高考數(shù)學公式總結(jié)

(1)當a〉0時，若x=-二￡[〃，/，

數(shù)學常用公式及結(jié)論2a

則

/Wmin=/(-y-)J'Wmax=max{f(P)J(4)}

1.元素與集合的關

系：xeAox/QA,xwQAox它A?

00AoAw0

X=-AP^]，

2.德摩根公2a

式：，(X)max=皿{/(P)J(9)}，

q(An8)=Q4UQ8;Q(AU8)=QAnGu"3min=,wn{，(P)J(4)}?

3.包含關系(2)當a<0時，若x=—§e[p?],

4?元素個數(shù)關系：2a

5.集合{%,%,…嗎}的子集個數(shù)共則/Wnun=mn{f(p\f(q)},

有2”個；真子正有2"-1個；非空子集若x=--^-^[p,q],則

有2〃-1個；非空的真子集有2”-2個.2a

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式/(X)max=max{/(〃)"(/}?

(1)一般式/。)=?2+灰+或〃工0)；f(X)min=min{/(p)"(g)}?

(2)頂點式f(x)=a(x-h)2+k(a*0);10?一元二次方程"r)=x2+px+q

(當已知拋物線的頂點坐標(人次)時，=0的實根分布

設為此式)(1)方程f(x)=0在區(qū)間(肛+8)內(nèi)

(3)零點式有根的充要條件為f(tn)<0或

2

/(x)=a(x-x})(x-x2)(a0);(當已知拋p-4q>0

物線與x軸的交點坐標為(40),(%，0)二j；

時，設為此式).2

(4)切線式：(2)方程f(x)=0在區(qū)間內(nèi)有

2

/(x)=a{x-x0)+(Ax+d),(當已根的充要條件為

知拋物線與直線y=b:+d相切且切點/。%)/(〃)<0或

m+nn

的橫坐標為“。時，設為此式).----<--<n

7.解連不等式N</(x)vM常有以22

'p2-4q>0或<p2-4q>0;

下轉(zhuǎn)化形式

/w>o/(/w)>0

8.方程ax2+bx+c=0(。工0)在

?次2)內(nèi)有且只有一個實根，等價于

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(-co,㈤內(nèi)

,__b_,

/(勺)/(右)<?；?,<-2^<2?有根的充要條件為/(m)<0或

2

A=Z?2-4ac=0p-4(7>0

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值乜機.

二次函數(shù)/(工)=?2+法+或口。0)在2

11?定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成

閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在(

立(或有解)的條件依據(jù)

處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下:(1)在給定區(qū)間(-8,+00)的子區(qū)間L

(形如[。，⑶，(-8,冽，[a,+oo)不同)對任何存在某P且r2或r

上含參數(shù)的不等式(，為參數(shù))X，不成X,成q

恒成立的充要條件是/(觀血2A。G乙).

(2)在給定區(qū)間(-00,+00)的子區(qū)間L14.四種命題的相互關系：

15.充要條件(記p表示條件，,表

上含參數(shù)的不等式〃元)3(，為參數(shù))

示結(jié)論)

恒成立的充要條件是/(x)2</,(XGL).

(1)充分條件：若pnq,則p是

(3)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間

夕充分條件.

L上含參數(shù)的不等式/(幻小(f為參數(shù))

(2)必要條件：若q=>p,則p是

的有解充要條件是/(X)max"(/CL).

夕必要條件.

(4)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)

(3)充要條件：若p=>q,且

間L上含參數(shù)的不等式為參

qnp，則〃是4充要條件.

數(shù))有解的充要條件是

f(X)min)?注：如果甲是乙的充分條件，則乙

12?真值表

13?常見結(jié)論的否定形式是甲的必要條件；反之亦然.

原

原結(jié)論反設詞反設詞

結(jié)10函數(shù)的單調(diào)性的等價關系

論⑴設W可，石工與那么

a—電)[/(^)-f(x)]>o=

是不是至一個也沒有2

/(內(nèi))-/但)〉在上是增

少oQ/⑴*，u

有

函數(shù)；

個

都是不都是至至少有兩個)一)<0o)(幻在木，“上是減

多王一工2

有函數(shù).

