老胡自動(dòng)控制原理第四版第三章時(shí)域分析福大課件

建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，可以采用不同的方法分析系統(tǒng)的性能。經(jīng)典控制理論中的時(shí)域分析法、根軌跡法、頻域分析法是三種不同的分析方法。由于時(shí)域分析法直接在時(shí)域中分析系統(tǒng)，且直觀、準(zhǔn)確，對(duì)建立控制系統(tǒng)的基本概念尤為重要。第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

上頁返回下頁圖庫1§3-1典型輸入信號(hào)§3-2線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)求解方法§3-3控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)….2學(xué)時(shí)

§3-4一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)…………….1學(xué)時(shí)

§3-5二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)…………….2學(xué)時(shí)

§3-6高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)…………….1學(xué)時(shí)

§3-7利用計(jì)算機(jī)求取系統(tǒng)的響應(yīng)…….1學(xué)時(shí)

§3-8線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性……………….2學(xué)時(shí)

§3-9控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差…………….2學(xué)時(shí)

§3-10給定穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差課時(shí)安排2系統(tǒng)的輸入信號(hào)通常不會(huì)都是確定的，更不是典型的，使用典型的輸入信號(hào)只是為了分析和設(shè)計(jì)的方便。采用典型的輸入信號(hào)，可以使問題的數(shù)學(xué)處理系統(tǒng)化，另外，它還可以由此去推知更復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)?！?-1典型輸入信號(hào)單位階躍函數(shù)近似

單位斜坡函數(shù)

δ-函數(shù)A=1—

單位δ-函數(shù)R(s)=1單位拋物線函數(shù)r(t)=δ(t)=r(t)=r(t)=r(t)=R(s)=1/SR(s)=1/S2

R(s)=1/S3

§3-1典型輸入信號(hào)3正弦函數(shù)典型信號(hào)之間的關(guān)系r(t)=Asin（

t+F0）正弦函數(shù)輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，由此形成了一整套控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析和設(shè)計(jì)方法S=14

幾種典型輸入信號(hào)的時(shí)域曲線如圖3-1所示。分析系統(tǒng)時(shí)，所選擇的實(shí)驗(yàn)信號(hào)應(yīng)以實(shí)際系統(tǒng)在工作中最常見的信號(hào)作為輸入信號(hào)。如果系統(tǒng)的輸入信號(hào)是突然擾動(dòng)量，應(yīng)選擇階躍信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)；如果系統(tǒng)的輸入信號(hào)是沖擊輸入量，可選擇脈沖信號(hào)為實(shí)驗(yàn)信號(hào)；如果系統(tǒng)輸入信號(hào)隨時(shí)間逐漸變化，應(yīng)選擇斜坡信號(hào)。一般說來，控制系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)信號(hào)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出來后，在實(shí)際輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)響應(yīng)特性一般都能滿足要求。上頁返回下頁圖庫5線性定常系統(tǒng)的描述線性常系數(shù)微分方程的解：

§3-2線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)求解方法輸出=任一特解+對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特解：電網(wǎng)絡(luò)中常常用穩(wěn)態(tài)響應(yīng)作為一個(gè)特解（穩(wěn)態(tài)分量）通解：齊次解（方程右邊=0）

零輸入響應(yīng)、也稱自由分量、相應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量稱暫態(tài)分量特解：若系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出中所有暫態(tài)分量將衰減到零，即 穩(wěn)態(tài)分量與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)—零狀態(tài)響應(yīng),強(qiáng)制分量6由傳遞函數(shù)用拉普拉斯變換工具可以使求解更加簡(jiǎn)單得輸出的拉普拉斯變換將輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換得輸出的時(shí)域形式(單位階躍響應(yīng))步驟：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s))7r(t)=δ(t)R(s)=1C(s)=G(s)C(t)=g(t)

系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可以由求階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)在任意輸入下的響應(yīng)又可以通過系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)求出r(t)=δ(t-kDτ)C(t)=g(t-kDτ)任意波形分割為一系列脈沖8C(s)=G(s)·R(s)

不能得到

c(t)=g(t)·r(t)c(t)=g(t)

r(t)

