流體力學(xué)（第5版）課件：理想流體動(dòng)力學(xué)

理想流體動(dòng)力學(xué)平面不可壓位流的基本方程幾種簡(jiǎn)單的二維位流一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的迭加平面不可壓位流的基本方程

前一章介紹了流體運(yùn)動(dòng)所必須遵守的規(guī)律：質(zhì)量方程及歐拉方程。這一章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程。但是，要求得這些偏微分方程的解，是要滿足一定邊界條件的，否則求出來(lái)的解沒(méi)有實(shí)際意義。不過(guò)，飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件之下來(lái)求得這些方程的解，實(shí)際上是辦不到的。

若不考慮粘性的作用，流動(dòng)原來(lái)是無(wú)旋的，后來(lái)必然還是無(wú)旋的。這一條假設(shè)在實(shí)際流場(chǎng)的大部分區(qū)域都是成立的。用這條假設(shè)可以求流場(chǎng)的初步解。二維流動(dòng)

一切流動(dòng)參數(shù)都只是x和y的函數(shù)，而與z無(wú)關(guān)，即一切流動(dòng)參數(shù)在z向都沒(méi)有變化，且的一種三維流。計(jì)算作用力時(shí)，物體在z向要取一定的尺寸，這通常取為1。繞圓柱體的有環(huán)量繞流的解析解有無(wú)旋條件，就有位函數(shù)存在。平面流動(dòng)的連續(xù)方程是結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：

上式是拉普拉斯方程。它是個(gè)線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。所謂線性的方程是指未知函數(shù)在方程的各項(xiàng)中都是一次的。所謂疊加原理是說(shuō)如果有分別滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程。不可壓平面流必有流函數(shù)無(wú)旋條件也滿足拉普拉斯方程幾種簡(jiǎn)單的二維位流1、直勻流

直勻流是一種速度不變的最簡(jiǎn)單的平行流動(dòng)。其流速為位函數(shù)為

；

常用的是這樣的直勻流，它與x軸平行，從左面遠(yuǎn)方流來(lái)，流速為的。此時(shí)2、點(diǎn)源源可以有正負(fù)。正源是從流場(chǎng)上某一點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開(kāi)去的一種流動(dòng)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動(dòng)。如果把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，那末這流動(dòng)便只有υr，而沒(méi)有。設(shè)半徑為r處的流速是υr，那末這個(gè)源的總流量是：流量是常數(shù)，故流速υr與半徑成反比：流函數(shù)的表達(dá)式是：或位函數(shù)從的式子積分得到：

如果源的位置不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而在A（ξ,η）處3、偶極子等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯，放在x軸線上，源放在(-h,0)處，匯放在(0,0)處。從源出來(lái)的流量都進(jìn)入?yún)R。應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下其中

現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng)h→0，但同時(shí)Q增大，使保持不變的極限情況。這時(shí)位函數(shù)變成偶極子。等位線是一些圓心在x軸上的圓，且都過(guò)原點(diǎn)。流函數(shù)的式子取h→0而保持不變的極限結(jié)果，是：

流線也是一些圓，圓心都在y軸上，且都過(guò)源點(diǎn)O。兩個(gè)分速度的表達(dá)式是:

合速度:

它是有軸線方向的，原來(lái)的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是它的軸線。前面表示的偶極子是以x軸為軸線的其正向?yàn)檩S線上的流線方向，前面的偶極子是指向負(fù)x方向的。如果偶極子軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限這個(gè)偶極子的正向指向第三象限。

如果偶極子位于（ξ，η），軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則4、點(diǎn)渦點(diǎn)渦是位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦的流動(dòng)，流線是一些同心圓。流速只有，而沒(méi)有。式中的是個(gè)常數(shù)，稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎７炙俸碗x中心點(diǎn)的距離r成反比，指向是反時(shí)針?lè)较虻摹Ｆ湮缓瘮?shù)和流函數(shù)是：

如果點(diǎn)渦的位置不在原點(diǎn)，而在（ξ，η），則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子是：

沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，值都是，只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)，但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。1、直勻流加點(diǎn)源

在一個(gè)平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為Q的源，把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：兩個(gè)分速是：

一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的迭加令，即得駐點(diǎn)xA坐標(biāo)為：流動(dòng)的流函數(shù)是:將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入流函數(shù)，得流函數(shù)為常數(shù)時(shí)代表一條流線，故過(guò)駐點(diǎn)的流線為