(2)設函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)

個可導,如果八x)>0,則/(x)為增函數(shù)；

大于不大于至至多有如果ra)<o,則/*)為減函數(shù).

少

(H-1)個17.如果函數(shù)“X)和g(x)都是減函

有

n數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)

個

/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

至

小于不小于至少有f(x)和g(X)都是增函數(shù)，則在公共定

多

(九+1)個

有義域內(nèi)，和函數(shù)/?+g(x)也是增函數(shù);

個如果函數(shù)丁=/(〃)和"=8(X)在其對應

的定義域上都是減函數(shù)，則復合函數(shù)

對所有存在某p或-P且ry=f[gM]是增函數(shù)；如果函數(shù)

X,成立X,不q

y=f(U)和〃=gQ)在其對應的定義域

成立

上都是增函數(shù)，則復合函數(shù)y=〃g*)]

是增函數(shù)；如果函數(shù)y=/(〃)和M=g(x)y=f(b-mx)的圖象關于直線工=空女

在其對應的定義域上一個是減函數(shù)而2m

另一個是增函數(shù)，則復合函數(shù)對稱.

y=/［以幻］是減函數(shù)?(3)函數(shù)y=/(X)和y=/(x)的圖

18.奇偶函數(shù)的圖象特征象關于直線y二x對稱.

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函25.若將函數(shù)y=f(x)的圖象右移

數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果。、上移力個單位，得到函數(shù)

一個函數(shù)的圖象關于原點對稱,那么這y=f{x-a)+b的圖象；若將曲線

個函數(shù)是奇函數(shù);如果一個函數(shù)的圖象f(X,y)=0的圖象右移〃、上移8個單

關于y軸對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù)位，得到曲線/(x-a,y-?=0的圖象.

?19?常見函數(shù)的圖像：26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系:

20.對于函數(shù)f(a)=bo『(b)=ci?

y=(XG/?),f(x-^-d)=f(b-x)1S27.函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)

成立，則函數(shù)f(x)的對稱軸是工=等)=01(幻的圖像的交點不一定全在直

線y=x上.

兩個函數(shù)》=/(工+々)與》=/(6-%)的28.幾個常見的函數(shù)方程

圖象關于直線x=*對稱.(1)正二匕例函數(shù)

2/W=cx=

21?若f(x)=-f(-x+a),則函數(shù)f(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

y=/(幻的圖象關于點弓,0)對稱；(2)指數(shù)函數(shù)

f(x)=axo

若/(%)=—/。+幻，則函數(shù)

+y)=(y)J⑴=a。o?

),=/(笛為周期為幼的周期函數(shù).

(3)對數(shù)函數(shù)

22.多項式函數(shù)/W=log“Xo

nn］

P(x)=anx+an_^x~+…+%的奇偶性f{xy)=/(x)+f(y),f(a)=1(。>0,。工1)?

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=尸(幻(4)基函數(shù)

的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.fM=^a<=>f(xy)==a.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)0P(x)(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)

的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.g(x)=sinx,

2工函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱性f(x-y)=f(x)f(y)-^g(x)g(y)，

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線29?幾個函數(shù)方程的周期(約定

x=〃對稱a>0)

of(a+x)=f(a-x)<=>f(2a-x)=f(x).(1)/(x)=f(x+a),貝I」f(x)的周

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線期T二a；

對稱of(a+rwc)=(2)f(x+d)=(f(x)0),或

fM

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

八］+。)=一工(/。)工0)，貝UfM的周期

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(T)fW

的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱.T=2a；

(2)函數(shù)y=f(itvc-a)與函數(shù)

(3)/(x)=l-1(/(x)^0),則35.對數(shù)的四則運算法則:若a>

f(x+a)0,aWl,M>0,N>0,則

的周期；

T=3a(1)logd(M/V)=logwM+logw7V;

/(X1)+/Cq)(2)bg“果=log“M-logaN;

(4)/($+x2)=且

)〃

f(a)=1(/(%,)-f(x2)。1,0v|玉一々K2。)(3)log'M*zkg“M(€R);

，貝lj/(x)的周期T=4a；

(4)logNn=—log”N(n,mGR).