輸出是g(t)和r(t)的卷積

93.3控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

任何一個(gè)控制系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)都由動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。動(dòng)態(tài)過程是系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的過程。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇的情況，動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散和等幅振蕩幾種形式。一個(gè)可以正常工作的控制系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)過程必須衰減，也就是說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程可以提供穩(wěn)定信息、響應(yīng)速度、阻尼情況，這些都可以通過系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能來描述。動(dòng)態(tài)過程也稱為過渡過程或瞬態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程是系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，時(shí)間t趨于無窮時(shí)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程反映系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的過程，它提供了穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能來描述。穩(wěn)態(tài)過程又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上頁返回下頁圖庫10

由此可見，任何控制系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的性能指標(biāo)都由動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。一般認(rèn)為階躍輸入對(duì)系統(tǒng)是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下能滿足動(dòng)態(tài)性能的要求，在其它輸入形式作用下也能滿足其動(dòng)態(tài)性能要求。所以，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是在單位階躍函數(shù)作用下測(cè)定或計(jì)算的。為便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且系統(tǒng)輸出量以及各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對(duì)大多數(shù)控制系統(tǒng)，這種假定是符合實(shí)際情況的。圖3-2所示是控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，根據(jù)圖示，定義如下動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。（1）上升時(shí)間tr：指階躍響應(yīng)曲線從終值的10％上升到終值90％所需的時(shí)間；對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。上頁返回下頁圖庫11（2）延遲時(shí)間td：階躍響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需的時(shí)間。（3）峰值時(shí)間tp：指階躍響應(yīng)曲線從運(yùn)動(dòng)開始到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指階躍響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在終值±2％或±5％內(nèi)所需的最短時(shí)間，調(diào)節(jié)時(shí)間又稱為過渡過程時(shí)間。（5）超調(diào)量σ％：指階躍響應(yīng)曲線的最大峰值c(tp)與終值c(t)之差的百分比，即

（3-1）若系統(tǒng)輸出響應(yīng)單調(diào)變化，則無超調(diào)量。

上頁返回下頁圖庫12

穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)表征了系統(tǒng)控制精度及抗干擾能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量不等于希望值，說明系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差一般在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)作用下測(cè)定或計(jì)算。上述五個(gè)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)基本可以反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程性能。其中td、tr、tp反映系統(tǒng)響應(yīng)的初始快速性；ts即反映系統(tǒng)的總體快速性，又與阻尼程度有關(guān)；σ％則反映系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性或阻尼程度。上頁返回下頁圖庫13便于參數(shù)尋優(yōu)及性能比較

（二）綜合性能指標(biāo)但它不能使階躍響應(yīng)的各參數(shù)均最優(yōu)，甚至某些參數(shù)還可能不能用。14§3-4一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：r(t)=1(t)C(s)R(s)方框圖微分方程：

?傳遞函數(shù)?方框圖?階躍響應(yīng)?脈沖響應(yīng)?仿真演示???一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)15用拉普拉斯求取階躍響應(yīng)：r(t)=1(t)則R(s)=1/S輸出由兩部分組成：一部分不隨時(shí)間變化—穩(wěn)態(tài)分量（1）；另一部分隨隨時(shí)間變化—暫態(tài)分量（）。因此，系統(tǒng)的階躍輸出是隨時(shí)間變化的t=3T~4T時(shí),過渡過程基本結(jié)束;

t=0處斜率為1/Tt→∞時(shí),輸出等于輸入值（公式中暫態(tài)項(xiàng)等于零）;

t=T時(shí),輸出到達(dá)穩(wěn)態(tài)的63.2%;163.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

輸入信號(hào)r(t)=δ(t)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)c(t)為單位脈沖響應(yīng)。由于理想單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為1，所以單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同。圖3-4所示一階系統(tǒng)的輸出為

其單位脈沖響應(yīng)為（t≥0）(3-7)