通常將壓強(qiáng)表為無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來(lái)流靜壓再除以來(lái)流的動(dòng)壓頭：不可壓無(wú)粘流時(shí):沿這個(gè)半無(wú)限體的外表面，壓強(qiáng)系數(shù)是：

駐點(diǎn)的Cp一定等于+1。從駐點(diǎn)往后，Cp迅速下降，在距A不很遠(yuǎn)的地方，Cp降到零，該點(diǎn)流速已達(dá)遠(yuǎn)前方的來(lái)流速度。此后氣流繼沿物面加速，走了一段之后，流速達(dá)最大值，Cp達(dá)最小值。這一點(diǎn)稱最大速度點(diǎn)，或最低壓強(qiáng)點(diǎn)，過(guò)了最大速度點(diǎn)之后，氣流開(kāi)始減速，到無(wú)限遠(yuǎn)的右方，流速減到和遠(yuǎn)前方來(lái)流一樣大。這是大多鈍頭物體低速流動(dòng)的特點(diǎn)：頭部附近形成一個(gè)低速高壓區(qū)，隨后速度迅速上升，壓強(qiáng)急劇下降。2、直勻流加偶極子

只有當(dāng)正源和負(fù)源的總強(qiáng)度等于零時(shí)，物形才是封閉的。設(shè)直勻流平行于x軸，由左向右流。再把一個(gè)軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。這時(shí)，流動(dòng)的位函數(shù)是：

流動(dòng)是直勻流流過(guò)一個(gè)圓。圓的半徑可以從駐點(diǎn)A的坐標(biāo)定出來(lái)。令：

故位函數(shù)可以寫(xiě)成：

流函數(shù)是ψ=0是一條特殊的流線。容易證明，該流線通過(guò)駐點(diǎn)，這時(shí)或，這就是x軸線；另外還有，這是一個(gè)半徑為的圓。

，兩個(gè)分速的式子是：用在的圓上時(shí)，得：

合速即為周向速度如下，徑向速度為0壓強(qiáng)系數(shù)：駐點(diǎn)A（θ=π）處的Cp是+1。

從駐點(diǎn)往后流，在θ=150°處流速加快到和來(lái)流的流速一樣大了。以后繼續(xù)加速，在θ=π/2處達(dá)最大速度，其值二倍于來(lái)流的速度，Cp是（–3.0）。過(guò)了最大速度點(diǎn)以后，氣流減速，在θ=0°處降為零，這一點(diǎn)稱為后駐點(diǎn)。這個(gè)流動(dòng)不僅上下是對(duì)稱的，而且左右也是對(duì)稱的，物面上的壓強(qiáng)分布也是對(duì)稱的，結(jié)果哪個(gè)方向的合力也沒(méi)有。不過(guò)實(shí)際流動(dòng)左右是不對(duì)稱的，由于實(shí)際流體是有粘性的緣故，氣流過(guò)了最大速度點(diǎn)以后，不可能始終貼著物體流下去，不可能進(jìn)行完全的減速，結(jié)果水平方向是有一個(gè)阻力的。達(dá)朗培爾疑題

達(dá)朗培爾（D’Alembert）18世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他提出，在理想不可壓流中，任何一個(gè)封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個(gè)結(jié)論不符合事實(shí)。這個(gè)矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展，那時(shí)人們以為用無(wú)粘的位流去處理實(shí)際流動(dòng)是沒(méi)有什么價(jià)值的。

后來(lái)才知道，這樣撇開(kāi)粘性來(lái)處理問(wèn)題，是一種很有價(jià)值的合乎邏輯的抽象，它能使我們把影響流動(dòng)的各種因素分開(kāi)來(lái)看清楚。譬如，早期由經(jīng)驗(yàn)得出來(lái)的良好翼型，最大的升力對(duì)阻力的比不過(guò)是幾十比一，后來(lái)在位流理論指導(dǎo)下，設(shè)計(jì)出來(lái)的翼型的最大升阻比竟達(dá)三百比一。這就是無(wú)粘抽象的指導(dǎo)意義。3、直勻流加偶極子加點(diǎn)渦在直勻流加偶極子的流動(dòng)之上再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為（–

）的點(diǎn)渦（順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)）。這時(shí)位函數(shù)和流函數(shù)分別是在極坐標(biāo)下，兩個(gè)分速是：