30,分數(shù)指數(shù)累m

巴i36.設函數(shù)

n

(1)a=—j=a>0,見〃￡N*,且2

f(x)=\ogni(ax+bx+c)(aw0),t己

?若的定義域為則

H>1).A=〃-4ac/(x)R,

,、_巴1a>0且Av。；若“r)的值域為R,則

(2)an=——(a>0,m,neN：且

U。>0,MA>O.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣：設

n>\).

n>m>\>〃>0，。>0，且awl，則

31.根式的性質(zhì)

(1)l°g〃”(〃+P)<log,"?

(1)即)”=a.

(2)當〃為奇數(shù)時，療=a；(2)logttwlogun<logw(一?

當〃為偶數(shù)時，38.平均增長率的問題(負增長時

日=1止卜壯°.p<0)

—a,a<0如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N,平均

32.有理指數(shù)基的運算性質(zhì)增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值

rsr+s

(1)a-a=a(a>0,r,seQ)?y?有丁=刈1+〃),,

(2)(優(yōu)39?數(shù)列的通項公式與前n項的和

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ).

的關系：n=](數(shù)列(qJ

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，

則球表示一個確定的實數(shù).上述有理

的前n項的和為力=4+/+???+4),

指數(shù)累的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)早

都適用.40,等差數(shù)列的通項公式：

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：

an=a]+(〃-l)d=dn+a}-d{neN〃)；

log”N=boa"=N(a>0,a*1,N>0)?

34.對數(shù)的換底公其前n項和公式為：

〃(4+a)n(n-\)

式：log“N=詈”N(白>0,且s=——!----tl=na.+---------a

log,”。n212

機且加工d,,1,、

awl,>0,1,N>0)?=-n+{a,--d)n.

對數(shù)恒等式：戶*=N(“>0,且

"41?等比數(shù)列的通項公式：

"1,N>0)?

4=%/=Sq"(nwN*)；

推論log/，b"=—log匕(〃>0,且

maq

awl,N>0)?其前n項的和公式為

4(7),X

5,r=]\-q或sin(a±/?)=sinacos/7±cosasinp;

cos(a±P)=cosacos/孑sinasinp;

sin(a+/3)sin(a-y^)=sin2cr-sin2p

%=ji-q-(平方正弦公式)；_____

〃q,q=las\na-hbcosa=\la2+trsin(a+e)(

42.等比差數(shù)列輔助角9所在象限由點(al)的象限決

{%}:=q%+乩%=b(q*0)的通項公定，iane=')?

式為

b+(n-\)d,q=14&二倍角公式及降幕公式

nn；

an=\bq+(d-b)q-'-d,49.三倍角公式

------:---------,3

9-150.三角函數(shù)的周期公式

其前n項和公式為：函數(shù)y=sin(ax+0),x￡R及函數(shù)

nb+n(n-l)d,(q=1)y=cos(cox+(p),xER(A,3,夕為常數(shù)，

sn=",,d1-q"d?

(b---)--2-+--且AW0)的周期T二生；函數(shù)

\-qq-i\-q⑷

43?分期付款(按揭貸款)：每次還

y=tan(69x+°),k7r+—,keZ(A,

款%=嗎”元(貸款。元，〃次還清,

3，e為常數(shù)，且AWO)的周期〕二.

\(o\

每期利率為8).

44.常見三角不等式51.正弦定理？：

（吟，則，一=必一=—^=2R(R為AABC外

⑴若xesinx<x<tanx.sinAsinBsinC

接圓的半徑).

（2）若xw（O,1），則

252?余弦定理

1<sinx+cosx<V2.a2=b2+c2-2bccosA;

（3）|sinx|+|cosx|>Lb2=(r+a2-2cacosB;

45.同角三角函數(shù)的基本關系式：c2=a2+b2-2tz力cosC.