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖3-7所示。顯然，響應(yīng)曲線為單調(diào)下降指數(shù)曲線，且在初始時(shí)刻t=0時(shí)，響應(yīng)幅值為最大值1/T；當(dāng)t→∞時(shí)，幅值衰減到零。對(duì)式(3-7）求一階導(dǎo)數(shù)，可以求出響應(yīng)曲線斜率(3-8)上頁返回下頁圖庫17即

一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間按指數(shù)曲線衰減到初值的5％求取，得=3T。而且時(shí)間常數(shù)小的系統(tǒng)，響應(yīng)速度好。零初始條件時(shí)，一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)之間的動(dòng)態(tài)過程相同，這也適用于其他各階線性定常系統(tǒng)。因此測(cè)出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，就可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。由于理想單位脈沖函數(shù)是無法獲取的，故而往往以脈寬為b、幅值有限的脈動(dòng)函數(shù)代替理想的單位脈沖函數(shù)，且要求脈寬b＜0.1T。上頁返回下頁圖庫18一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：r(t)=

(t)則R(s)=1脈沖響應(yīng)的積分就是階躍響應(yīng)因?yàn)殡A躍信號(hào)是脈沖信號(hào)的積分如果將脈沖信號(hào)做積分運(yùn)算193.2.4一階系統(tǒng)的單位斜波響應(yīng)

輸入信號(hào)r(t)=t時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)c(t)為單位斜坡響應(yīng)。因?yàn)镽(s)=1/s2，圖3-4所示系統(tǒng)的輸出為

(3-9)其單位斜坡響應(yīng)為

(t≥0)(3-10)

式(3-10)中的（t-T）為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量。穩(wěn)態(tài)分量與斜坡輸入函數(shù)的斜率相同，但在時(shí)間上滯后一個(gè)T值，所以存在位置誤差，誤差值即時(shí)間常數(shù)T；瞬態(tài)分量則隨時(shí)間單調(diào)衰減。圖3-8為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線。

上頁返回下頁圖庫20由圖3-8可以看出，系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間推移逐漸增大，但最后趨于常值T。系統(tǒng)的慣性越小，位置誤差越小，跟蹤準(zhǔn)確度就越高。在t=0時(shí)，初始斜率為零，即所以初始狀態(tài)時(shí)輸出速度和輸入速度之間誤差最大。

上頁返回下頁圖庫213.2.5一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

輸入信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)c(t)為單位加速度響應(yīng)。因?yàn)椋瑘D3-4所示系統(tǒng)的輸出為其單位加速度響應(yīng)為

（t≥0）(3-11）

就單位加速度響應(yīng)來說，僅分析其跟蹤誤差e(t)即可。e(t)的表達(dá)式為

當(dāng)t→∞時(shí)，跟蹤誤差達(dá)到無窮大，由此得到一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度信號(hào)的結(jié)論。上頁返回下頁圖庫22表3-2一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)式

從上述一階系統(tǒng)對(duì)四種不同典型輸入的響應(yīng)，得出系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)微分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的微分；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，這一特性適用于任何階線性定常連續(xù)系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)以及線性時(shí)變系統(tǒng)則不具有這種特性。這樣，研究線性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)只取一種典型形式進(jìn)行測(cè)定即可。上述四種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)表達(dá)式列于表3-2中。輸入信號(hào)

輸出信號(hào)

1（t）1-e-t/Tt≥0δ(t)e-t/T/Tt≥0tt–T+Te–t/Tt≥0t2/2t2/2–Tt+T2(1-e-t/T)t≥0上頁返回下頁圖庫23開環(huán)傳遞函數(shù)（上式分式上下同除以（））標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)方框圖§3-5二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

?傳遞函數(shù)?方框圖?特征參數(shù)?階躍響應(yīng)與根分布?階躍響應(yīng)特征值?脈沖響應(yīng)?仿真演示???24階躍響應(yīng)根在根平面上的位置不等負(fù)實(shí)根1相等負(fù)實(shí)根2共軛復(fù)根3共軛虛根4正（正實(shí)部）根5根位置不同（、不同）有不同的階躍響應(yīng)特征參數(shù)、25一、不同參數(shù)(

、n)下二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不同系統(tǒng)（就是不同參數(shù)、n

）下，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有不同的形態(tài)，通過分析參數(shù)、n

