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文檔簡(jiǎn)介
復(fù)變函數(shù)與積分變換:3、4節(jié)證明:
如
3、微分性質(zhì)
如果在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)且當(dāng)時(shí),.則
證明:
推論如果在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)且則
同樣還可得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一般地
設(shè),則
證
注意,上述證明過(guò)程用到了求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和求積分運(yùn)算的交換,應(yīng)當(dāng)指出,這種交換是需要一定條件的.
例1:設(shè)求和
解
4、積分性質(zhì)設(shè),若,則
證
由微分性質(zhì)
例2:求微分方程的解解設(shè),則兩邊同取付氏變換得
另外,付氏變換還有以下的性質(zhì)對(duì)稱性:若,則
相似性:若,則
象函數(shù)的平移性:若,則
翻轉(zhuǎn)性:若,則
這些性質(zhì)均為習(xí)題,留給大家自己證明。由對(duì)稱性得
如
則§4
、卷積與卷積定理(1)定義:設(shè)函數(shù),積分
稱為與的卷積,記為即顯然且有還滿足對(duì)加法的分配律卷積的簡(jiǎn)單性質(zhì):解:例1:若求另外,確定的范圍還可用不等式組法即例2:
求下列函數(shù)的卷積:由卷積的定義有解:(2)卷積定理:設(shè)函數(shù)均滿足付氏積分定理的條件,且,則
或
證明:
交換積分次序同理可得
利用付氏變換的性質(zhì)可以方便地求出某些函數(shù)的付氏變換。例3:求、及的付氏變換解:
由位移性
由象函數(shù)的位移性
由象函數(shù)的微分性
又
例4:求
解:由象函數(shù)的位移性得
而故
實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.利用傅氏變換的性質(zhì)求
(t
t0),例5:若
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