2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料 教書(shū)用書(shū) 第7章 立體幾何

第1講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)

對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)、立體圖形的直觀圖和幾何體的

表面積、體積是考查重點(diǎn)，以選擇、填空題為主，中直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)

學(xué)運(yùn)算

等難度.

基礎(chǔ)知識(shí)Q回顧

[學(xué)生用書(shū)P171]

圓朋的

一、知識(shí)梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

麻

圖形

AB

ABAAB

互相平行互相平行

底面多邊形

且全等且相似

相交于一點(diǎn),但不

側(cè)棱平行且相等延長(zhǎng)線交于二A

一定相等

側(cè)面

平行四邊形三角形梯形

形狀

⑵旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

廊

圖形aA1

互相平行且相

延長(zhǎng)線交于一

母線等，垂直于底相交于一點(diǎn)

點(diǎn)

面

軸截X

矩形等腰三角形等腰梯形圓

面

側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法.

(2)規(guī)則：

①原圖形中X軸、)，軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，v軸、y軸的夾角為工

或135°,z'軸與f和?軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸,平行于上

軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度丕變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中

變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的惻面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面公.<2<>rA!

摩/2%

展開(kāi)圖

側(cè)面積S艮臺(tái)耨=

S兩沖做=2?！⊿網(wǎng)推忖=蟲(chóng)

公式兀(n+n)l

錐體

S表面積=S(11+S底V=笈盤(pán)

(棱錐和圓錐)

臺(tái)體

v=/s上+s卜+加上5卜)力

S表面積=5偶+S1-+SH

(棱臺(tái)和圓臺(tái))

4

球S=4冗R2V=T7C/?3

3----

e常用結(jié)論

i.直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：

(1)S直現(xiàn)取=4S里圖形.

(2)S原圖形=2啦S點(diǎn)觀圖.

2.球的截面的性質(zhì)

(1)球的任何截面是圓面；

(2)球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面；

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑〃的關(guān)系為r=y)R2-d2.

3.正方體與球的切、接常用結(jié)論

正方體的棱長(zhǎng)為小球的半徑為R,

(1)若球?yàn)檎襟w的外接取，貝

(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2/?=〃；

(3)若球與正方體的各棱相切，則2/?=啦a

二、教材衍化

1.(人A必修第二冊(cè)PM習(xí)題8.1T4改編)下列幾何體是棱臺(tái)的是()

解析：選D.AC不是由棱錐截成的，不符合棱臺(tái)的定義，故AC不滿足題意.B

中的截面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故B不滿足題意.D符合棱臺(tái)的

定義.

2.

（人A必修第二冊(cè)Pi06習(xí)題8.1T8改編）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A5C'。被截去

一部分，其中￡77〃4。〃/G,剩下的幾何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D六棱柱

答案：C

3.（人A必修第二冊(cè)P120習(xí)題8.3T5改編）一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球面上，且

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則球的表面積為.

解析：設(shè)球的半徑為R,則2R=^/l2+22+32=V14,

則尺=羋

14

2

所以5}.x=47i/?=47tX—=14n.

答案：14兀

（用E3用回-------

一、思考辨析

判斷正誤（正確的打“,錯(cuò)誤的打“X”）

（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）

（3）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（）

（4）菱形的直觀圖仍是菱形.（）

（5）在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母

線.（）

答案：⑴X（2）X（3）X（4）X（5）X

二、易錯(cuò)糾偏

1.（弄混幾何體概念、特征致誤）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱

B.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

C.圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線

D.各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體

解析：選A.由五個(gè)面圍成的多面體也可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B,

C,D說(shuō)法均正確.

一

2.（斜二測(cè)面法規(guī)則不清致誤）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的

解析：選A.由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為啦，

所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2啦.故選A.

3.（忽略對(duì)圓柱形狀的討論致誤）將一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為4九，8兀的矩形卷成一

個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是.

