2019屆泰安專(zhuān)版中考數(shù)學(xué)第一部分基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)第二章方程組與不等式組第8講不等式組講義

第8講不等式（組）泰安考情分析基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)泰安考點(diǎn)聚焦總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一不等式(組)的概念知識(shí)點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四解一元一次不等式組知識(shí)點(diǎn)三解一元一次不等式

知識(shí)點(diǎn)五一元一次不等式(組)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一

不等式(組)的概念1.不等式:用①

不等號(hào)

表示不等關(guān)系的式子叫做不等式.2.不等式的解:對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,使不等式成立的未

知數(shù)的值叫做不等式的解.3.不等式的解集:對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,它的所有解的集

合叫做這個(gè)不等式的解集,求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式.溫馨提示

不等式的解一般有“無(wú)數(shù)多個(gè)”,但“無(wú)數(shù)多個(gè)解”

并不是“任意解”,并不意味著任何一個(gè)數(shù)都是它的解.比如不等

式2x+3<6-x,它的解是所有小于1的數(shù),有無(wú)數(shù)多個(gè),但所有不小于

1的數(shù)都不是它的解,一個(gè)有“無(wú)數(shù)多個(gè)解”的不等式,往往也隨

之隱藏著“有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)不是它的解”.4.一元一次不等式:只含有②

一個(gè)

未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等號(hào)左右兩邊都是整式的不等式叫做一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式為ax+b>0或ax+b<0(a≠0).解不等式:求③

不等式解集

的過(guò)程叫做解不等式.5.一元一次不等式組:把④

幾個(gè)含有相同未知數(shù)

的一元一次不等式組合起來(lái),就組成了一個(gè)一元一次不等式組.不等式組的解集:一般地,幾個(gè)不等式的解集的⑤

公共部分

,叫做由它們所組成的不等式組的解集.知識(shí)點(diǎn)二

不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1:不等式兩邊都加(或減)⑥

同一個(gè)數(shù)(或式子)

,不等號(hào)的方向不變,即如果a>b,那么a±c>b±c.性質(zhì)2:不等式兩邊都乘(或除以)⑦

同一個(gè)大于0的整式

,不等號(hào)的方向不變,即如果a>b,c>0,那么ac>bc?.性質(zhì)3:不等式兩邊都乘(或除以)⑧

同一個(gè)小于0的整式

,不等號(hào)的方向改變,即如果a>b,c<0,那么ac<bc?.其他性質(zhì):如果a>b,那么b<a;如果a>b,b>c,那么a>c;如果a>b>0,那

么a2>b2,且?>?.溫馨提示

運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),特別注意性

質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,應(yīng)用不等式的性質(zhì)3時(shí),要改變不等號(hào)的方向,

這是易錯(cuò)之處.知識(shí)點(diǎn)三

解一元一次不等式1.解一元一次不等式的步驟:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)

項(xiàng)、系數(shù)化為1.溫馨提示

(1)去分母時(shí),不要漏乘常數(shù)項(xiàng)或不含分母的項(xiàng);(2)去括號(hào)、移項(xiàng)時(shí)不要忽視項(xiàng)的符號(hào)變化;(3)系數(shù)化為1時(shí),不要忽視不等號(hào)的方向變化.2.在數(shù)軸上表示不等式的解集溫馨提示

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),注意實(shí)心圓點(diǎn)和空心圓圈的意義.不等式

數(shù)軸上表示x>a

x<a

x≥a

x≤a

知識(shí)點(diǎn)四

解一元一次不等式組1.解一元一次不等式組的步驟(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集;(2)在數(shù)軸上表示出各個(gè)不等式的解集;(3)寫(xiě)出各個(gè)不等式解集的公共部分,即得到這個(gè)不等式組的解

集.2.兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集情況(其中a<b)不等式組在數(shù)軸上表示口訣解集

大大取大x>b

小小取小x<a

大小小大中間找a<x<b

大大小小找不到空集溫馨提示

當(dāng)不等式組中含有“≥”“≤”時(shí),其解集的確定方法不變,只需在數(shù)軸上表示時(shí)注意區(qū)分實(shí)心圓點(diǎn)和空心圓圈即可.3.注意特殊不等式組的解集(1)關(guān)于x的不等式組?的解集為x=a;(2)關(guān)于x的不等式組?的解集為空集.知識(shí)點(diǎn)五

