2019屆江蘇專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.7函數(shù)的圖象講義理蘇教版

§2.7函數(shù)的圖象基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.描點(diǎn)法作圖方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì))；(4)描點(diǎn)連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象.2.圖象變換(1)平移變換知識(shí)梳理f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)對(duì)稱(chēng)變換①y＝f(x) y＝

；②y＝f(x)y＝

；③y＝f(x)y＝

；④y＝ax(a>0且a≠1)y＝

.－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a>0且a≠1)(3)伸縮變換①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x) y＝

.f(ax)af(x)(4)翻折變換①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x)

y＝

.|f(x)|f(|x|)知識(shí)拓展1.函數(shù)對(duì)稱(chēng)的重要結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(chēng).(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).2.函數(shù)圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(

)(2)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(

)(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(

)(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng).(

)(5)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象.(

)×××√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出如圖四個(gè)圖形：答案解析其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有______.(填序號(hào))②①中，因?yàn)樵诩螹中，當(dāng)1<x≤2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，所以①不是函數(shù)；②符合函數(shù)的定義，所以②是函數(shù)；③中，x＝2對(duì)應(yīng)的元素y＝3?N，所以③不是函數(shù)；④中，當(dāng)x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以④不是函數(shù).因此只有②是從集合M到集合N的函數(shù).2.(2016·全國(guó)乙卷改編)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的圖象大致為_(kāi)_____.答案解析④f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除①；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除②；在x>0時(shí)，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，3.(教材改編)若函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.令4－x＝1，得x＝3，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，1).答案解析(3，1)4.(2016·蘇州中學(xué)月考)使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范圍是_________.答案解析(－1，0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿足條件的x∈(－1，0).5.已知函數(shù)f(x)＝

且關(guān)于x的方程f(x)－a＝0有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析(0，1]當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有兩個(gè)實(shí)根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知0＜a≤1.幾何畫(huà)板展示題型分類(lèi)深度剖析題型一作函數(shù)的圖象例1作出下列函數(shù)的圖象.(1)y＝()|x|；解答(2)y＝|log2(x＋1)|；解答將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)y＝

；解答再向上平移2個(gè)單位而得，如圖③.(4)y＝x2－2|x|－1.解答且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④.圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋

的函數(shù).(2)若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

作出下列函數(shù)的圖象.(1)y＝|x－2|·(x＋1)；解答當(dāng)x≥2，即x－2≥0時(shí)，當(dāng)x<2，即x－2<0時(shí)，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2這是分段函數(shù)，每段函數(shù)的圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(如圖).解答再向上平移1個(gè)單位得到，如圖所示.題型二識(shí)圖與辨圖例2

(1)下面所給出的四個(gè)圖象和三個(gè)事件：①我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在

家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本

再上學(xué)；②我騎著車(chē)一路以勻速行駛離開(kāi)家，只是

在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；③我從家里出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，

后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速.圖象與這三個(gè)事件發(fā)生的順序相吻合的分別為_(kāi)_____________.①d，②a，③b答案解析離家不久發(fā)現(xiàn)自己作業(yè)本忘在家里，回到家里，這時(shí)離家的距離為0，故①與圖象d相吻合；途中有一段時(shí)間交通堵塞，則這段時(shí)間與家的距離必為一定值，故②與圖象a相吻合；加速趕向?qū)W校，圖象上升地就越來(lái)越快，故③與圖象b相吻合.(2)已知定義在區(qū)間[0，2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為_(kāi)_____.答案解析②方法一由y＝f(x)的圖象知，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，2－x∈[0，2]，圖象應(yīng)為②.方法二當(dāng)x＝0時(shí)，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當(dāng)x＝1時(shí)，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各圖象，可知應(yīng)填②.函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，4)，(2，0)，(6，4)，則f{f[f(2)]}＝____.由題意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.答案解析2(2)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為_(kāi)____.答案解析②幾何畫(huà)板展示當(dāng)點(diǎn)P沿著邊BC運(yùn)動(dòng)，即0≤x≤時(shí)，在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tanx，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即x＝

時(shí)，又當(dāng)點(diǎn)P與邊CD的中點(diǎn)重合，即x＝

時(shí)，△PAO與△PBO是全等的腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1研究函數(shù)的性質(zhì)例3

(1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是______.①f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)；②f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)；③f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)；④f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0).答案解析③將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減.(2)若函數(shù)y＝f(2x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是______.因?yàn)閒(2x＋1)是偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)?f(x)＝f(2－x)，所以f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1.答案解析x＝1命題點(diǎn)2解不等式例4