與二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的關(guān)系可以很容易揭示其本質(zhì)26暫態(tài)分量：響應(yīng)隨t的增加逐漸單調(diào)衰減到零；后一個(gè)分量衰減更快。輸出也是由兩部分組成：

—穩(wěn)態(tài)分量=1

—暫態(tài)分量?jī)蓚€(gè)形如脈沖響應(yīng)部分，隨時(shí)間變化的t→∞時(shí),輸出等于輸入值（=1，暫態(tài)項(xiàng)等于零）。27仿真模塊ypzk34根分布28根分布29階躍響應(yīng)是隨時(shí)間單調(diào)上升的當(dāng)t∞響應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)值303、根分布此時(shí)根的特點(diǎn)：共軛復(fù)數(shù)階躍響應(yīng)是振蕩的，由于根的實(shí)部為負(fù)，所以，振蕩的幅值隨時(shí)間的增加而衰減，最終趨于零31仿真模塊(ypzk36).11

.32階躍響應(yīng)與極點(diǎn)分布：335、階躍響應(yīng)暫態(tài)分量指數(shù)項(xiàng)在

t∞時(shí)為無窮大，系統(tǒng)不穩(wěn)定。根分布34無阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率阻尼比臨界阻尼校正的概念35

3.3.3欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析

在控制工程中，一般都希望系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程既有充分的快速性，又有一定的阻尼，所以為了獲得滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，希望阻尼比等于0.4～0.8。過?。ㄗ枘岜刃∮?。4）,將導(dǎo)致超調(diào)量較大；過大（阻尼比＞0.8），又會(huì)使響應(yīng)遲緩。下面推導(dǎo)由式（3-19）描述的典型二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算公式。為了便于說明問題，由圖3-13表示欠阻尼二階系統(tǒng)各特征參量之間的關(guān)系。圖中衰減系數(shù)σ指閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸之間的矩離；阻尼振蕩頻率ωd為閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的矩離；自然頻率ωn是閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間的矩離；ωn和負(fù)實(shí)軸夾角的余弦是阻尼比ζ,即

jω0σωns1s2圖3-13欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量

(3-25)

上頁返回下頁圖庫361）二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特征量有：上升時(shí)間峰值時(shí)間百分比超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間衰減比二、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特征量第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值時(shí)間第一次進(jìn)入誤差帶時(shí)間誤差帶：到達(dá)最大值時(shí)間第二超調(diào)量與第一超調(diào)量之比37當(dāng)（

>=1）時(shí)階躍響應(yīng)沒有超調(diào)，此時(shí)，上升時(shí)間的定義修改如下：382）二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特征量的計(jì)算：！第一次到達(dá)上升時(shí)間

tr依定義有：當(dāng)租尼比一定時(shí)，阻尼角不變，系統(tǒng)的響應(yīng)速度與自然頻率成正比，當(dāng)阻尼一定時(shí)，自然頻率越小，上升時(shí)間越短。39峰值時(shí)間tp！第一次到達(dá)令：峰值時(shí)間tp等于阻尼振蕩周期的一半。當(dāng)阻尼比一定時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)距負(fù)實(shí)軸越遠(yuǎn)，峰值時(shí)間越短。40百分比超調(diào)量Mp%41超調(diào)量σ％與自然頻率無關(guān)，僅是阻尼比的函數(shù)。阻尼比越大，超調(diào)量越小；阻尼比越小，超調(diào)量越大。當(dāng)選取阻尼比為0.4～0.8時(shí)，σ％值在1.5％～25.4％之間。42調(diào)節(jié)時(shí)間ts符合上式答案有多個(gè)，如下圖43用包絡(luò)線近似來簡(jiǎn)化計(jì)算：取得包絡(luò)線方程：44當(dāng)當(dāng)

0.20.40.50.60.70.8-0.02-0.087-0.144-0.223-0.337-0.51適用其中45調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比。閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸距離越遠(yuǎn)，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。阻尼比ζ的值主要根據(jù)超調(diào)量要求確定；自然頻率ωn的值主要根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間要求確定46圖3-16例3-2控制系統(tǒng)

