第六章 概率論基礎(chǔ)

第六章概率論基礎(chǔ)第一節(jié)

事件與概率第二節(jié)

隨機(jī)變量及其數(shù)字特征第三節(jié)

大數(shù)定律與中心極限定理第六章概率論基礎(chǔ)一、引言

先做兩個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)：

試驗(yàn)1：一個(gè)盒子中有十個(gè)完全相同的白球，從中任意摸出一個(gè)。

試驗(yàn)2：盒子中有十個(gè)完全相同的球，其中五個(gè)白球，五個(gè)黑球。

第一節(jié)事件與概率

對(duì)于試驗(yàn)1，在球沒(méi)有取出之前，我們就能確定取出的必定是白球。這種試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)開(kāi)始的條件應(yīng)可以確定實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，這種試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象叫確定現(xiàn)象。

對(duì)于試驗(yàn)2，在球沒(méi)有取出之前，我們從試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)的條件不能確定試驗(yàn)的結(jié)果(即取出的是白球還是黑球)，也就是說(shuō)一次試驗(yàn)的結(jié)果在試驗(yàn)之前是無(wú)法確定的。但是大量重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果又遵循某些規(guī)律(這些規(guī)律我們稱(chēng)之為“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”)，這類(lèi)試驗(yàn)叫做隨機(jī)試驗(yàn)。其代表的現(xiàn)象叫隨機(jī)現(xiàn)象。第六章概率論基礎(chǔ)二、隨機(jī)事件與樣本空間

隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行。(2)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確知道的，并且不止一個(gè)。(3)每次試驗(yàn)總是出現(xiàn)一個(gè)可能的結(jié)果，但在一次試驗(yàn)之前卻不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)。

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果，稱(chēng)為基本事件（樣本點(diǎn)），用表示

第六章概率論基礎(chǔ)

樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合，用Ω表示。

隨機(jī)事件：具有某些特征的基本事件所組成（樣本空間的一個(gè)子集），用大定字母A，B，C,…表示事件。

必然事件：Ω

不可能事件：第六章概率論基礎(chǔ)

三、事件的關(guān)系與運(yùn)算

1、包含:

事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

2、相等：與同時(shí)成立3、并：

A

BA與

B至少有一個(gè)發(fā)生4、交：

A

B=ABA與

B同時(shí)發(fā)生5、差：

A

BA發(fā)生但B不發(fā)生6、互不相容：

A和B不可能同時(shí)發(fā)生即7、對(duì)立事件：令,則是A的對(duì)立事件

第六章概率論基礎(chǔ)

例6-1袋中有十個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)以1到10的號(hào)碼，從中任取一球，設(shè)A={取得球的號(hào)碼是偶數(shù)}B={取得球的號(hào)碼是奇數(shù)}C={取得球的號(hào)碼小于5}，問(wèn)下述運(yùn)算分別表示什么事件：(1)A

B必然事件(取得的球的號(hào)碼是偶數(shù)或是奇數(shù))(2)A

B不可能事件(取得的球的號(hào)碼既是偶數(shù)又是奇數(shù))(3)AC取得的球的號(hào)碼為2或4(4)取得的球的號(hào)碼為5或7或9(5)取得的球的號(hào)碼為6或8或10第六章概率論基礎(chǔ)

四、概率與頻率

（一）概率

隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)量)稱(chēng)為A發(fā)生的概率。記作P(A)

（二）頻率

在n次重復(fù)的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值為事件A發(fā)生的頻率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大，頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于某一常數(shù)。將該常數(shù)定義為事件A的概率（統(tǒng)計(jì)概率）。第六章概率論基礎(chǔ)

五、古典概型

若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足條件：

(1)有限性。樣本空間的元素(基本事件)只有有限個(gè)，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}(2)等可能性。每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。則稱(chēng)這類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為古典概型。則事件A的概率為:

其中，n是樣本點(diǎn)總數(shù)，k是事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)。

第六章概率論基礎(chǔ)

例6-2在盒子中有十個(gè)相同的球，分別標(biāo)以號(hào)碼1,2，…，10，從中任取一球，求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。解：令i={所取球的號(hào)碼為},則

Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，所以樣本空間總數(shù)為10。設(shè)A={所取球的號(hào)碼為偶數(shù)}，則A={2，4，6，8，10}。所以A中含有的基本事件數(shù)為5。從而

第六章概率論基礎(chǔ)古典概型具有三條基本性質(zhì)：1．非負(fù)性：對(duì)任一事件A，有P(A)0;

2．規(guī)范性：對(duì)必然事件Ω，有P(Ω)=1;3.有限可加性：若事件A1,A2,……,An兩兩互不相容，則

第六章概率論基礎(chǔ)六、條件概率與事件的獨(dú)立性(一)條件概率

如果A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(B)>0

，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)

定義為:

第六章概率論基礎(chǔ)例6-3在50件產(chǎn)品中，有一等品45件，二等品2件，廢品3件?，F(xiàn)從這50件產(chǎn)品中任意抽取一件，每件是否被抽到是等可能的。問(wèn)：(1)抽到的是廢品的概率為多少？(2)已知抽到的是非一等品，那么是廢品的概率以是多少？解：設(shè)A={抽到廢品}，B={抽到非一等品}，

顯然第六章概率論基礎(chǔ)乘法公式:

如果A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，

若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).全概率公式:

事件A1,A2,…,An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，P(Ai)>0，則對(duì)任一事件B，

第六章概率論基礎(chǔ)例6-4某工廠有四條流水線生產(chǎn)一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%。又這四條流水線的次品率依次為5%，4%，3%和2%。今從出廠產(chǎn)品中任抽取一件產(chǎn)品，問(wèn)恰好是次品的概率是多少？

解：設(shè)A={任抽取一件，恰好是次品}，B={任抽取一件，恰好是第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品}于是，

第六章概率論基礎(chǔ)（二）事件的獨(dú)立性

任意兩個(gè)事件A，B，若有

成立，則稱(chēng)事件A、B是相互獨(dú)立的

對(duì)于三個(gè)事件A，B，C，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)同時(shí)成立，則稱(chēng)事件A、B、C相互獨(dú)立?？梢詫ⅹ?dú)立的概念推廣為n個(gè)事件獨(dú)立。

第六章概率論基礎(chǔ)例6-5

兩射手彼此獨(dú)立地同時(shí)射擊同一目標(biāo)，設(shè)甲射中(事件A)的概率為P(A)=0.9，乙射中(事件B)的概率為P(B)=0.8，求兩人各發(fā)射一彈而射中目標(biāo)的概率。解：由題意知，A，B兩事件相互獨(dú)立，則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98第六章概率論基礎(chǔ)七、貝努利概型

貝努利試驗(yàn)

試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果，A或者,且,，則稱(chēng)E為貝努利試驗(yàn)。

n重貝努利試驗(yàn)n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)，稱(chēng)為n重貝努利試驗(yàn)n重貝努利試驗(yàn)中，時(shí)間A出現(xiàn)k次的概率為：

第六章概率論基礎(chǔ)七、貝努利概型

貝努利試驗(yàn)

試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果，A或者,且,，則稱(chēng)E為貝努利試驗(yàn)。

n重貝努利試驗(yàn)n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)，稱(chēng)為n重貝努利試驗(yàn)n重貝努利試驗(yàn)中，時(shí)間A出現(xiàn)k次的概率為：

第六章概率論基礎(chǔ)例6-6

某學(xué)校的校乒乓球隊(duì)與系乒乓球隊(duì)要進(jìn)行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力強(qiáng)于系隊(duì)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與一個(gè)系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí)，校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為0.6，現(xiàn)在，校隊(duì)與系隊(duì)商量對(duì)抗賽的方式，共有三種方案可供選擇：(1)3局2勝制(2)5局3制(3)7局4勝制。問(wèn)：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪種方案最為有利？解：設(shè)系隊(duì)獲勝的人數(shù)為ξ，則三種方案中系隊(duì)獲勝的概率分別為：

顯然，第一種方案對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)最為有利。第六章概率論基礎(chǔ)

第二節(jié)隨機(jī)變量及其數(shù)字特征一、離散型隨機(jī)變量及其分布

（一）概率分布

一般地，設(shè)隨機(jī)變量

取值,且,或者表示為下表，

稱(chēng)其為隨機(jī)變量的分布列或分布律或分布第六章概率論基礎(chǔ)

…………..……………

隨機(jī)變量的分布列都具有以下的性質(zhì)

(1)，

(2)。第六章概率論基礎(chǔ)

（二）常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量

1、二項(xiàng)分布n重伯努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，其分布稱(chēng)為二項(xiàng)分布。記為：

當(dāng)n=1時(shí)，稱(chēng)

為0-1分布.第六章概率論基礎(chǔ)

2、泊松(Poisson)分布若隨機(jī)變量

的概率分布為：

則稱(chēng)

服從參數(shù)為

的泊松分布,

第六章概率論基礎(chǔ)記為~P(

).