一元一次不等式(組)的應(yīng)用1.列不等式(組)解應(yīng)用題的步驟:(1)根據(jù)題意找出不等關(guān)系;(2)設(shè)未知數(shù);(3)列不等式;(4)解不等式;(5)檢驗(yàn)并寫(xiě)出答案.2.建立不等式或不等式組要抓住題目中的關(guān)鍵詞,如大于(多

于)、小于(少于)、至多、至少、不多于、不少于等.常用關(guān)鍵詞

與不等號(hào)的對(duì)比表:常用關(guān)鍵詞符號(hào)大于、多于、超過(guò)、高于>小于、少于、不足、低于<至少、不低于、不小于、不少于≥至多、不超過(guò)、不高于、不大于≤溫馨提示

一般地,不等式(組)的解有無(wú)數(shù)個(gè),而實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果往往要取其中的特殊解.泰安考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)考點(diǎn)二在數(shù)軸上表示不等式(組)的解集考點(diǎn)三一元一次不等式(組)的解法考點(diǎn)四含參數(shù)不等式(組)的相關(guān)運(yùn)算考點(diǎn)五一元一次不等式(組)的應(yīng)用考點(diǎn)一

不等式的基本性質(zhì)中考解題指導(dǎo)解一元一次不等式的一般步驟:去分母、去括

號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1.值得注意的是去分母、系

數(shù)化為1時(shí),如果兩邊同乘負(fù)數(shù),不等號(hào)一定要變號(hào).例1

(2017岱岳模擬)a、b、c都是實(shí)數(shù),且a<b,則下列不等式變

形正確的是?(C)A.a+c>b+c

B.-a+1<-b+1

C.3a<3b

D.?>?解析根據(jù)不等式的性質(zhì),易知a+c<b+c,-a+1>-b+1,3a<3b,?<?,故選C.變式1-1下列命題正確的是?(D)A.若a>b,b<c,則a>c

B.若a>b,則ac>bcC.若a>b,則ac2>bc2

D.若ac2>bc2,則a>b解析選項(xiàng)A:可設(shè)a=4,b=3,c=4,則a=c.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:當(dāng)c=0或c<0時(shí),不等式ac>bc不成立.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:當(dāng)c=0時(shí),不等式ac2>bc2不成立.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:由題意知,c2>0,則在不等式ac2>bc2的兩邊同時(shí)除以c2,不等式仍成立,即a>b,故本選項(xiàng)正確,故選D.考點(diǎn)二

在數(shù)軸上表示不等式(組)的解集中考解題指導(dǎo)在數(shù)軸上表示不等式(組)的解集時(shí)一定要注意

包含臨界點(diǎn)時(shí)需用實(shí)心的小圓點(diǎn),不包含臨界點(diǎn)時(shí)需用空心的小

圓圈.例2

(2017新泰模擬)將不等式組?的解集表示在數(shù)軸上,正確的是(A)

解析解不等式?x-1≤7-?x,得x≤4,解不等式5x-2>3(x+1),得x>?,∴不等式組的解集為?<x≤4,故選A.變式2-1

(2018濱州)把不等式組?中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來(lái),正確的為?(B)

解析解不等式x+1≥3,得x≥2,解不等式-2x-6>-4,得x<-1.將兩不等式的解集表示在數(shù)軸上如下:

故選B.方法技巧在數(shù)軸上表示不等式(組)的解集時(shí)要注意兩點(diǎn),一

是定邊界點(diǎn),二是定方向.考點(diǎn)三

一元一次不等式(組)的解法中考解題指導(dǎo)(1)不等式(組)整數(shù)解的求法:先求出不等式(組)

的解集,并在數(shù)軸上表示出來(lái),再根據(jù)求出的解集并結(jié)合數(shù)軸寫(xiě)出

所求的整數(shù)解.(2)解形如a<mx<b的不等式組時(shí),先把它轉(zhuǎn)化為?再求解.例3解不等式

≥3(x-1)-4.解析去分母得,x+1≥6(x-1)-8,去括號(hào)得,x+1≥6x-6-8,移項(xiàng)得,x-6x≥-6-8-1,合并同類(lèi)項(xiàng)得,-5x≥-15.系數(shù)化為1,得x≤3.變式3-1

(2017泰山模擬)不等式?>?-1的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是?(D)A.1

B.2

C.3

D.4解析解不等式?>?-1得x<5,所以不等式的正整數(shù)解為1、2、3、4,共4個(gè),故選D.變式3-2解不等式組,并把解集表示在數(shù)軸上.