解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4兀時(shí)，底面圓的半徑為2,兩個(gè)底面的面積之和是8兀;

當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8兀時(shí)，底面圓的半徑為4,兩個(gè)底面的面積之和為32TL無(wú)論哪種

方式，側(cè)面積都是矩形的面積32兀2,故所求的表面積是32兀?+8冗或32兀2+32兀

答案：32兀2+8?；?2兀2+32兀

第1課時(shí)空間幾何體及其表面積、體積

［核心考虛事共研

［學(xué)生用書(shū)P173］

考點(diǎn)一基本立體圖形（多維探究）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用實(shí)物模型認(rèn)識(shí)基本立體圖形，體會(huì)直觀圖、展開(kāi)圖的含義和

作用.

角度1結(jié)構(gòu)特征

側(cè)①（1）下列命題正確的是（）

A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.直角梯形以一條直角接所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓面和矩形面

（2）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成

的幾何體是圓錐

B.以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面

圍成的幾何體是圓錐

C.經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形

D.圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑

【解析】

（1）如圖所示，可排除A,B選項(xiàng).對(duì)于D選項(xiàng)只有截面與圓柱的母線平行

或垂直，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分,

故選C.

⑵

A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確,

以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何

體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓鋒任意兩條母線的截

面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)/有可能大于圓錐底面

圓半徑;?的2倍（即直徑）.故選BCD.

【答案】(1)C(2)BCD

角度2直觀圖

距（1）對(duì)于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圖形的直觀圖來(lái)說(shuō)，下列描述不正

確的是()

A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形

B.90°的角的直觀圖一定會(huì)變?yōu)?5°的角

C.與y軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半

D.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

(2)如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上底

均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()

A.2+也

C2+^D.1+6

【解析】(1)對(duì)于A,根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，

因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；

對(duì)于B,90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；

C,D顯然正確.

(2)原圖形為一直角梯形，其上底為1,下底為1+啦，高為2,所以S=；(l

+&+l)X2=2+啦，故選A.

【答案】(1)B(2)A

角度3展開(kāi)圖

僭⑶(1)(2021?新高考卷I)已知圓錐的底面半徑為啦，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)

半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()

A.2B.2a

C.4D.4吸

(2)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,L從A到G沿長(zhǎng)方

體的表面的最短距離為.

【解析】(1)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Z,因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為地，所以27r

XV2=K/,解得/=26，故選B.

(2)結(jié)合長(zhǎng)方體的三種展開(kāi)圖得4cl的長(zhǎng)分別是：3啦，24，^26,顯然最

小值是3啦.

【答案】(1)B(2)3也

闿題技巧

基本立體圖形的有關(guān)問(wèn)題

(1)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是以后研究線面關(guān)系的基礎(chǔ)，要牢記.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵在于“三變”，“三不變”.

(3)利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖可求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距

離問(wèn)題.

I跟蹤訓(xùn)練I

1.(多選)下列命題正確的是()

A.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)

B.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)

C.棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的

幾何體

D.球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面

解析：選CD.對(duì)于A,有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面

體不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,

用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為枝臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC

截面與底面平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余

各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，所以C正確；對(duì)于D,

球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，正

確.故選CD.

2.

如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形人次第為()

A.平行四邊形B.楞形

C.菱形D.矩形

解析：選D.由斜二測(cè)畫(huà)法可知在原四邊形ABC。中并且

AB//CD,故四邊形ABC。為矩形.

3.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm,20cm,它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓

心角為180。，則圓臺(tái)的表面積為cm"結(jié)果中保留力

解析：

如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為ccm,

因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°,

故c=n?SA=2TI'X10(cm),

所以SA=20cm.

同理可得S3=40cm,

所以A3=S5-S4=20cm,

所以S表=5惻+S上底+5下底=7:(10+20)X20+71X102+^x202=110(hr(cm2).

故圓臺(tái)的表面積為11OOJCcm2.

答案：1100花

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積(自主練透)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積的計(jì)算公式.

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，O九過(guò)直線Oi。的平面截該

圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.12啦兀B.12兀

C8揚(yáng)D.1版

解析：選B.設(shè)圓柱的軸微面的邊長(zhǎng)為居則由r=8,得工=2吸，所以5支

=25欣+S旭=2X兀X(啦產(chǎn)+2兀X&X2，5=12兀故選B.