3、超幾何分布

N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，從中抽取n個(gè)，其中不合格品的個(gè)數(shù)為X，則

稱(chēng)X服從超幾何分布。第六章概率論基礎(chǔ)二、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

（一）隨機(jī)變量及分布函數(shù)

在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)

稱(chēng)為樣本空間Ω上的（實(shí)值）隨機(jī)變量，并稱(chēng)F(x)=P(

x)

為隨機(jī)變量

的概率分布函數(shù)。簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)或分布。

第六章概率論基礎(chǔ)

（二）連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足:

則稱(chēng)X為連續(xù)隨機(jī)變量，稱(chēng)f(x)為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù)。

密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)：第六章概率論基礎(chǔ)（3）例6-7設(shè)隨機(jī)變量

具有概率密度

，試確定常數(shù)K，并求

。

解：由于

，則，所以K=3，于是的密度函數(shù)為：

所以有

第六章概率論基礎(chǔ)

（三）常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量

（1）均勻分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

在有限區(qū)間（a,b)內(nèi)取值，且其概率密度為

則稱(chēng)

在區(qū)間（a,b)上服從均勻分布

第六章概率論基礎(chǔ)例6-8

設(shè)電阻的阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900歐姆到1100歐姆之間，求R的概率密度及R落在950到1050之間的概率。解：按題意，R的概率密度為

故第六章概率論基礎(chǔ)

（2）正態(tài)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中

為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為

的正態(tài)分布或高斯分布，記為

。

（3）指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X具有概率密度其中

為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布

第六章概率論基礎(chǔ)例6-9

已知某電子管的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為

求這種電子管能使用1000小時(shí)以上的概率。

解：

第六章概率論基礎(chǔ)三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

（一）數(shù)學(xué)期望

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,

若級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即

第六章概率論基礎(chǔ)2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

，若積分

絕對(duì)收斂，則稱(chēng)積分

的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望，又稱(chēng)為均值

第六章概率論基礎(chǔ)例6-10設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：

計(jì)算X的期望E(X）

解：

第六章概率論基礎(chǔ)X

1012P0.20.10.40.3E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.

3.期望的性質(zhì)

（1）設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C

（2）設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)

（3）設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

（4）設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

第六章概率論基礎(chǔ)（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1.概念

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若

存在，則稱(chēng)

為X的方差。記為D(X)或Var(X)。即

稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差。

隨機(jī)變量X的方差表達(dá)了X的取值與其均值的偏離程度

第六章概率論基礎(chǔ)

若X是離散型隨機(jī)變量，分布律為

則

若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x),則方差常用下面公式計(jì)算：

第六章概率論基礎(chǔ)

事實(shí)上：

X的標(biāo)準(zhǔn)化變量:

其中：，則

第六章概率論基礎(chǔ)2.方差的性質(zhì)

（1）設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；

（2）設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則D(CX)=C2D(X)；

（3）設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

（4）設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)

（5）D(C)=0P(X=C)=1第六章概率論基礎(chǔ)

第三節(jié)大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律（一）契比雪夫不等式（Chebyshevinequality）

定理1

設(shè)隨機(jī)變量X的均值E(X)及方差D(X)存在，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有不等式

或第六章概率論基礎(chǔ)例6-11設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=10,方差D(X)=0.04估計(jì)P(9.2<X<11)的大小。

解:P(9.2<X<11)=P(-0.8<X-10<1)=P(|X-10|<0.8)≥1-0.04/0.82=0.9375

因而P(9.2<X<11)不會(huì)小于0.9375

第六章概率論基礎(chǔ)（二）契比雪夫大數(shù)定律（ChebyshevLawofLargeNumber）

定理2

設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,Xn分別有期望E(X1),E(X2),…,E(Xn)及方差D(X1),D(X2),…,D(Xn),若存在常數(shù)C，使得D(Xk)≤C,k=1,2,…,n,則對(duì)于任意正整數(shù)ε，有

第六章概率論基礎(chǔ)

推論1

設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=μ，D(Xk)≤σ2

（k=1,2,…）存在，則對(duì)于任意正整數(shù)ε，有

第六章概率論基礎(chǔ)（三）貝努里大數(shù)定律（BernoulliLawofLargeNumber）

定理3

設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正整數(shù)ε，有

第六章概率論基礎(chǔ)二、中心極限定理(CentralLimitTheorem)

中心極限定理(CentralLimitTheorem)是研究在適當(dāng)?shù)臈l件下獨(dú)立隨機(jī)變量的部分和

的分布收斂于正態(tài)分布的問(wèn)題。

定理4設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=μ,D(Xk)≤σ2≠0,k=1,2,…,則對(duì)于任意x，有

定理我們通常稱(chēng)之為林德貝格-勒維(Lindeberg-Levy)定理

第六章概率論基礎(chǔ)

推論2

設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,Xn服從同一分布，已知均值為μ，方差為σ2>0，當(dāng)n充分大時(shí)，

近似服從正態(tài)分布。

推論3

設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,Xn服從同一分布，已知均值為μ，方差為σ2>0，當(dāng)n充分大時(shí)，

近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。

第六章概率論基礎(chǔ)

例6-12

用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精凈重大于20500克的概率。

解：設(shè)一箱味精凈重為Y克，箱中第k袋味精的凈重為Xk克，k=1,2,…,200.X1，X2,…,X200是200個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且E(Xk)=100,D(Xk)=100,E(Y)=E()=20000,D(Y)=20000

因而有p(Y>20500)=