53?面積定理

sin2^+cos2^=l,tan夕二,融’,

cos。(1)S=—ah=—bh=—ch

tan0-cotO=1.2。2b。2c

46.正弦、余弦的誘導公式（奇變(4、4、4分別表示a、b、c邊上的

偶不變，符號看象限）高)?

(2)

（一sina,（內(nèi)為偶數(shù)）

——+a)=?

S=—abs\nC=—bcs\nA=—ctzsinB.

（-1）2cosa,5為奇數(shù)）222

(3)

（-1產(chǎn)cosa,5為偶數(shù)）

9cos/(〃^乃-+a)、=?SAOAB=gj(l礪H函)2-麗西2.

J1+1

（-1）2sina,（〃為奇數(shù)）

54?三角形內(nèi)角和定理

47.和角與差角公式

在△ABC中，有⑶設A?,%),B

A+B+C=Jr<^>C=7C—(A+B)

U2,y2),則

55.簡單的三角方程的通解AB=OB-OA=(x2-x],y2-yl)?

特別地,有(4)設M=(x,y),Ae/?，則

56.最簡單的三角不等式及其解集2a-(2x,Ay).

57.實數(shù)與向量的積的運算律：設(5)設l=(芭加,b=(x2,y2),則

入、口為實數(shù)，那么

a?=(x1x2+ylj2).

(1)結(jié)合律：入(口(入U)63.兩向量的夾角公式

a；

ab_x}x2+yxy2

(2)第一分配律：(入+口)萬二人尹同?出廣荷；算.總+

Ua；

(5=(%,%),b=(X,3S)).

(3)第二分配律:入(,+5)二:/2

64.平面兩點間的距離公式

入b?

58.向量的數(shù)量積的運算律：

d=|畫=7^示茄

(1)d?b=b?a(交換律)；AB

22

(2)(>1?)?b=2(G?B)=yl(x2-xl)+(y2-y])(A(公弘)，

99

=Ad5=a(Ab);B(孫力))?

=9

(3)(a+b)?cac?c.65?向量的平行與垂直：設

59?平面向量基本定理？

a=(x,y),=(x,y),且5工。,則

如果不、段是同一平面內(nèi)的兩個不1122

a||boB二人a

共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一

0匹％72y=0?

向量，有且只有一對實數(shù)3、3,使

aA.b(a6)<=>

得日二入田+入滲2.

a?h=0<^>xx+yy=0.

不共線的向量不、&叫做表示這一平[2[2

66?線段的定比分公式：設

面內(nèi)所有向量的一組基底.

60”),鳥(孫力)，P(%y)是線段

60.向量平行的坐標表示?？

的分點，4是實數(shù)，且羽=4兩，則

設方=(菁，X),B=(4％)，巨方。"

_$+

則町|B(5/0)Xy-xy=0.

l22i「1+2=格-=

53.G與6的數(shù)量積(或內(nèi)積)：N+31+4

d*b=\a\\b\cos6.p-fu-

61.a-5的幾何意義：

OP=fO^+(]-t)O^(/=—)?

數(shù)量積M?日等于］的長度京|與日

在M的方向上的投影I，Icose的乘積.67.三角形的重心坐標公式

62.平面向量的坐標運算△ABC三個頂點的坐標分別為

A(xi，y，、B(X,y)>(Xx?,yj,貝!J^ABC

(1)設L=(內(nèi),乂),b=(x2,y2),則22

的重心的坐標是

=(演+蒼，,+%)?

/M+3+W/+/+%、

(2)設,二(%［，M),B=(x2,y2),則(3'3?

a-b=(xi-x2ty］-y2).6&點的平移公式

注：圖形F上的任意一點P(x,y)(4)柯西不等式：

21222

在平移后圖形F'上的對應點為(a+b)(c+d)>(ac+bd),a,b,c,dGR.

P{x,y),且方的坐標為(九幻?(5)同_|44,+4?時+陣

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論(6____)

(1)點P(x,y)按向量方二(人用平移』而*JUZ(當且僅當

后得到點P(x+/z,y+攵).a+b2V2

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象C按向量a=b時取“二”號).