2.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,若母線長(zhǎng)為10,則圓

臺(tái)的表面積為()

A.817tB.100兀

C.168兀D.16971

解析:

4qc

￡\

------OE—%

選C.圓臺(tái)的軸截面如圖，設(shè)上底面半徑為r,下底面半徑為R,高為小母

線長(zhǎng)為/,則它的母線長(zhǎng)/=yjh!2+(R—r)?=yj(4r)2-F(3r)2=5r=10,

所以r=2,R=8.

故S?尸兀(R+r)/=7r(8+2)X10=100兀，

S表=5例+兀戶+兀/？2=100兀+4兀+64兀=168兀

如圖，設(shè)正三棱錐S-A3C的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO=3,

則此正三棱錐的表面積為.

解析：如圖，設(shè)正三棱鎮(zhèn)的底面邊長(zhǎng)為〃，斜高為〃，過(guò)點(diǎn)O作OE_LAB,

與A3交于點(diǎn)E,連接SE,則SE_LAB,SE=h'.

因?yàn)镾餌=25底，

所以;口小勿二坐〃x2.

所以a=^3h".

因?yàn)镾OA.OE,所以SO2^-OEr=SE2.

所以32+(*X小/*

所以h'=2小,所以。=/"=6.

所以S聲、=^~X6?=9,^3，S他=2S底=18^3.

所以S表=5弼+S忒=動(dòng)+18小=27小.

答案：27小

理后感悟--------------------------

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面

的表面積圖形面積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其

求旋轉(zhuǎn)體

展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線

的表面積

長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，

幾何體的先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再

表面積通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積

考點(diǎn)三空間幾何體的體積（多維探究）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.

角度1直接利用公式求體積

側(cè)⑷（1）（2022?江蘇南通聯(lián)考）已知正三棱柱ABC-AIBIG的各棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)

D在棱A4i上，則三棱錐D-BB\C\的體積為.

（2）（2020?新高考卷II）棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AiBiGOi中，M,N分別為

棱A8的中點(diǎn)，則三棱鏈Ai?DiMN的體積為.

【解析】

（1）如圖，取3c中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)檎庵鵄BC-AiBiCi的各棱長(zhǎng)均為2,

所以4c=2,。。=1,則AO=小.

因?yàn)锳Ai〃平面BCCM,所以點(diǎn)。到平面BCC\B\的距離為小.

又因?yàn)镾^BB]C^=2X2X2=2,

所以=]X2x[5="

：；出鄧

ANB

(2)如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2,M,N分別為棱BBi,AB的中點(diǎn)，

113

得5M)WN=2X2-2XTX2X1-zX1x1=5,

44乙

又易知。IAI為三棱錐OI-AIMN的高，且OiAi=2,

,=

所以V41-D|A/AVD\-A\MN

113

=]SAA]MN?￡>i4=1X]X2=l.

【答案】(1)2乎(2)1

角度2割補(bǔ)法求體積

(HS在梯形438中，NABC巖，AD//BC,BC=24O=24B=2.將梯形

ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

B.當(dāng)

D.2兀

【解析】

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為”.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯

影繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)

圓錐.其中圓柱的底面半徑K=A8=1,高斯=2/7C=8C=2,其體積0=兀寵2歷

=7tX12X2=27T：圓錐的底面半徑/?=￡>//=1,高比="。=1,其體積史2=%產(chǎn)〃2

=1KX12X1.故所求幾何體的體積V=Vi—V2=2TT—^=-y.

【答案】C

密題技巧--------------------------------

幾何體的體積計(jì)算要點(diǎn)

I指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來(lái)不容易求面積的

底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容

易看出的高轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高

命—指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的

中L幾何體，便于計(jì)算

指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如

有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一

個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，還臺(tái)為桂，這

些都是拼補(bǔ)的方法

I跟蹤訓(xùn)練|

1.（2021?新高考卷II）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為

2,則其體積為（）

A.20+12小B.28吸

名28^2

J3u-3

解析：

選D.連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖,

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高〃一（2啦一啦）2=啦,下底面面積Si=16,上底面

面積52=4,

所以該棱臺(tái)的體積V=*（Si+S2+的瓦）=gx/X（16+4+洞尸七2故

選D.

2.