函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象如圖所示，若x·[f(x)－f(－x)]<0，則x的取值范圍為_(kāi)______________.答案解析(－3，0)∪(0，3)∵f(x)為奇函數(shù)，∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，結(jié)合圖象知x的范圍為(－3，0)∪(0，3).命題點(diǎn)3求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例5

(2016·山東)已知函數(shù)f(x)＝

其中m>0，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是__________.答案解析(3，＋∞)如圖，當(dāng)x≤m時(shí)，f(x)＝|x|；當(dāng)x>m時(shí)，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.幾何畫(huà)板展示(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)法則.(2)利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問(wèn)題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式f(x)<g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ改編)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2x＋a的圖象關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，且f(－2)＋f(－4)＝1，則a＝____.答案解析設(shè)f(x)上任意一點(diǎn)為(x，y)，關(guān)于y＝－x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－y，－x)，將(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，解得a＝2.2(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.答案解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過(guò)A點(diǎn)時(shí)斜率為

，故f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的取值范圍為(，1).幾何畫(huà)板展示

高考中的函數(shù)圖象及應(yīng)用問(wèn)題高頻小考點(diǎn)4考點(diǎn)分析高考中考查函數(shù)圖象問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面：函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)圖象的變換及函數(shù)圖象的應(yīng)用等，多以小題形式考查、難度不大，常利用特殊點(diǎn)法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等解決，熟練掌握高中涉及的幾種基本初等函數(shù)是解決前提．一、已知函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象典例(2015·浙江改編)函數(shù)f(x)＝

cos

x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為_(kāi)____.答案解析④∵f(x)＝(x－)cos

x(－π≤x≤π且x≠0)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除①，②；當(dāng)x＝π時(shí)，f(x)＜0，排除③.二、函數(shù)圖象的變換問(wèn)題典例若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為_(kāi)_____.③答案解析由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知③正確.三、函數(shù)圖象的應(yīng)用典例(1)已知f(x)＝

則函數(shù)y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_____.5答案解析由y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝

，綜上，共有5個(gè)零點(diǎn).(2)(2015·北京改編)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是______________.答案解析令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖.∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.{x|－1＜x≤1}(3)(2016·吉林三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝

的圖象如圖所示，則m的取值范圍為_(kāi)_______.答案解析(1，2)根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函數(shù)f(x)在[－1，1]上是單調(diào)遞增的，∴f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，即f(0)＝0，∴m≠0.∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1，1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，綜上所述，1<m<2.課時(shí)作業(yè)1234567891011121.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f()＝______.答案解析22.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式為_(kāi)__________.答案解析f(x)＝e－x－1與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為y＝e－x.依題意，f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位，得y＝e－x的圖象.∴f(x)的圖象由y＝e－x的圖象向左平移一個(gè)單位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.1234567891011123.(2016·淮安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的圖象如圖所示，則a＋b＝_____.答案解析由圖象可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(0，－2)，1234567891011124.函數(shù)y＝

的圖象與函數(shù)y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于______.答案解析如圖，兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)圖象在[－2，4]上共8個(gè)公共點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.81234567891011125.已知函數(shù)f(x)＝e|ln

x|，則函數(shù)y＝f(x＋1)的大致圖象為_(kāi)____.答案解析④當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝eln

x＝x，其圖象為一條直線；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝e－ln

x＝.函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象為函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的.1234567891011126.對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg(|x－2|＋1)，給出如下三個(gè)命題：①f(x＋2)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數(shù)；③f(x)沒(méi)有最小值.其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)____.答案解析2123456789101112因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函數(shù)f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函數(shù)；如圖，可知f(x)在(－∞，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)；由圖象可知函數(shù)存在最小值0.所以①②正確.1234567891011127.設(shè)函數(shù)y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)，且圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為_(kāi)________________.答案解析{x|x≤0或1<x≤2}123456789101112y＝f(x＋1)向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，由已知可得f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，過(guò)定點(diǎn)(2，0)，且函數(shù)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，則f(x)的大致圖象如圖所示.123456789101112由圖可知符合條件的解集為{x|x≤0或1<x≤2}.1234567891011128.設(shè)f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是__________.答案解析(4，＋∞)畫(huà)出函數(shù)f(x)＝|lg(x－1)|的圖象如圖所示.由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2(由于a<b)，所以ab>4.1234567891011129.如圖，定義在[－1，＋∞)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________________.答案解析123456789101112當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為y＝kx＋b，當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為y＝a(x－2)2－1，∵圖象過(guò)點(diǎn)(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，