解：(1)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較得所以特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系為（2）已知K=16，T=0.25，得

將、的值代入各動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算公式求得例3-2

單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)如圖3-16所示。（1）確定系統(tǒng)特征參數(shù)、與其實(shí)際參數(shù)的關(guān)系；（2）若K=16，T=0.25，計(jì)算系統(tǒng)的各動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。C(s)R(s)-上頁返回下頁圖庫47衰減比振蕩次數(shù)單位脈沖響應(yīng)可由階躍響應(yīng)求導(dǎo)數(shù)得到48§3-8高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)特解穩(wěn)態(tài)分量零狀態(tài)響應(yīng)強(qiáng)制分量齊次解暫態(tài)分量零輸入響應(yīng)自由分量§3-6高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)49不同閉環(huán)極點(diǎn)位置與相應(yīng)響應(yīng)分量圖例極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)分量衰減越快（a-b）

則：該分量（極點(diǎn)）對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響就小根據(jù)系統(tǒng)對(duì)階躍響應(yīng)暫態(tài)分量的分析，閉環(huán)極點(diǎn)位置決定該分量階躍響應(yīng)的形態(tài)d、e點(diǎn)：虛部不為零，過渡過程是振蕩的b、d、e點(diǎn)：實(shí)部相同,其衰減（或幅值衰減）速度相同d、e點(diǎn)：實(shí)部相同,虛部不同，虛部值越大，其振蕩頻率越大50等ζ線d點(diǎn)：其虛部與c相同，響應(yīng)分量振蕩頻率與c相同e點(diǎn)：與c點(diǎn)、原點(diǎn)在同一直線,

有相同的ζ，響應(yīng)分量有相同的百分比超調(diào)量極點(diǎn)位置在虛軸上，其響應(yīng)是等幅振蕩的，離實(shí)軸越遠(yuǎn)，振蕩頻率越高極點(diǎn)位置上，如果恰好有閉環(huán)零點(diǎn)（偶極子），它們的作用將抵消51

閉環(huán)零點(diǎn)：減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)加快，超調(diào)量增大。阻尼比減小。且閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)：增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)變緩，超調(diào)量減小，阻尼比增大。且閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響：主導(dǎo)極點(diǎn)：高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其附近沒有零點(diǎn)，它的實(shí)部比其它極點(diǎn)的實(shí)部的1/5還小，稱其為主導(dǎo)極點(diǎn)。此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定。通過主導(dǎo)極點(diǎn)可以把高價(jià)系統(tǒng)近似為二價(jià)系統(tǒng)進(jìn)行分析。52小結(jié)：系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能是考核系統(tǒng)的重要指標(biāo)；使用典型的階躍信號(hào)輸入，用二階系統(tǒng)響應(yīng)的特征量來表述系統(tǒng)性能：上升時(shí)間、峰值時(shí)間、百分比超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間；求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方法：直接求解微分方程（低階）：通解、特解；用拉氏變換求解：拉氏變換→求輸出的拉氏形式→拉氏反變換；二階系統(tǒng)的特征量ζ、ωｎ與性能指標(biāo)關(guān)系可用公式描述；系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)共同決定系統(tǒng)的暫態(tài)性能，但主要是由極點(diǎn)決定，零點(diǎn)主要影響響應(yīng)的初始形態(tài)；系統(tǒng)的響應(yīng)可以在根平面上分析。53§3-8線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性?穩(wěn)定性的概念

?穩(wěn)定的充要條件?ROTH穩(wěn)定判據(jù)一、穩(wěn)定性的概念

定義：線性系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下，受到干擾的作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后，系統(tǒng)能夠回到原狀態(tài)或者回到原平衡點(diǎn)附近，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，不穩(wěn)定。

?上述穩(wěn)定是“漸近穩(wěn)定”的?“線性”系統(tǒng)通常是線性化的因此，穩(wěn)定性通常也應(yīng)在小偏差范圍中討論54齊次解暫態(tài)分量零輸入響應(yīng)自由分量二、穩(wěn)定的充要條件