如圖，在多面體ABCOEF中，已知四邊形A8CO是邊長(zhǎng)為1的正方形，且

△ADE,△比戶均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為

解析：

如圖，過(guò)BC作與EF垂直的截面BCG,作平面AOM〃平面BCG,取BC

的中點(diǎn)0,連接GO,F0,由題意可得尸0=坐，F(xiàn)G=1,

22

所以GO=yjFO-FG=^f

====V2=

所以S^BCG2^1,ViVBCGADMS^BCG?AB4，V22VFBCG

=2X^BCG-GF=2x{xyx1=^,所以V=Vi+V2=^.

JJ?L14J

較案.也

u?3

課后達(dá)標(biāo)一檢測(cè)

［學(xué)生用書(shū)P352（單獨(dú)成冊(cè)）］

［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形

D.用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面

解析：選AD.A正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C不

正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確.

2.（多選）（2022?山東濰坊模擬）等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角

形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）

A.、/57tB.（l+^2）7t

C.2y［2nD（2+啦）兀

解析：選AB.如果繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么彩成圓錐，圓錐底面半徑為

1,高為1,母線長(zhǎng)就是直角三角形的斜邊長(zhǎng)也，所以所形成的幾何體的表面積

2

5=7rr/4-7rr=7rX1XA/2+TTX12=（A/?J-1）TT:如果繞斜邊所在首線旋轉(zhuǎn)，那么形

成的是同底的兩個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊高為坐，兩個(gè)圓錐

的母線長(zhǎng)都是1,所以形成的幾何體的表面積S=2Xa/=2X;tX乎X1=啦兀

綜上可知，形成幾何體的表面積是（也+1）%或也兀故選AB.

3.

一平面四邊形Q4BC的直觀圖O'ABC如圖所示，其中。軸，AfB'

J_/軸，B'C〃y'軸，則四邊形0A3C的面積為（）

解析：選B.平面四邊形0A8C的直觀圖OWB，C是直角梯形，其面積為gx（l

4-2)X1=|；

則S席=2啦S立=3啦.故選B.

4.

（2022?太原市離三模擬）如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀圖，D'是

△A，夕C中6C邊的中點(diǎn)且軸，4'B',A'D',A'C三條線段對(duì)應(yīng)

原圖形中的線段48,AD,AC,那么（）

A.最長(zhǎng)的是A8,最短的是AC

B.最長(zhǎng)的是AC,最短的是AB

C.最長(zhǎng)的是45,最短的是AO

D.最長(zhǎng)的是AO,最短的是AC

解析：選C.由題中的直觀圖可知，NDf〃/軸，小C//xf軸，根據(jù)

斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，在原圖形中AO〃y軸，8C〃x軸，又因?yàn)?。為夕C'的

中點(diǎn)，所以△ABC為等腰三角形，且40為底邊5C上的高，則有A5=4C>4O

成立.

5.圓柱的底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么圓柱的側(cè)面積是（）

A.4兀SB.2ns

C.nS

解析：選A.由幾戶=5得圓柱的底面半徑是故側(cè)面展開(kāi)圖的邊長(zhǎng)為

2n?,所以圓柱的側(cè)面積是4兀S,故選A.

6.

（2020?高考全國(guó)卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可

視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面

三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

解析：選C.設(shè)正四棱錐的高為心底面正方形的邊長(zhǎng)為2〃，斜高為相，依

題意得序=義乂2〃乂加，即1v=am①，易知力2+々2=加2②，由①②得機(jī)=上!，后

1+小

。（舍負(fù)），所以為=穩(wěn)」=中5故選c.

7.一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線

長(zhǎng)為12cm,則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為cm.

解析：

如圖，過(guò)點(diǎn)4作ACJ_08,交03于點(diǎn)C.

在中，AC=12cm,8c=8—3=5(cm).

所以48=4^不苧=13(cm).

答案：13

8.(2021?高考全國(guó)卷甲)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該

圓錐的側(cè)面積為.

解析：設(shè)該圓錐的高為九則由已知條件可得品兀乂62乂力=30兀，解得力=|,

苧+36=冬故該圓錐的側(cè)面積為兀X6X竽=

39兀.

答案：39K

9.

