67-陪集和拉格朗日定理教學(xué)教案

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12025/1/186.7陪集和拉格朗日定理陪集：設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，a∈G,則集合aH={a*b|b∈H},稱為由a確定的H在G中的左陪集。元素a∈aH稱為左陪集aH的代表元素。同理，Ha={b*a|b∈H}稱為由a確定的H在G中的右陪集。

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22025/1/186.7陪集與拉格朗日定理【例題】<{0,2,4},+6>是<N6,+6>的子群，求<{0,2,4},+6>的所有左陪集。解答：由0確定的左陪集：{0,2,4}

由1確定的左陪集：{1,3,5}

由2確定的左陪集：{0,2,4}

由3確定的左陪集：{1,3,5}

由4確定的左陪集：{0,2,4}

由5確定的左陪集：{1,3,5}

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32025/1/186.7陪集與拉格朗日定理【例題】

設(shè)G=R×R,R為實(shí)數(shù)集，G上的一個(gè)二元運(yùn)算+定義為<x1,y1>+<x2,y2>=<x1+x2,y1+y2>

顯然，<G,+>是一個(gè)具有幺元<0,0>的阿貝爾群。設(shè)H={<x,y>|y=2x,x,y∈R},很容易驗(yàn)證<H,+>是<G,+>的子群。對(duì)于<x0,y0>∈G,求H關(guān)于<x0,y0>的左陪集。

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52025/1/186.7陪集性質(zhì)『定理』設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，aH和bH是任意兩個(gè)左陪集，那么aH=bH或aH∩bH=φ

。證明：假設(shè)aH∩bH≠φ,則存在元素h1∈H,h2∈H使得a*h1=b*h2=c。則有a=b*h2*h1-1。任取x∈aH,存在h3∈H,使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3)

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62025/1/186.7陪集性質(zhì)而h2*h1-1*h3∈H,所以x∈bH。因此,aHbH

。同理可以得到bHaH。這樣，可以得到aH=bH。又aH和bH都是非空集合，aH=bH或aH∩bH=不可兼得。所以定理得證。

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72025/1/186.7陪集性質(zhì)『定理』設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，aH和bH是任意兩個(gè)左陪集，那么|aH|=|bH|=|H|。證明：a∈G,對(duì)于H中任意元素h1,h2∈H,若h1≠h2,則必有

a*h1≠a*h2所以|aH|=|H|。同理也有|bH|=|H|。

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82025/1/186.7陪集性質(zhì)『定理』設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，a,b∈G,aH是由a確定的H在G中的左陪集。b∈aH當(dāng)且僅當(dāng)a-1*b∈H。證明：b∈aH當(dāng)且僅當(dāng)存在h∈H,使得a*h=b,即h=a-1*b∈H。

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92025/1/186.7拉格朗日定理『定理』(拉格朗日定理)設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，那么有(1)R={<a,b>|a∈G∧b∈G∧a-1*b∈H}是G中的等價(jià)關(guān)系，且有[a]R=aH。(2)若G是有限群，|G|=n,|H|=m,則m|n。證明：(1)(i)(證明R是自反的)任取a∈G,則a-1∈G,可得a*a-1=e∈H因此<a,a>∈R，R是自反的。1736－1813

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102025/1/186.7拉格朗日定理(ii)(證明R是對(duì)稱的)若<a,b>∈R,則a-1*b∈H。因?yàn)?lt;H,*>是<G,*>的子群，則有(a-1*b)-1∈H,即b-1*a∈H,即<b,a>∈R。因此R是對(duì)稱的。(iii)(證明R是傳遞的)若<a,b>∈R,<b,c>∈R,則a-1*b∈H,且b-1*c∈R。因此有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c∈R所以<a,c>∈R。因此R是傳遞的。

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112025/1/186.7拉格朗日定理由(i)、(ii)、(iii)可知，R是G上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。(2)由于R是G上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，所以必將G劃分成不同的等價(jià)類[a1]R,[a2]R,…,[ak]R，使得

G==又因?yàn)閨aH|=|H|=m，故有n=|G|=||==k|H|=km即m|n。

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122025/1/186.7拉格朗日定理的推論『推論1』任何質(zhì)數(shù)階的群沒(méi)有非平凡子群。

這是因?yàn)?，如果有非平凡子群，那么該子群的階必定是原來(lái)群階的一個(gè)因子，這與原來(lái)群的階是質(zhì)數(shù)相矛盾?！和普?』設(shè)<G,*>是n階有限群，那么對(duì)于任意a∈G,a的階數(shù)必是n的因子,并且an=e。證明：設(shè)a是G中任意元素，以a為生成元生成的循環(huán)群為

H={ai|i∈I}

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132025/1/186.7拉格朗日定理的推論顯然<H,*>是<G,*>的一個(gè)子群。設(shè)|H|=m(m∈I,m>0)，根據(jù)拉格朗日定理，可知n=mk，k∈I+。根據(jù)循環(huán)群的性質(zhì)有am=e且H={a,a1,…,am-1,e}證畢。