根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)輸出表達(dá)式

?只要Si<0或當(dāng)它為復(fù)數(shù)時(shí)，其實(shí)部-

k

k<0即：系統(tǒng)所有的閉環(huán)特征根在根平面的左半面，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的暫態(tài)分量隨時(shí)間t趨于無窮而趨于零，此時(shí)，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

?如果至少有一個(gè)根Si>0或有實(shí)部-

k

k>0的根，即：在根平面的右半面有系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，那麼，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的暫態(tài)分量中，該輸出分量隨時(shí)間t趨于無窮而趨于無窮大，也就是，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

55系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別歸結(jié)為：根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在根平面的位置來判別?！?-9勞斯穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否，只要令系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式等于零，判別系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)）即可。如果系統(tǒng)的閉環(huán)特征根至少有一個(gè)根Si>0

或者根的實(shí)部-

k

k>0

即：根平面的右半面有閉特征根，那麼，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

ROTH不求根，只用閉環(huán)特征多項(xiàng)式的系數(shù)，通過簡(jiǎn)單運(yùn)算就可判斷極點(diǎn)的位置，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性56分母都是第一列的元素，如第三行第二列

三、勞斯判據(jù)閉環(huán)特征方程：1、閉環(huán)特征方程如果

ai不是全部同號(hào)或系數(shù)有等于零的項(xiàng)（缺項(xiàng)），則系統(tǒng)不穩(wěn)定；否則，繼續(xù)進(jìn)入第二步；勞斯陣列表:2、建立勞斯陣列表

3、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)第一列元素全部同號(hào)且不為零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

571、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定與否繼續(xù)第二步；2、建立勞斯陣列表

因?yàn)榈谝涣兄?，各元素不同?hào)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。又：由于第一列的元素變號(hào)兩次，應(yīng)有兩個(gè)極點(diǎn)在S平面的右半面。該系統(tǒng)有五個(gè)根：-2.04610.7336±1.1577i-0.7105±0.8922i58

2.

勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況應(yīng)用勞斯判據(jù)建立的勞斯表，有時(shí)會(huì)遇到兩種情況，使計(jì)算無法進(jìn)行，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理，而處理的原則是不影響勞斯穩(wěn)定判據(jù)的判斷結(jié)果。

(1)

勞斯表中某行第一列元等于零:

如果出現(xiàn)這種情況，計(jì)算勞斯表下一行第一元時(shí)，會(huì)出現(xiàn)無窮現(xiàn)象，使勞斯穩(wěn)定判據(jù)無法使用。例如系統(tǒng)特征方程為

D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0（3-89）

勞斯列表為

s4

111s3

33s2

01s2

∞上頁返回下頁圖庫59

有兩種方法可以解決這種情況。第一種方法是用因子（s+a）乘原特征方程，a是正實(shí)數(shù)，再對(duì)新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷。如用(s+3)乘式（3-89），得新特征方程為

D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0列勞斯表為s5

11010s4

663s3

99.5s2

-0.333s1

91.40s0

3可見第一列元符號(hào)改變兩次，所以有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。上頁返回下頁圖庫601s0

s1

1s2

33s3

111s4

因?yàn)?，所以?，勞斯表第一列變符號(hào)兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。顯然兩種處理方法判斷結(jié)果相同。

(2)

勞斯表中出現(xiàn)全零行:

若系統(tǒng)存在對(duì)稱坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)全零行這種情況。當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行，可用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程F(s)=0，并將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行的各元素，就可按勞斯穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同符號(hào)相反的根數(shù)，而且這些根可由輔助方程求出。

第二種方法是用一個(gè)小正數(shù)代替第一列中等于零的元素，繼續(xù)勞斯表的列寫，最后取即可。如式(3-89)的勞斯表為上頁返回下頁圖庫61

用導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行相應(yīng)的元素，得新勞斯表為由s2行系數(shù)構(gòu)造輔助方程為F(s)=10s2+160對(duì)輔助方程F(s)的變量s求導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)數(shù)方程例

