流體力學(xué)與流體機(jī)械課件：機(jī)翼與葉柵理論（二）

復(fù)變函數(shù)的重要定理1.柯西積分定理如f(z)在封閉曲線C內(nèi)和C上都是解析和單值的，則2.泰勒級數(shù)如f(z)在封閉曲線C內(nèi)和C上都是解析函數(shù)，且z=z0是內(nèi)的一個點(diǎn)，則f(z)可展開為如下收斂的泰勒級數(shù)：3.羅朗級數(shù)如f(z)在z=z0中心的兩個同心圓C和C’的圓環(huán)內(nèi)是解析函數(shù)，則f(z)可以用（z-z0）的正和負(fù)的冪次式展開，即有環(huán)形區(qū)間內(nèi)都收斂的羅朗級數(shù)：式中，An為復(fù)系數(shù)。4.柯西留數(shù)定理孤立奇點(diǎn)：如函數(shù)f(z)在點(diǎn)z=z0不解析，但是在z0的去心領(lǐng)域0<|z-z0|<δ內(nèi)處處解析，那么稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。留數(shù)的定義：設(shè)z=z0為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，函數(shù)f(z)在0<|z-z0|<R內(nèi)解析，C是任意正向圓周|z-z0|=δ<R，則f(z)在z=z0的留數(shù)為：柯西留數(shù)定理：假定C是一條封閉曲線，除了C內(nèi)的有限個一階奇點(diǎn)外，函數(shù)f(z)在C內(nèi)和C上都是解析的。如在那些奇點(diǎn)上的留數(shù)等于r1,r2,…,rn，則留數(shù)定理為5.柯西公式假定f(z)在封閉曲線C內(nèi)和C上都是解析函數(shù)，如有z0是不在C上一個點(diǎn)，柯西公式有：第四節(jié)儒可夫斯基翼型與保角變換法

一、保角變換法求解平面勢流利用解析的復(fù)變函數(shù)

z

=f(ζ)將ζ平面上的圓域變換成z平面上的實(shí)用域。zxyCzV∞zαzξηζCζV∞ζαζ注意：保角變換過程中，同一點(diǎn)兩個線段的夾角在變換過程中保持不變。ζ0(dζ)1(dζ)2z0(dz)1(dz)2（一）復(fù)勢在保角變換中的變化可通過復(fù)變函數(shù)變換為z平面（物理平面）上，具有邊界Cz

的復(fù)勢可以證明，W(z)的實(shí)部和虛部均滿足拉普拉斯方程。ζ平面（輔助平面）上邊界為Cζ的平面勢流的復(fù)勢為ζ平面上的復(fù)速度（二）復(fù)速度在保角變換時(shí)的變化表示兩平面上相應(yīng)點(diǎn)的復(fù)速度不相等，V(ζ)的模比V(z)的模大|dz/dζ|倍，方向要轉(zhuǎn)arg(dz/dζ)大小的角。ζ平面上的無窮遠(yuǎn)來流復(fù)速度為則，z平面上的無窮遠(yuǎn)來流復(fù)速度為（三）流動奇點(diǎn)強(qiáng)度在保角變換中的變化作保角變換時(shí)，二平面上的點(diǎn)渦、點(diǎn)源強(qiáng)度關(guān)系為即奇點(diǎn)強(qiáng)度保持不變。保角變換法總結(jié)：當(dāng)某平面上繞某物體的流動復(fù)勢已知時(shí)，可以通過一解析函數(shù)作流動變換。在變換平面上的繞流復(fù)勢時(shí)可直接將解析函數(shù)代入已知復(fù)勢，兩平面上相應(yīng)點(diǎn)處的復(fù)速度不相等，兩平面上的流動奇點(diǎn)的強(qiáng)度保持不變。二、儒可夫斯基變換變換函數(shù)式中：c——

正的實(shí)常數(shù)。（一）變換特點(diǎn)1）ζ平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和原點(diǎn)都變換成z平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。2）在變換平面上有兩個無保角性的變換奇點(diǎn)

。C-C3）ζ平面上圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為c的圓周變換成z平面上實(shí)軸上長為4c的線段。4）

兩平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的流動相同。

ζ平面上圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑a>c的圓變換為

z平面上長半軸為a+c2/a（位于實(shí)軸），短半軸為a－c2/