解析解不等式①得x≥-1,解不等式②得x<?.∴原不等式組的解集為-1≤x<?.將原不等式組的解集在數(shù)軸上表示:

方法技巧

不等式兩邊同乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),要改變不

等號(hào)的方向,所以在去分母、系數(shù)化為1這兩個(gè)步驟中,要考慮是

否改變不等號(hào)的方向.考點(diǎn)四

含參數(shù)不等式(組)的相關(guān)運(yùn)算中考解題指導(dǎo)若不等式(組)中含有參數(shù),則可根據(jù)不等式(組)

的解集情況或整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)

把參數(shù)看作已知數(shù),并結(jié)合數(shù)軸解題.例4

(2018泰安)不等式組?有3個(gè)整數(shù)解,則a的取值范圍是?(B)A.-6≤a<-5

B.-6<a≤-5C.-6<a<-5

D.-6≤a≤-5解析

由①得x>4;由②得x≤2-a,在4<x≤2-a中有三個(gè)整數(shù),所以-6<a≤-5.變式4-1若不等式組?有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?(C)A.a<-36

B.a≤-36

C.a>-36

D.a≥-36

解①得x<a-1,解②得x≥-37,由不等式組有解得a-1>-37,解得a>-36.故選C.變式4-2不等式組?的解集是x>1,則m的取值范圍是?(D)A.m≥1

B.m≤1

C.m≥0

D.m≤0解不等式組,得?∵不等式組的解集為x>1,∴m+1≤1,解得m≤0.考點(diǎn)五

一元一次不等式(組)的應(yīng)用中考解題指導(dǎo)(1)列不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題的思路同列一次

方程(組)解決實(shí)際問(wèn)題的思路相同,區(qū)別在于一個(gè)是列不等式(找

不等關(guān)系),一個(gè)是列方程(找等量關(guān)系).(2)運(yùn)用不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)

系,要注意抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵字,如“至少”“不低于”“不超

過(guò)”“不少于”等,找出不等關(guān)系,從而列出不等式(組)求解.例5

(2017泰安模擬)某商店購(gòu)買(mǎi)60件A商品和30件B商品共用了

1080元,購(gòu)買(mǎi)50件A商品和20件B商品共用了880元.(1)A、B兩種商品的單價(jià)分別是多少元?(2)已知該商店購(gòu)買(mǎi)B商品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)A商品的件數(shù)的2倍少4,

如果購(gòu)買(mǎi)A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件,且商店購(gòu)買(mǎi)A、B

兩種商品的總費(fèi)用不超過(guò)296元,那么該商店有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?解析(1)設(shè)A商品的單價(jià)為x元,B商品的單價(jià)為y元,則根據(jù)題意可得?解得?答:A、B兩種商品的單價(jià)分別為16元、4元.(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A商品m件,則購(gòu)買(mǎi)B商品(2m-4)件,則根據(jù)題意可得?解得?又因?yàn)閙為整數(shù),所以m=12或m=13,當(dāng)m=12時(shí),2m-4=20,即購(gòu)買(mǎi)A商品12件,B商品20件;當(dāng)m=13時(shí),2m-4=22,即購(gòu)買(mǎi)A商品13件,B商品22件.變式5-1某大型超市從生產(chǎn)基地購(gòu)進(jìn)一批水果,運(yùn)輸過(guò)程中質(zhì)

量損失10%,假設(shè)不計(jì)超市其他費(fèi)用,如果超市要想至少獲得20%

的利潤(rùn),那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高(B)A.40%B.33.4%

C.33.3%D.30%解析設(shè)購(gòu)進(jìn)這種水果a千克,進(jìn)價(jià)為y元/千克,這種水果的售價(jià)

在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)提高x,則售價(jià)為(1+x)y元/千克,由題意得,

?×100%≥20%,解得x≥?.經(jīng)檢驗(yàn),x≥?是原不等式的解集.則這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高33.4%,故選B.方法技巧(1)找不等關(guān)系往往要找到表示不等關(guān)系的詞語(yǔ),但

也要注意很多不等關(guān)系是隱含的;(2)在解應(yīng)用題時(shí),往往要根據(jù)

實(shí)際問(wèn)題的意義求出特殊解,而這