2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分板塊突破篇板塊六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)提升點導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的函數(shù)構(gòu)造課件

提升點導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的函數(shù)構(gòu)造近幾年的數(shù)學(xué)試題中，很多涉及導(dǎo)數(shù)問題的解答常需要構(gòu)造新函數(shù)，即聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)，若題目中遇到有關(guān)不等式、方程及最值類的問題，則可構(gòu)造函數(shù)，并確定自變量的范圍，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，使問題變得清晰明了．構(gòu)造函數(shù)的主要依據(jù)有兩個：一是直接根據(jù)所求解的不等式或方程；二是根據(jù)求導(dǎo)的基本法則．常見的函數(shù)構(gòu)造有具體函數(shù)和抽象函數(shù)兩種．√對于含有同等地位的兩個變量的不等式(或方程)進行變形，通過變形整理后的不等式(或方程)兩邊具有相同結(jié)構(gòu)，往往通過函數(shù)的單調(diào)性進行求解，這類問題主要針對雙變量x1，x2(或a，b)，常見的類型有：√1．已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin2x－siny，則下列選項正確的是(

)A．2x＜y B．2x＞yC．x＞y D．x＜y解析：由題設(shè)f(t)＝et－sint，t＞0，則f′(t)＝et－cost，當(dāng)t＞0時，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，原不等式可變形為e2x－sin2x＞ey－siny，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y.故選B.2．已知x＞0，y＞0，且ex＋lny＞x＋y，則下列選項正確的是(

)A．x＞y B．x＞lnyC．x＜y D．x＜lny解析：方法一：原不等式等價于ex－x＞y－lny，等價于ex－x＞elny－lny．令f(x)＝ex－x，則不等式ex－x＞elny－lny，等價于f(x)＞f(lny)，因為f′(x)＝ex－1，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＝ex－1＞0，所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．若y∈(1，＋∞)，則lny∈(0，＋∞)，由f(x)＞f(lny)，得x＞lny；若y∈(0，1]，則lny≤0，由x＞0，得x＞lny．綜上所述，x＞lny．故選B.√√類型2抽象函數(shù)的構(gòu)造√【解析】令g(x)＝e2xf(x)，則g′(x)＝2e2xf(x)＋e2x·f′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]，因為e2x>0，2f(x)＋f′(x)<0，所以g′(x)<0，所以函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，所以g(2)>g(3)，即e4f(2)>e6f(3)，所以f(2)>e2f(3).√1．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x<0時，xf′(x)＋f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(

)A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，當(dāng)x<0時，F(xiàn)′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減．又f(－1)＝0，則F(－1)＝0，所以當(dāng)－1<x<0時，F(xiàn)(x)<0，所以當(dāng)－1<x<0時，f(x)>0.因為f(x)為奇函數(shù)，所以F(x)＝xf(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)>0，所以當(dāng)x>1時，f(x)>0.綜上可知，f(x)>0的解集為(－1，0)∪(1，＋∞)，故選B.√2．已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，則不等式f(x