仍是一條流線。在這個(gè)圓上駐點(diǎn)的位置可從定出來(lái)在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點(diǎn)對(duì)y軸是對(duì)稱的。這個(gè)角度離開(kāi)π和0°的多少?zèng)Q定于環(huán)量對(duì)之比值；越大，駐點(diǎn)越往下移。

用動(dòng)量定理來(lái)計(jì)算，以原點(diǎn)為中心，畫(huà)一個(gè)半徑為r1很大的控制面S，整個(gè)的控制面還包括圓的表面S1以及連接S和S1的兩條割線。

不過(guò)這兩條割線上的壓力和動(dòng)量進(jìn)出都對(duì)消了，不必管它。

S上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對(duì)稱，不會(huì)有X合力。我們計(jì)算Y方向合力就行了，徹體力略去不計(jì)；流動(dòng)是定常的，第一項(xiàng)就沒(méi)有，因此：p可以按伯努利公式，用速度來(lái)表達(dá)動(dòng)量流出故

只要是一個(gè)封閉物體，代表這個(gè)物體作用的正負(fù)源的強(qiáng)度總和必須等于零。這種正負(fù)源放在一起的情況，在遠(yuǎn)離物體的地方（我們可以取r1很大），其作用和一個(gè)偶極子是沒(méi)有什么區(qū)別的。這就說(shuō)明了物形對(duì)升力沒(méi)有直接的關(guān)系，關(guān)鍵的問(wèn)題在于必須有一個(gè)繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有一個(gè)升力。庫(kù)塔-儒可夫斯基定理 一個(gè)封閉物體所受升力L等于來(lái)流的密度乘速度再乘以環(huán)量。升力的指向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)π/2。

按伯努利公式用物面壓強(qiáng)積分，有環(huán)量時(shí)，流動(dòng)圖畫(huà)左右仍是對(duì)稱的，但上下不對(duì)稱了。于是計(jì)算y向合力時(shí)結(jié)果就不等于零。這個(gè)y向合力，可以按伯努利公式以速度來(lái)表示圓柱面上的壓強(qiáng)，直接計(jì)算y向的壓力，最后經(jīng)積份去求得。

環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個(gè)Y向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無(wú)環(huán)量繞流情況作了對(duì)比。無(wú)環(huán)量時(shí)，上半圓（θ由π至0）上的壓力分布和下半圓（θ由π至2π）上的壓力分布對(duì)稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)下半圓上的負(fù)壓，所以有一個(gè)向上的合力，即升力。這個(gè)力的來(lái)源主要靠上半圓上的吸力。二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解把直勻流和分布的偶極子（或總強(qiáng)度為零的分布的點(diǎn)源和點(diǎn)匯）疊加起來(lái)，所得到的組合流動(dòng)——對(duì)稱封閉物體繞流。

設(shè)直勻流沿x軸正向流來(lái)，其速度為v∞，在x軸上x(chóng)=a和x=b范圍內(nèi)，連續(xù)分布一系列的偶極子，單位長(zhǎng)度內(nèi)偶極子的強(qiáng)度設(shè)為2πm（偶極子密度）。上面的組合流動(dòng)的流函數(shù)物體的外形可以用零流線來(lái)表示。改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體，由流函數(shù)和速度以及速度與壓強(qiáng)的關(guān)系確定流場(chǎng)各點(diǎn)及物體表面的速度分布和壓強(qiáng)分布。

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，往往是給定物體的外形來(lái)確定其流動(dòng)的特性。是一個(gè)積分方程，求它的解是比較困難的。但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。1、數(shù)值解法步驟首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段，設(shè)每段的寬度為△ξ，段數(shù)n可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定流場(chǎng)中某一定點(diǎn)P處的流函數(shù)為

式中為第j段的中點(diǎn)離原點(diǎn)的距離；為第j段內(nèi)偶極子密度的平均值；表示第j段內(nèi)偶極子的強(qiáng)度。用物面邊界條件來(lái)確定待求的偶極子密度 對(duì)于給定物體外形上的n個(gè)已知點(diǎn)（xi，yi），就可以得到一個(gè)對(duì)未知函數(shù)的n元一次聯(lián)立代數(shù)方程組

其中為影響系數(shù)，表示（xi，yi）處的單位偶極子密度對(duì)物體表面某點(diǎn)Pi處的流函數(shù)的貢獻(xiàn)。展開(kāi)上式，即

利用解一次方程組的各種計(jì)算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度。

一旦所給定物體外形的偶極子密度分布已經(jīng)解得，則可以確定流場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)。此后即可由流