現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐

P-AiBiGDi,卜部的形狀是止四棱柱48CO-A由如圖所示)，并要求止四棱

柱的高。。是正四棱錐的高POi的4倍，若AB=6m,P0i=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容

積是多少？

解：由尸。i=2m,知。10=4尸。i=8m.

因?yàn)锳}8\=AB=6m,所以正四棱錐P-A\B\C\D\的體積V鈍=；?Ai由?P0\

=|x62X2=24(m3);

正四棱柱ABCQ-481G01的體積

223

VU=AB-OiO=6X8=288(m),

所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V依+V拄=24+288=312(0?).

故倉(cāng)庫(kù)的容積是312m3.

10.

如圖所示，底面半徑為I,高為1的圓柱OO\中有一內(nèi)接長(zhǎng)方體

43CD設(shè)矩形ABC。的面積為5,長(zhǎng)方體4囪。。1-486的體積為匕AB=x.

(1)將S表示為x的函數(shù)；

(2)求V的最大值.

解：(1)連接AC(圖略)，因?yàn)榫嘏駻6CD內(nèi)接干OO,

所以AC為。。的直徑.

因?yàn)锳C=2,AB=x,

所以BC川4T,

所以S=ABBC=x\j4T(?V2).

⑵因?yàn)殚L(zhǎng)方體的高A4i=l,

所以V=S-AA\=x^4-x1

=7卓(4—x2)=yj—(x2-2)2+4.

因?yàn)?<x<2,所以O(shè)/vd,

故當(dāng)f=2即JV=6時(shí)，V取得最大值，此時(shí)Vmax=2.

[B綜合應(yīng)用]

11.(2021.新高考卷II)北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成

果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道

高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個(gè)球

心為O,半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。4與赤道平面所成角的

度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為

a,記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=27r/(1—cosa)(單位：km2),則S占

地球表面積的百分比約為()

A.26%B.34%

C.42%D.50%

解析：選C.由題意可得，S占地球表面積的百分比約為也~

（2022?成都調(diào)研）如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)

在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是（）

選C.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PEJ_平面ABC,E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形

ABC的中心，連接4E并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)。.

AE=^ADfAO=孚，

所以AE=^X喙=凈,

J4。

所以PE=y]m2-AE2=孝.

設(shè)圓柱底面半徑為r,則r=AE=^-t

所以圓柱的側(cè)面積S=2w?尸￡=2TCX孝X孝=呼與

71

13.（2022?濟(jì)南模擬）已知三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZABC=^,SB=4,SC

4

=2仃，AB=2fBC=6,則三棱錐S-4BC的體積是（）

A.4B.6

C.4小D.6小

解析:選C.因?yàn)閆ABC=y,A8=2,6C=6,所以AC=y]AB2-^BC2=^22+62

=2回.因?yàn)镹SAB=4，AB=2,5B=4,所以AS=yjSB2-AB2=^42-22=

2近.由SC=2回,得4。2+452=5。2,所以AC_LAS.又因?yàn)镾AIAB,AC^AB

=A,所以ASJ_平面ABC,所以AS為三棱錐S?ABC的高，所以V三棱維SA8c=；X

|x2X6X2小=43.

14.

學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

A8CQ-48G。］挖去四棱錐O-EFG”后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心,

E,F,G,”分別為所在棱的中點(diǎn)，A8=8C=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原

料密度為0.9g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

解析：

由題易得長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi的體積為6X6X4=144(cm3),四邊形

為平行四邊形，四棱錐。?E尸的高為3cm,如圖所示，連接GE,HF,

易知四邊形EFGH的面積為矩形BCCiBi面積的一半，即/X6X4=12(cn?),所

V^o-EFGw=1x3X12=12(cm3),所以該模型的體積為144-12=132(cm3),

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8(g).

答案：118.8

[C素養(yǎng)提升]

15.

