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合題意的a的值，最后求和即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴；解分式方程得，∵關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，∴且是整數(shù)且，∴且且a是偶數(shù)，∴且且a是偶數(shù)，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．故答案為：．17.如圖，是的直徑，是的切線，點為切點．連接交于點，點是上一點，連接，，過點作交的延長線于點．若，，，則的長度是________；的長度是________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】由直徑所對的圓周角是直角得到，根據(jù)勾股定理求出，則，由切線的性質(zhì)得到，則可證明，解直角三角形即可求出；連接，由平行線的性質(zhì)得到，再由，，推出，得到，則．【詳解】解：∵是的直徑，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，在中，；如圖所示，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：；．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明是解題的關(guān)鍵．18.一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個“友誼數(shù)”，且，則這個數(shù)為________；若是一個“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是________．【答案】①.3456②.【解析】【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到，再由可求出a、b、c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出，進(jìn)而得到，根據(jù)是整數(shù)，得到是整數(shù)，即是整數(shù)，則是13的倍數(shù)，求出，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．【詳解】解：∵是一個“友誼數(shù)”，∴，又∵，∴，∴，∴這個數(shù)為；∵是一個“友誼數(shù)”，∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，即是整數(shù)，∴是13的倍數(shù)，∵都是不為0的正整數(shù)，且，∴，∴當(dāng)時，，此時不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，此時不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，此時可以滿足是13的倍數(shù)，即此時，則此時，∵要使M最大，則一定要滿足a最大，∴滿足題意的M的最大值即為；故答案為：3456；．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了整式的混合計算，分式的混合計算∶（1）先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案；（2）先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．20.數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識競賽，并對數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級10名學(xué)生的競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級8687八年級8690根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級學(xué)生有500人，八年級學(xué)生有400人．估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”的總共有多少人？【答案】（1）88；87；40（2）八年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好，理由見解析（3）310人【解析】【分析】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖等等：（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出a、b的值，先求出把年級A組的人數(shù)，進(jìn)而可求出m的值；（2）根據(jù)八年級學(xué)生成績的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級學(xué)生成績的高即可得到結(jié)論；（3）用七年級的人數(shù)乘以七年級樣本中優(yōu)秀的人數(shù)占比求出七年級優(yōu)秀人數(shù)，用八年級的人數(shù)乘以八年級樣本中優(yōu)秀的人數(shù)占比求出八年級優(yōu)秀人數(shù)，再二者求和即可得到答案．【小問1詳解】解：八年級C組的人數(shù)為人，而八年級B組有4人，則把八年級10名學(xué)生的成績按照從低到高排列，處在第5名和第6名的成績分別為88分，88分，∴八年級學(xué)生成績的中位數(shù)；∵七年級10名學(xué)生成績中，得分為87分的人數(shù)最多，∴七年級眾數(shù)；由題意得，，∴；故答案為：88；87；40；【小問2詳解】解：八年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好，理由如下：∵兩個年級10名學(xué)生的平均成績相同，但是八年級學(xué)生成績的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級學(xué)生成績的高，∴八年級學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識較好；【小問3詳解】解：人，∴估計該校七、八年級學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識為“優(yōu)秀”的總共有310人．21.在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．【答案】（1）見解析（2）①；②；③；④四邊形是菱形【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形；證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．22.某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．（1）求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？【答案】（1）種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元．（2）甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．【解析】【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，再根據(jù)總費用為15000元列方程求解即可；（2）設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時．從而建立分式方程求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，∴，解得：，∴，答：種外墻漆每千克的價格為元，種外墻漆每千克的價格為元．【小問2詳解】設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；∴，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根且符合題意，答：甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設(shè)的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