備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第十二章-§12-2-古典概型與幾何概型

第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.2

古典概型與

幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有_____個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的_______相等.(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是_________，設(shè)出所求的事件為A；②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；有限可能性等可能的(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同名稱不同點(diǎn)相同點(diǎn)頻率計(jì)算公式頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計(jì)算了一個(gè)比值古典概型的概率計(jì)算公式

是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化2.幾何概型(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的________________成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(3)計(jì)算公式：P(A)＝____________________________________________.長(zhǎng)度(面積或體積)判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(

)(2)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率為0.(

)(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(4)兩個(gè)互斥事件的概率和為1.(

)√√××1.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為√√3.現(xiàn)有7名成績(jī)優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2的物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中各選1人，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽，則A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為_(kāi)__.基本事件共有3×2×2＝12(個(gè))，其中符合條件的基本事件有2＋2×2＝6(個(gè))，故A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為

.探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，將其組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為題型一古典概型由題意，這個(gè)數(shù)可能為235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24種情況，√(2)在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是√利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為√從寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，共有15種取法，它們分別是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6種取法，所以所求概率是P＝

(2)(2022·成都質(zhì)檢)2022年冬奧會(huì)在北京、延慶、張家口三個(gè)區(qū)域布置賽場(chǎng)，北京承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有雪上項(xiàng)目.組委會(huì)招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，分配到上述3個(gè)賽場(chǎng)參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個(gè)賽場(chǎng)至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場(chǎng)的概率為

___.題型二古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題例2

北京冬奧會(huì)順利閉幕后，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿意，女生中有30名對(duì)講座活動(dòng)不滿意.(1)完成右面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)？

滿意不滿意總計(jì)男生

女生

總計(jì)

1202×2列聯(lián)表如表所示.

滿意不滿意總計(jì)男生402060女生303060總計(jì)7050120根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，所以有90%的把握認(rèn)為講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān).(2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝?tīng)講座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率.P(K2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828由(1)知，在樣本中對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生有70名，從中抽取7名，其中記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件A，求解古典概型的綜合問(wèn)題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題.(1)成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？根據(jù)題意，成績(jī)?cè)赱50,60)這一組的頻率為0.015×10＝0.15，在[60,70)這一組的頻率為0.025×10＝0.25，在[70,80)這一組的頻率為0.035×10＝0.35，在[90,100]這一組的頻率為0.005×10＝0.05，則成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻率為

×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其頻數(shù)為40×0.1＝4.(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫(xiě)過(guò)程)這次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成績(jī)?cè)赱70,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5，則中位數(shù)約為70.(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.記“選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件E，成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有40×0.1＝4(人)，設(shè)為a，b，c，d；成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的有40×0.05＝2(人)，設(shè)為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15種選法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7種選法，則P(E)＝

.幾何概型例3

(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為題型三√(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為√因?yàn)閳A心(0,0)，半徑r＝1，直線與圓相交，(1)求解幾何概型概率的步驟思維升華(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2021·全國(guó)乙卷)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，√(2)陽(yáng)馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐.在陽(yáng)馬P－ABCD中，PC為陽(yáng)馬P－ABCD中最長(zhǎng)的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽(yáng)馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為√根據(jù)題意，得PA⊥平面ABCD，PC的長(zhǎng)等于陽(yáng)馬P－ABCD外接球的直徑.∴PA＝2.課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.在區(qū)間(0,6)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m，不等式m2－4m＋3<0的概率是1234567891011121314√2.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“

”表示一根陽(yáng)線，“

”表示一根陰線)，現(xiàn)從八卦圖中任取兩卦，這兩卦的陽(yáng)線數(shù)目相同的概率為1234567891011121314√12345678910111213143.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動(dòng)態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國(guó)，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國(guó)不可分離的一部分，并將在祖國(guó)懷抱中興旺發(fā)達(dá).花蕊上的五星象征香港同胞熱愛(ài)祖國(guó)，采用紅、白不同顏色，象征“一國(guó)兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的

，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213144.將3個(gè)1和4個(gè)0隨機(jī)排成一行，則3個(gè)1中任意2個(gè)1都不相鄰的概率為√5.在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取4個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這4個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為1234567891011121314√123456789101112131412345678910111213146.某校對(duì)高一新生進(jìn)行體能測(cè)試(滿分100分)，高一(1)班有40名同學(xué)成績(jī)恰在[60,90]內(nèi)，繪成頻率分布直方圖(如圖所示)，從[60,70)中任抽2人的測(cè)試成績(jī)，恰有一人的成績(jī)?cè)赱60,65)內(nèi)的概率是√1234567891011121314由頻率分布直方圖知[60,65)內(nèi)有2人，不妨記為a，b；[65,70)內(nèi)有4人，不妨記為1,2,3,4.從6人中任抽2人的基本事件為{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15個(gè)，事件“恰有一人的成績(jī)?cè)赱60,65)內(nèi)”的基本事件有8個(gè)，所以所求的概率為

.12345678910111213147.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為40秒，黃燈的時(shí)間為10秒，綠燈的時(shí)間為50秒，當(dāng)?shù)竭_(dá)路口時(shí)，不需要等待就可以過(guò)馬路的概率為_(kāi)___.由題意知試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度，為40＋10＋50＝100(秒)，綠燈的時(shí)間為50秒，12345678910111213148.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為_(kāi)__.12345678910111213149.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；12345678910111213141234567891011121314由題意，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.由互斥事件的概率加法公式，得1234567891011121314123456789101112131410.某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分，滿分均為60分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表如圖.1234567891011121314B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]351234567891011121314(1)在抽樣的100人中，求對(duì)A餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)；如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說(shuō)明理由；B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]351234567891011121314在抽樣的100人中，對(duì)A餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)為(0.003＋0.005＋0.012)×10×100＝20；由B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表知，對(duì)B餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)為10，所以如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，我會(huì)選擇B家.1234567891011121314(2)從對(duì)B餐廳評(píng)分在[0,20)范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人中恰有1人評(píng)分在[0,10)范圍內(nèi)的概率；B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]3512345678910111213141234567891011121314(3)如果A餐廳把打分最低的10%和打分最高的10%人群稱之為“口味獨(dú)特”人群，反之為“正?？谖丁比巳?，請(qǐng)計(jì)算“正?？谖丁比巳旱拇蚍址秶?(近似到0.01)1234567891011121314設(shè)打分最低的10%的范圍為[0，x)，由題意得(0.003＋0.005)×10＋(x－20)×0.012＝0.1，解得x≈21.67，設(shè)打分最高的10%范圍為[y,60)，由題意得(60－y)×0.04＝0.1，解得y＝57.5，所以“正?？谖丁比巳旱拇蚍址秶鸀閇21.67,57.50).123456789101112131411.某校為落實(shí)“雙減”政策，在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng).現(xiàn)有A，B，C，D四名同學(xué)擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每個(gè)人只能等可能的參加其中一項(xiàng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為綜合提升練√1234567891011121314∵每人只能等可能的選擇參加五項(xiàng)活動(dòng)中的一項(xiàng)活動(dòng)，且可以參加相同的活動(dòng)，∴四名同學(xué)共有5×5×5×5＝54(種)選擇，123456789101112131412.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖)，劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4.在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自“牟合方蓋”的概率為√1234567891011121314正方體的棱長(zhǎng)為2，