《函數(shù)極限說(shuō)》課件

《函數(shù)極限說(shuō)》函數(shù)極限的定義1定義當(dāng)自變量x趨近于某個(gè)值a時(shí)，函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于a時(shí)的極限2符號(hào)lim(x→a)f(x)=A3條件該定義意味著無(wú)論x有多接近a，只要x不等于a，f(x)的值都可以無(wú)限接近A函數(shù)極限的幾何解釋函數(shù)極限的幾何解釋是指當(dāng)自變量無(wú)限接近某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近一個(gè)定值。具體而言，當(dāng)自變量x無(wú)限接近a時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近L，則稱L為函數(shù)f(x)在x=a處的極限，記為limx->af(x)=L。從圖形上來(lái)看，可以將x=a點(diǎn)視為函數(shù)圖像上的一個(gè)點(diǎn)，而L則代表該點(diǎn)在y軸上的投影。當(dāng)x無(wú)限接近a時(shí)，函數(shù)圖像上的點(diǎn)無(wú)限接近該點(diǎn)，而其在y軸上的投影也無(wú)限接近L。函數(shù)極限的代數(shù)性質(zhì)和的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時(shí)分別存在極限A和B，則函數(shù)f(x)+g(x)在x趨近于a時(shí)也存在極限，且極限值為A+B。積的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時(shí)分別存在極限A和B，則函數(shù)f(x)g(x)在x趨近于a時(shí)也存在極限，且極限值為A*B。商的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時(shí)分別存在極限A和B，且B≠0，則函數(shù)f(x)/g(x)在x趨近于a時(shí)也存在極限，且極限值為A/B。函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則加法lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)減法lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)乘法lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)除法lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x),其中l(wèi)img(x)≠0單側(cè)極限與雙側(cè)極限左極限當(dāng)自變量x從左側(cè)無(wú)限接近a時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于a時(shí)的左極限，記作limx→a-f(x)=A右極限當(dāng)自變量x從右側(cè)無(wú)限接近a時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于a時(shí)的右極限，記作limx→a+f(x)=A極限的存在條件左極限等于右極限當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)處左右極限都存在，且相等時(shí)，該點(diǎn)的極限才存在。函數(shù)有界如果函數(shù)在某點(diǎn)附近有界，則該點(diǎn)的極限可能存在。無(wú)窮小量及其性質(zhì)無(wú)窮小量是指當(dāng)自變量趨于某一極限值時(shí)，函數(shù)的值也趨于零的量。兩個(gè)無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮小量。無(wú)窮小量與有界量的積仍為無(wú)窮小量。等價(jià)無(wú)窮小替換定義當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限為1，則稱這兩個(gè)無(wú)窮小量是等價(jià)無(wú)窮小量。應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換可以簡(jiǎn)化極限計(jì)算，尤其在涉及復(fù)雜函數(shù)或表達(dá)式時(shí)。洛必達(dá)法則條件當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的極限都趨向于零或無(wú)窮大時(shí)，可以使用洛必達(dá)法則。步驟對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)，然后計(jì)算導(dǎo)函數(shù)的極限。應(yīng)用洛必達(dá)法則可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算，特別是在遇到無(wú)法直接計(jì)算的極限時(shí)。自然對(duì)數(shù)的底e自然對(duì)數(shù)的底e是無(wú)理數(shù)，約為2.71828。它是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。函數(shù)連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)，函數(shù)圖像沒(méi)有間斷，也就是說(shuō)，沒(méi)有跳躍、斷裂或孔洞。不連續(xù)函數(shù)函數(shù)圖像存在間斷，例如跳躍、斷裂或孔洞。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可加性若f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)+g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)?？沙诵匀鬴(x)和g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)?？沙匀鬴(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)且g(x0)≠0，則f(x)/g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則1和差積商兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是連續(xù)函數(shù)。2復(fù)合函數(shù)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，g(x)在點(diǎn)f(x0)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g[f(x)]在點(diǎn)x0連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得最大值和最小值。介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間上取遍介于函數(shù)值之間的所有值。