（多選）如圖，正方體ABC。-AiBCiQi的棱長(zhǎng)為3,線段3。i上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

E,尸且E/=l,則當(dāng)E,尸移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）

A.4E〃平面GBO

B.四面體ACE尸的體積不為定值

C.三棱錐A-BEb的體積為定值

D.四面體ACQ/7的體積為定值

解析：選ACD.對(duì)于A,如圖1,連接GB,BD,ABi〃DCi,易證ABi〃平

面G8D,同理ADi〃平面CiBQ,且48mAe>i=A,所以平面平面CiBD,

又AEU平面ABIOI,所以AE〃平面CiBD,A正確：

=才，點(diǎn)。到平面AM的距離等于點(diǎn)C到平面AB"的距離d為定值，所以

VA-CEF=VCAEF=3義至$Xd=*d為定值,所以B錯(cuò)誤；

13

對(duì)于C,如圖3,S^BEF=2X1X3=2，

點(diǎn)A到平面8EF的距離等于A到平面BBiDiD的距離d為定值，

131

所以VAD=^X5Xd=5d為定值，C正確；

對(duì)于D,如圖4,連接OF,CF,四面體ACO尸的體積為以.8尸=必。8=(

1Q

X]X3X3X3=E為定值，D正確.

16.將3個(gè)12cmX12cm的正方形沿鄰邊的中點(diǎn)剪開(kāi),分成兩部分(如圖(1)),

將這六部分接于一個(gè)邊長(zhǎng)為6&cm的正六邊形上(如圖(2)),若拼接后的圖形是

一個(gè)多面體的表面展開(kāi)圖，則該多面體的體積為.

解析：方法一：該多面體由一個(gè)大的四面體減去三個(gè)小的四面體所得.其中

大四面體的底面是邊長(zhǎng)為18啦cm的正三角形，其余三條棱長(zhǎng)度均為18cm:

三個(gè)小四面體的底面是邊長(zhǎng)為6^/2cm的正三角形，其余三條棱長(zhǎng)度均為6cm.

所以V=1x18XyX18X18-3x|x6x|x6X6=864(cm3).

J4D4

方法二:

該多面體可補(bǔ)形為正方體，畫(huà)出大致圖形如圖所示，由此可知正方體=

123=864(cm3).

答案：864cm3

第2課時(shí)空間幾何體的截面、球的切接問(wèn)題

核心考點(diǎn)一共研

[學(xué)生用書(shū)Pl76]

考點(diǎn)一空間幾何體的截面問(wèn)題（綜合研析）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用立體幾何的有關(guān)定理、事實(shí)確定截面的形狀和數(shù)量關(guān)系.

廁口（1）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,側(cè)面積為2小兀，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積

的最大值等于（）

A.^3B.啦

C.3D.2

（2）（2020?新高考卷I）已知直四棱柱ABCD-A\B\C\D\的棱長(zhǎng)均為2,/BAD

=60°.以。為球心，小為半徑的球面與側(cè)面8CG8的交線長(zhǎng)為.

【解析】（1）由圓錐的母線長(zhǎng)為2,側(cè)面積為2小兀，假設(shè)底面圓周長(zhǎng)為/,

因此1X2X/=2小兀，

故底面圓周長(zhǎng)為2,兀，底面圓的半徑為由.

由于軸截面為腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為底面圓的直徑為2小的等腰三角形，因此

軸截面的頂角是空.故當(dāng)截面為頂角是;的等腰三角形時(shí)面積最大，此時(shí)s=

171

5.22si”=2.故選D.

（2）如圖，連接BQi,易知△BCQi為了三角形，所以31。|=。。|=2.分別

取BBi,CC的中點(diǎn)M,G,H,連接。iM,DiG,DiH,則易得OiG=DiH

=卷”=小，且。由題意知G,〃分別是BBi,CG與

球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC\B\內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP=也連接DiP,則DiP=

7DiM2+Mp2=yJ（?。?+（啦）2=小,連接MG,MH,易得MG=MH=p,

故可知以M為圓心，血為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCCB的交線.由

NBTMG=/GMH=45°知/GMH=90°,所以命的長(zhǎng)為;X2;tX啦=號(hào)之

【答案】（DD（2）專

密題技巧---------------------------------

截面問(wèn)題求解要點(diǎn)

（1）挖掘題目條件，要抓任截面的點(diǎn)是公共點(diǎn)這個(gè)關(guān)鍵.

（2）靈活轉(zhuǎn)化，將條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面內(nèi)，尋找截面上的點(diǎn)滿足的數(shù)量關(guān)系.

