2019屆江蘇專用高考數(shù)學大一輪復習第十二章推理與證明算法復數(shù)12.1合情推理與演繹推理講義文蘇教版

§12.1合情推理與演繹推理基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識自主學習1.合情推理(1)歸納推理①定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理(簡稱歸納法).②特點：歸納推理是由

到整體、由

到一般的推理.(2)類比推理①定義：根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理(簡稱類比法).②特點：類比推理是由

到

的推理.知識梳理部分個別特殊特殊(3)合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學活動中常用的合情推理.2.演繹推理(1)演繹推理一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由

到

的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊對象；③結(jié)論——揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系.一般特殊思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(

)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(

)(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(

)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.(

)×√√×(5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an＝n(n∈N*).(

)(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.(

)××考點自測1.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝_____.答案解析123從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123.2.下面幾種推理過程是演繹推理的是____.①在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋ )(n≥2)，由此歸納數(shù)列{an}的通項公式；②由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線與第三條直線形成的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°；④某校高二共10個班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推測各班都超過50人.答案解析③①、④是歸納推理，②是類比推理，③符合三段論模式，③是演繹推理.3.(2017·南京質(zhì)檢)類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.則正確的結(jié)論是______.答案解析①④顯然①④正確；對于②，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對于③，在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以相交.4.(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為_______________________________.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，可知存在的等式為b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*).答案解析5.(2016·泰州模擬)若數(shù)列{an}的通項公式為an

＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出

f(n)＝_______.答案解析題型分類深度剖析題型一歸納推理命題點1與數(shù)字有關(guān)的等式的推理例1

(2016·山東)觀察下列等式：答案解析第2個數(shù)對應行數(shù)n，第3個數(shù)為n＋1.命題點2與不等式有關(guān)的推理nn第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.答案解析命題點3與數(shù)列有關(guān)的推理例3

(2016·南京模擬)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為

，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________.1000答案解析＝1100－100＝1000.命題點4與圖形變化有關(guān)的推理例4某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預計第10年樹的分枝數(shù)為____.55由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55.答案解析歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.(2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解.(3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可.(4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?思維升華答案解析題型二類比推理線段長度類比到空間為體積，再結(jié)合類比到平面的結(jié)論，答案解析答案解析(1)進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵．(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等．思維升華跟蹤訓練2在平面上，設ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：

＝1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為__________________．設ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個面上的高，P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點，P到相應四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，答案解析題型三演繹推理例6已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a).(1)試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)；證明設x1，x2∈R，且x1<x2，則由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1).∴f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).(2)若x，y為正實數(shù)且

，比較f(x＋y)與f(6)的大小.解答∴f(x＋y)>f(6).演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.思維升華跟蹤訓練3(1)某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝．”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為____．①大前提錯誤

②小前提錯誤

③推理形式錯誤因為大前提“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯誤．答案解析③(2)(2016·南京模擬)下列四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是_____．①大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)；②大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)；③大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)；④大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．答案解析②①中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故①錯誤；③、④都不是由一般性命題到特殊性命題的推理，所以①、③、④都不正確，只有②正確．考點分析合情推理在近年來的高考中，考查頻率逐漸增大，題型多為填空題，難度為中檔．解決此類問題的注意事項與常用方法：(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤．應由條件多列舉一些特殊情況再進行歸納．(2)解決類比問題，應先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題．高考中的合情推理問題高頻小考點10典例

(1)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：①b2014是數(shù)列{an}的第________項；5035②b2k－1＝__________.(用k表示)答案解析…(2)設S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)對任意x1，x2∈S，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)．那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是____．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.答案解析④對于①，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同構(gòu)”的，故排除①；所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}是“保序同構(gòu)”的，故排除②；所以A＝{x|0<x<1}，B＝R是“保序同構(gòu)”的，故排除③.④不符合，故填④.課時作業(yè)1.若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：a∈R，結(jié)論是：a2>0，那么這個演繹推理出錯在____.①大前提

②小前提③推理過程

④沒有出錯答案解析①推理形式正確，但大前提錯誤，故得到的結(jié)論錯誤.123456789101112132.下列推理是歸納推理的是____.①A，B為定點，動點P滿足PA＋PB＝2a>AB，則P點的軌跡為橢圓；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式；④科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇.從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以②是歸納推理，其余都不是.②答案解析123456789101112133.(2017·蘇州質(zhì)檢)如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為___.答案解析812345678910111213由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1).設一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋

＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8(舍去負值)，故共有8層.123456789101112134.(2016·揚州模擬)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為f(n)＝_________.答案解析1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……；123456789101112135.(2016·徐州模擬)推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是_____.答案解析由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論.②123456789101112136.給出下列三個類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是____.1答案解析1234567891011121312345678910111213(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①錯誤.sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立.故②錯誤.由向量的運算公式知③正確.7.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成如圖所示的三角形數(shù)表，設aij(i，j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8，若aij＝2009，則i與j的和為_____.107答案解析12345678910111213由題意可知奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個奇數(shù)，又前31個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)為961，前32個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)為1024，故2009在第32個奇數(shù)行內(nèi)，則i＝63，因為第63行第1個數(shù)為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(j－1)，所以j＝44，所以i＋j＝107.12345678910111213由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，數(shù)列{bn}中，類似的結(jié)論為__________________________.答案解析123456789101112139.若P0(x0，y0)在橢圓

＝1(a>b>0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是

＝1，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線

＝1(a>0，b>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線答案的方程是____________.12345678910111213設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，1234567891011121312345678910111213點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結(jié)論為________________________.答案解析1234567891011121311.設f(x)＝

，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.解答12345678910111213123456789101112131234567891011121312.(2016·連云港模擬)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2