零點(diǎn)定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則該點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。分類間斷點(diǎn)可以分為三類：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)。判定通過(guò)觀察函數(shù)在間斷點(diǎn)附近的左右極限和函數(shù)值來(lái)判斷間斷點(diǎn)的類型。間斷點(diǎn)的分類可去間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)存在極限，但函數(shù)值不存在或不等于極限值。跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限存在，但左右極限不相等。無(wú)窮間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限至少有一個(gè)為無(wú)窮大，或者左右極限不存在。間斷點(diǎn)的判定1極限不存在如果函數(shù)在某一點(diǎn)的左右極限不相等，則該點(diǎn)為間斷點(diǎn)。2極限存在但不等于函數(shù)值如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，但函數(shù)值不存在或不等于極限值，則該點(diǎn)為間斷點(diǎn)。3函數(shù)值不存在如果函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值不存在，則該點(diǎn)為間斷點(diǎn)。函數(shù)的一致連續(xù)性定義對(duì)于任意小的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)點(diǎn)x1和x2，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。直觀解釋函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)，其圖形的變化程度是有限的，不會(huì)出現(xiàn)局部劇烈的波動(dòng)。重要性一致連續(xù)性保證了函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及函數(shù)的圖形在整體上的平滑性。一致連續(xù)性的判定1柯西判別法如果對(duì)于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x1,x2∈[a,b]且|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，則函數(shù)f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。2閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。反函數(shù)的連續(xù)性如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)的并且連續(xù)的，那么它的反函數(shù)在其定義域內(nèi)也是連續(xù)的。反函數(shù)的連續(xù)性可以通過(guò)反函數(shù)的圖形來(lái)直觀地理解。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，函數(shù)g(y)在點(diǎn)y0=f(x0)處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)g[f(x)]在點(diǎn)x0處也連續(xù)。隱函數(shù)的存在定理函數(shù)圖像隱函數(shù)的存在定理指出，如果一個(gè)方程在某個(gè)點(diǎn)附近滿足一定條件，那么該方程可以定義一個(gè)隱函數(shù)，該函數(shù)的圖像就是方程的解集.偏導(dǎo)數(shù)圖像該定理的關(guān)鍵條件是該方程在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，這意味著該方程在該點(diǎn)處的切平面不垂直于任何一個(gè)坐標(biāo)軸.函數(shù)的分類按定義域分類可以分為單值函數(shù)、多值函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)函數(shù)等。按表達(dá)式分類可以分為代數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)、分段函數(shù)等。按性質(zhì)分類可以分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等。多元函數(shù)的極限定義當(dāng)自變量趨于某個(gè)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)在該點(diǎn)的極限.幾何解釋多元函數(shù)的極限可以理解為函數(shù)圖像在自變量趨于某個(gè)點(diǎn)時(shí)，高度無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù).多元函數(shù)的連續(xù)性定義如果一個(gè)多元函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的極限存在且等于該點(diǎn)處的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù).幾何解釋函數(shù)圖像在該點(diǎn)處沒(méi)有“斷裂”或“跳躍”判斷方法判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)，需要分別檢查函數(shù)在該點(diǎn)處的極限和函數(shù)值是否相等偏導(dǎo)數(shù)的定義定義多元函數(shù)在一點(diǎn)沿著某個(gè)坐標(biāo)軸方向的變化率稱為該點(diǎn)關(guān)于該坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)。符號(hào)設(shè)多元函數(shù)為z=f(x,y)，則在點(diǎn)(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為?z/?x或?f/?x，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)記為?z/?y或?f/?y。計(jì)算計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將其他變量視為常數(shù)，然后按照一元函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則進(jìn)行計(jì)算。全微分的概念定義函數(shù)在某點(diǎn)處沿著某個(gè)方向的變化量可以用全微分來(lái)表示.當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)處可微分時(shí),其在該點(diǎn)的全微分就是該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著任意方向的變化量的線性近似.公式設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分,則其全微分dz為:d