I跟蹤訓(xùn)練I

1.（2022?淮北市中學(xué)聯(lián)考）以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，

將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的軸截面（過(guò)圓柱的軸作截面）的面積為（）

A.2兀B.兀

C.2D.1

解析：選C.因?yàn)樵撜叫涡D(zhuǎn)一周所得圓柱的高為1,底面的半徑為1,所

以圓柱的軸截面的面積為1X2X1=2,故選C.

2.正方體A5CD-A4ICIDI,E,尸分別是A4,CG的中點(diǎn)，P是CG上的

動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），過(guò)E,D,P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌跡

是（）

A.線段C尸B.線段C廠

C.線段CF和一點(diǎn)CiD.線段CiF和一點(diǎn)C

解析：

選C.如圖所示，￡>￡〃平面BBiCiC,所以平面DEP與平面BB\C\C的交線

PM//ED,連接EM,

易證MP=EO,

因?yàn)镸P〃ED,則M到達(dá)B時(shí)仍可構(gòu)成四邊形，即P到尸時(shí)，而P在GF

之間，不滿足要求，

P到點(diǎn)C仍可構(gòu)成四邊形，故選C.

考點(diǎn)二球的接、切問(wèn)題（多維探究）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：空間幾何體中的接、切問(wèn)題主要是與球有關(guān)的接、切，求解的關(guān)

鍵是找出球心所在的位置.

角度1幾何體的外接球

廁2(1)(鏈接常用結(jié)論2)(2021?高考全國(guó)卷甲)已知A,B,。是半徑為1的

球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=BC=lf則三棱錐O-ABC的體積為

()

A也B理

從12c12

C應(yīng)D也

J4以4

(2)(鏈接常用結(jié)論3)若直三棱柱ABC-AIBICI的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,

且AB=3,AC=4,ABLAC,A4i=12,則球。的表面積為.

【解析】

⑴如圖所示，因?yàn)锳CL8C,所以A3為截面圓Oi的直徑，且48=啦.連

接0。1,則OOi-L面ABC,00i=41一僵）2=y1一惇七孚所以三棱

錐0-ABC的體積V=|SA/IBCXOOI=|X|X1X1義喙=東

(2)將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A\B\E\C\,財(cái)球0是長(zhǎng)方體

ABEC-A\B\E\C\的外接球.

所以體對(duì)角線BCT的長(zhǎng)為球。的直徑.

因此2/?=嫡2+42+122=13.

古攵S球=4兀/？2=169兀

【答案】(1)A(2)169兀

角度2幾何體的內(nèi)切球

(ffiU(2020?高考全國(guó)卷HI)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐

內(nèi)半徑最大的球的體積為.

【解析】

易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐及其內(nèi)切球0如圖所示，設(shè)

RBE1

內(nèi)切球的半徑為R,則sinN8P￡=0A=麗所以O(shè)P=3R,所以尸E=4R=

ylPB2-BE2=yj32-l2=2y12,所以R=坐所以內(nèi)切球的體積丫=飆3=

即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為半J2兀.

【答案】冬

展題技巧---------------------------------

處理球的“切”“接”問(wèn)題的求解策略

解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面

幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是：

|如果是內(nèi)切球，則一心到切點(diǎn)的距離相,

定球心卜等且為半徑，如果是外接球，則球心到

--------接點(diǎn)的距離相等且為半徑

選準(zhǔn)最隹角度作出截面（要使這個(gè)我面

盡可能多的包含球、幾何體的各種元素

作截面一

以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空

間問(wèn)題平面化的目的

求半徑，根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于

下結(jié)論球半徑的方程，并求解

I跟蹤訓(xùn)練I

1.（2022?云南一中質(zhì)量監(jiān)測(cè)）在四面體S?ABC中，SA_L平面ABC,NBAC=

2，SB=2y[2fSC=4,SA=2,則該四面體的外接球的表面積是（）

25兀

A亍B.IDOTI

r207571

3D.20K

解析:

選D.如圖，因?yàn)镾AJ_平面ABC,SB=2小,SC=4,SA=2,

所以A8=2,AC=2小,

jr

因?yàn)镹34C=z，由余弦定理可解得3C=2,

設(shè)O\為三角形