系統(tǒng)特征方程如下，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

D(s)=s3+10s2+16s+160=0

解：列勞表斯為s3

116s2

10160←輔助方程F(s)=0的系數(shù)

s1

00←出現(xiàn)全零行

上頁返回下頁圖庫62s3

116s2

10160s1

200←構(gòu)成新行s0

160第一列不變號(hào)，故系統(tǒng)無正實(shí)部根，但因出現(xiàn)全零行，解輔助方程F(s)得一對(duì)共軛復(fù)根，所以系統(tǒng)屬臨界穩(wěn)定。

上頁返回下頁圖庫63該系統(tǒng)的勞斯陣列中第一列出現(xiàn)等于零的元素，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。由輔助方程可求得：

64（4）S4+2S3+8S2+4S+3=0（5）S4+2S3+S2+4S+2=0（6）S5+S4+3S3+9S2+16S+10=0（7）S6+3S5+5S4+9S3+8S2+6S+4=0四、

勞斯判據(jù)的其他應(yīng)用1、確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)取值范圍2、確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕量

用(S-σ)代替S，如果用ROTH判據(jù)判斷仍能穩(wěn)定，則表明該系統(tǒng)至少有穩(wěn)定裕量σ?guī)?shù)按步驟列表計(jì)算ROTH陣列表第一列元素；令含參數(shù)的元素>零，得到系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)取值范圍65例3-7

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

（1）用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定K1的取值范圍；（2）如果要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1垂線之左，求K1的取值范圍。

因此閉環(huán)特征方程為

D(s)=s3+30s2+6500s+6500K1=0(3-90)

相應(yīng)的勞斯表為

解：（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為6500K1

s0

s1

6500K30s2

65001s3

上頁返回下頁圖庫666500K1-6471z0

z16500K1-647127z2

64431z3

根據(jù)勞斯判據(jù)，得全部閉環(huán)極點(diǎn)位于s=-1垂線之左的K1取值范圍是:

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍是。（2）根據(jù)題意，將s=z-1代入式(3-93)，得如下新特征方程

D(z)=z3+27z2+6443z+(6500K1-6471)=0

相應(yīng)勞斯表為上頁返回下頁圖庫67§3-10控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一穩(wěn)態(tài)誤差的定義

穩(wěn)態(tài)誤差的定義

：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指在輸入加入后，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間，其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道時(shí)（指穩(wěn)定系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)），穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間的誤差。穩(wěn)態(tài)：當(dāng)時(shí)間趨于無窮 大時(shí)的固定響應(yīng)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：給定輸入下的誤差—給定誤差

擾動(dòng)輸入下的誤差—擾動(dòng)誤差

恒值控制系統(tǒng)：恒值隨動(dòng)控制系統(tǒng)：跟隨輸入變化

正弦輸入下系統(tǒng)響應(yīng)是正弦波68當(dāng)H(s)=1時(shí)（即單位負(fù)反饋），B(s)=C(s),這時(shí)的E(s)=E1(s),所以,經(jīng)常也用E1(s)來描述穩(wěn)態(tài)誤差（本書在計(jì)算給定誤差時(shí)用E1(s),essr=L-1[R(s)-B(s)]

而計(jì)算擾動(dòng)誤差時(shí)用擾動(dòng)的輸出,essn=L-1[Cn(s)]）二誤差的衡量按定義，圖中E(s)是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的拉普拉斯變換形式注意擾動(dòng)輸入的符號(hào)！如圖EN(s)=CN(s)=GN(s)*[±N(s)]

在作結(jié)構(gòu)圖變換求擾動(dòng)輸入下的輸出時(shí)，該符號(hào)只是決定擾 動(dòng)輸出的符號(hào)，不影響閉環(huán)反饋的符號(hào)。K—系統(tǒng)閉環(huán)傳遞系數(shù)69三系統(tǒng)的“型號(hào)”根據(jù)隨動(dòng)系統(tǒng)跟蹤信號(hào)的能力將系統(tǒng)劃分為0、I、II型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

H(s)中不含積分環(huán)節(jié)，

=0不含積分環(huán)節(jié)—0型系統(tǒng)

=1含一個(gè)積分環(huán)節(jié)—I型系統(tǒng)

