廣西桂林、來(lái)賓、北海2024屆高三下學(xué)期三模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024年高考第三次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)2024.5（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．若，則（）A．18 B．-18 C．12 D．-124．具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（，，2，…，5），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A．40 B．32 C．8 D．12.85．某校組織社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，將參加活動(dòng)的3名老師與6名同學(xué)分成三組，每組1名老師與2名同學(xué)，不一樣的分法共有（）A．45種 B．90種 C．180種 D．270種6．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面ABC，，且，M為PA的中點(diǎn)，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方且，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．在△ABC中，，，，則（）A． B．C．△ABC的面積為 D．△ABC外接圓的直徑是10．小明計(jì)劃高考結(jié)束后，從廣西自然生態(tài)類的3處景點(diǎn)、歷史文化類的4處景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一處開始旅游，要求所有景點(diǎn)全部游玩且不重復(fù)，記“第k站游玩自然生態(tài)類的景點(diǎn)”為事件，，2，…，7，則（）A． B． C． D．11．如圖，已知圓錐PO的底面半徑為，高為，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)C為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．當(dāng)C為弧AB的三等分點(diǎn)時(shí)，△PAC的面積等于或B．該圓錐可以放入表面積為的球內(nèi)C．邊長(zhǎng)為的正方體可以放入到該圓錐內(nèi)D．該圓錐可以放入邊長(zhǎng)為的正方體中三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．拋物線C：經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為________．13．在中國(guó)傳統(tǒng)文化中，“九”被視為至尊之?dāng)?shù)，象征長(zhǎng)壽、福氣和完美，若直線l與圓C相切，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為9，圓C的半徑為9，點(diǎn)C到x軸的距離為9，則圓C的一個(gè)方程為________．14．若對(duì)任意的恒成立，則k的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步驟。15．（本小題滿分13分）年菜一詞指舊俗過年時(shí)所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費(fèi)者對(duì)年菜開支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計(jì)了1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計(jì)總體，求所有消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，．16．（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．17．（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，，三棱錐的體積為，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求直線CD與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且傾斜角為60°的直線為，過且傾斜角為60℃的直線為，已知，之間的距離為．（1）求C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與C的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M、N不在x軸上），判斷是否存在實(shí)數(shù)k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（本小題滿分17分）已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若且有2個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．

2024年高考第三次聯(lián)合模擬考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案BACABCDD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。題號(hào)91011答案ABDABABD1．B因?yàn)?，，所以，故選B．2．A因?yàn)?，所以，故選A．3．C，故選C．4．A，由點(diǎn)在回歸直線上得，所以．5．B．6．C取PC的中點(diǎn)N，連接MN、BN，如圖所示：∵M(jìn)、N分別為PA、PC的中點(diǎn)，則且，∴異面直線BM與AC所成的角為∠BMN或其補(bǔ)角．∵平面ABC，平面ABC，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則．故選C．7．D由題意得，設(shè)，，由得，，，所以，由點(diǎn)A在x軸上方，，即，解得，故選D．8．D，當(dāng)時(shí)，，若在上有最小值沒有最大值，則，所以，故選D．9．ABD對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由A選項(xiàng)知，由余弦定理得．故，故B正確；對(duì)于C，由于在△ABC中，，故，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，，故D正確．故選ABD．10．AB由題意可得，A正確；，，，故B正確；由于，C錯(cuò)誤；，所以D錯(cuò)誤．故選AB．11．ABD對(duì)于A，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，OC，則，，如圖1，當(dāng)C為弧AB的三等分點(diǎn)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，，，，所以△PAC的面積為，當(dāng)時(shí)，，，，所以△PAC的面積為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半徑為R，過點(diǎn)A的軸截面如圖2，為外接球球心，則，解得，外接球的表面積為，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)放入圓錐內(nèi)最大的正方體邊長(zhǎng)為a，沿著正方體對(duì)角面的軸截面如圖3，因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以，所以，所以，，因?yàn)?，所以C不正確；對(duì)于D，過正方體一邊的中點(diǎn)作與體對(duì)角線垂直的平面，如圖4，此平面到頂點(diǎn)P的距離為體對(duì)角線的一半，即為，平面截正方體得到邊長(zhǎng)為2的正六邊形，該正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，以該圓作為圓錐的底面，點(diǎn)P為頂點(diǎn)即可得到圓錐．故D正確．故選ABD．圖1圖2圖3圖4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．2把代入得，C的焦點(diǎn)為，．13．（答案不唯一）由題意可得直線l的方程為，設(shè)，由直線l與圓C相切，得，所以或，所以圓C的一個(gè)方程可以為．14．由得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又時(shí)，所以，即，，，設(shè)，則，，，．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步驟。15．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，，所以這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)是．……6分（2）由，……9分所以，所以，故所有消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率為0.16．……13分16．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)可得，即，①，……2分當(dāng)時(shí)，②，……3分由①-②得，，又也滿足，……5分所以．……6分（2）因?yàn)?，…?分所以，……9分，……10分兩式相減得，，即，則，故．……12分由，得，即，……13分依題意，不等式恒成立，因?yàn)殡S著n增大而減小，……14分所以，即的取值范圍為．……15分17．（1）證明：在直三棱柱中，，因?yàn)椋?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，…?分由，得．……3分在矩形中，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，…?分因?yàn)椋云矫鍭CD．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．…?分（2）解：因?yàn)锳B，AC，兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，．……9分設(shè)平面的法向量為，則有，得，取，得，……12分設(shè)直線CD與平面所成角為，則，所以直線CD與平面所成角的正弦值為．……15分18．解：（1）設(shè)，因?yàn)?，之間的距離為，所以，，……2分則，所以C的方程為．……4分（2）由（1）知，設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程組，消去x，得，所以，……7分因?yàn)?，所以，同理．…?分因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，所以M，N兩點(diǎn)在x軸同側(cè)，∴，此時(shí)，即．所以，……14分所以．所以存在，使得．……17分19．解：（1）的定義域?yàn)?，由題可得，……1分設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，……2分若，則，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；……3分若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，或時(shí)，，單調(diào)遞增；……4分若，則，在上單調(diào)遞增；…