課02-第一章復(fù)變函數(shù)2課件教材課程

一、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:1.4復(fù)變函數(shù)12.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:24.復(fù)變函數(shù)與實(shí)變量之間的關(guān)系:例如,3二、映射的概念1.引入:43.兩個(gè)特殊的映射:6且是全同圖形.78根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,9(如下頁圖)10將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長方形.11以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口相左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口相右的拋物線.(圖中藍(lán)色曲線)124.反函數(shù)的定義:13根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.14設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，值?若對任一，通過有確定的與之對應(yīng)，從而通過有確定的值與對應(yīng)，按照函數(shù)的定義，在中確定了是的函數(shù)，記作，稱其為與的復(fù)合函數(shù).5.復(fù)合函數(shù)的定義:15解三、典型例題例1還是線段.16例1解17例1解仍是扇形域.18例2解19所以象的參數(shù)方程為20四、小結(jié)與思考復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個(gè)重點(diǎn).注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”就行了.21思考題“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞有無區(qū)別？22思考題答案在復(fù)變函數(shù)中,對“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞的使用,沒有本質(zhì)上的區(qū)別.只是函數(shù)一般是就數(shù)的對應(yīng)而言,而映射與變換一般是就點(diǎn)的對應(yīng)而言的.放映結(jié)束，按Esc退出.23一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:1.5初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):24(2)模與幅角的性質(zhì):指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式:25(3)運(yùn)算性質(zhì):證26例1解2728例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:293031例3解32二、對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的定義2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)多值性質(zhì)33其余各值為特殊地,(2)回歸性質(zhì)34例4解注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對數(shù),而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.(3)負(fù)數(shù)性質(zhì)35例5解36例6解3738(4)運(yùn)算性質(zhì)39三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪的定義注意:4041特殊情況:422.冪函數(shù)的定義43例7解答案課堂練習(xí)44例8解4546四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.4748例9解49有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式50(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)51其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義52例10解53例11解54例12解55562.雙曲函數(shù)的定義57它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數(shù),58例13解59五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)的定義兩端取對數(shù)得60同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:2.反雙曲函數(shù)的定義61例14解62六、小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.負(fù)數(shù)無對數(shù)的結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)63思考題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?64思考題答案兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的,而且導(dǎo)數(shù)的形