=2含二個(gè)積分環(huán)節(jié)—II型系統(tǒng)根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，可以分別求給定誤差和擾動(dòng)誤差

70§3-11給定穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差一給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算

位置（階躍）誤差系數(shù)

終值定理：

斜坡（速度）誤差系數(shù)拋物線（加速度）誤差系數(shù)71求系統(tǒng)的給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差可以先求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)三種典型輸入下有三個(gè)誤差系數(shù)的計(jì)算公式（由上頁），而三個(gè)誤差系數(shù)對(duì)應(yīng)于“0”“I”“II”型系統(tǒng)又分別有三種情況0型系統(tǒng)

0型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)，誤差系數(shù)=K

0型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)，輸出始終不會(huì)等于輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差

0型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí)，誤差系數(shù)=0

穩(wěn)態(tài)誤差無窮大（輸出不能跟隨輸入）

0型系統(tǒng)，拋物線輸入時(shí)，誤差系數(shù)=0

輸出不能跟隨輸入，穩(wěn)態(tài)誤差無窮大系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中不含積分環(huán)節(jié)72I型系統(tǒng)

I型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)誤差系數(shù)無窮大

I型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)沒有穩(wěn)態(tài)誤差輸出最終等于輸入

I型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí)，誤差系數(shù)=K

I型系統(tǒng)，拋物線輸入時(shí)，誤差系數(shù)=0

I型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí)，輸出可跟隨輸入，但存在誤差

穩(wěn)態(tài)誤差無窮大（輸出不能跟隨輸入）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含一個(gè)積分環(huán)節(jié)73II型系統(tǒng)

II型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)誤差系數(shù)無窮大

II型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)沒有穩(wěn)態(tài)誤差輸出最終等于輸入

II型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí)誤差系數(shù)無窮大

II型系統(tǒng)，拋物線輸入時(shí)，誤差系數(shù)=K

II型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí)，輸出完全跟隨輸入，沒有穩(wěn)態(tài)誤差

輸出可跟隨輸入，但存在穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)74給定輸入 給定穩(wěn)態(tài)誤差的終值0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)r(t)1/(1+k)00t∞1/K0t2/2∞∞1/K三種典型輸入下對(duì)應(yīng)于“0”“I”“II”型三種系統(tǒng)有九種情況，誤差的計(jì)算公式列表如下：二給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的計(jì)算

（略）說明：當(dāng)不能使用終值定理（如：正弦輸入下）或很難求的時(shí)候，用

穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的計(jì)算

75三擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值就是擾動(dòng)輸入所產(chǎn)生的輸出在穩(wěn)態(tài)時(shí)的值

計(jì)算步驟：1、求誤差傳遞函數(shù)F(s)；2、求誤差輸出；3、用終值定理例:設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中H(s)=1，Gc(s)=10/S,G0(s)=1/(S+1)若擾動(dòng)N(s)=1(t),試求擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。解：1、求誤差傳函2、求誤差輸出3、用終值定理求擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差76

采用以下措施可以提高控制系統(tǒng)的精度。（1）由表3-4知，增大系統(tǒng)的開環(huán)增益，可以減小系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；如果增大系統(tǒng)擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的增益，也可以減小系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)作用的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）在系統(tǒng)的前向通道或反饋通道串聯(lián)積分環(huán)節(jié)可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是上述兩種措施中的積分環(huán)節(jié)不能超過兩個(gè)，開環(huán)增益也不能很大，否則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）不能簡(jiǎn)單的靠串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或增大開環(huán)增K減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，通常在系統(tǒng)中引入與給定作用有關(guān)或擾動(dòng)作用有關(guān)的附加控制作用，即復(fù)合控制系統(tǒng)。

H(s)=2.5例3-13

在例3-11中的圖3-35中，在擾動(dòng)點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，對(duì)結(jié)果有何影響？在擾動(dòng)點(diǎn)之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，結(jié)果又如何？（其它不變）

解：在擾動(dòng)點(diǎn)之前串聯(lián)積分環(huán)節(jié)1/s。則

3.6.4提高系統(tǒng)控制精度的措施上頁返回下頁圖庫77H(s)=2.5

可