]=口女)平移后得到圖象C',則C’的函72.極值定理：已知蒼y都是正數(shù)，

數(shù)解析式為y=f(x-h)-\-k.則有

(3)圖象C按向量2二(h,k)平移(1)若積孫是定值p,則當x=y

后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),時和x+y有最小值2y[p；

若和是定值則當

則。.的函數(shù)解析式為y=f(x+h)-k.(2)x+ys,

⑷曲線C:/(x,y)=0按向量x=y時積孫有最大值

4二仇外平移后得到圖象C',則C'的方4

已知+,若

程為f(x-h,y-k)=O(3)a,b,x,y&R

9則有

(5)向量所=(羽y)按向量值二(/?,2)or+by=1

平移后得到的向量仍然為所=*,y).(4)已知4出S—+—=1

xy

70.三角形五“心”向量形式的充

則有

要條件

73.一元二次不等式

設。為AABC所在平面上一點，角

ax2+bx+c>0(或<0)

AB,C所對邊長分別為則

(〃00,△=從一4ac>0),如果〃與

(1)。為MBC的外心

---?2---?2----2o?+法+C同號，則其解集在兩根之

<=>OA=OB=OC.

外；如果。與依2+bx+C異號，則其解

(2)。為AABC的重心

集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，

=礪+麗+元=6?

異號兩根之間.

(3)O為AABC的垂心

X}<x<x2<=>(X-%1)(x-x2)<0(x,<x2)

<^OAOB=O§OC=OCOA.*

(4)。為MBC的內(nèi)心

74.含有絕對值的不等式：當a>0

<=>aOA+bOB+cOC=6.

時，有

(5)。為AABC的ZA的旁心

\^\>a<^>x2>c^<^>x>a或

u>aOA=bOB+cOC.

x<—a?

71.常用不等式：

75.無理不等式

(1)A=/+〃226%(當且

[/W>0

僅當時取“二”號).

a=b(i)VTw>Jg3<=><g(x)>o

a

(2)a,bwR*=+b之^[^(當且f(x)>g(x)

2

.(2)

僅當a=b時取“二”號).

(3)

a'+Z>3+c3>3abe(a>0,/?>O,c>0).

/U)>0A、B不同時為0).

f(x)>0

u>,g(x)NO79?兩條直線的平行和垂直

2g(x)VO

f(x)>[g(x)](1)若4:y=+4,l2:y=k2x+b2

g(x)>0[/(x)>0①/J|/20K=&，■工/；②

<z>或，?

J(x)>[g(x)][g(x)vO/I_L，2=%#2=

(3)(2)若

[/U)>0《：Ax+gy+G=0,

7/w<g")=，gM>0-、、

/2:A2X+B2y+C2=0,_@LAIA2SBIB2

JM<[g(x)]2都不為零，

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式①/|也0劣=叁工6；②

⑴當。>1時,482c2

f(x)s(x)

a>a<=>f(x)>g(x)4_L6oA4+4為=o；

f(x)>080?夾角公式

。

logJ(x)>logg(x)=，g(x)>0.(1)tana=\~~~—|?

/W>g(x)1+V,

(2)當Ovavl時,(/j:丫=審+”,l2:y=k2x+b2,k/2工-1)

af(xy>a8(x)<^>f(x)<g(x)(2)tana"—&耳.(

7(x)>0

4:Ax+4y+C]=0,l:Ax+By+C=0,

log,J。)>log.g(x)=,g。)>02222

f(x)<g(x)A&+4避工0)?

77,斜率公式直線(i/2W,直線上與A的

k=%%（6（和%）、巴（々,必））夾角是全

到的角公式

78?直線的五種方程81./14

（1）點斜式y(tǒng)-y=k（x-x）（直(1)tana=——:y=k.x+b.,

xi111

1+M,

線/過點片（X，y）,且斜率為左）.

4:y=3+%,桃2=T)

（2）斜截式y(tǒng)=^+〃（b為直線/

A與一&片

在y軸上的截距）.⑵tana

AA,+B[Bi

（3）兩點式

4:Ax+4y+G=0,

-^L=-^L（y產(chǎn)為）（4（%，y）、

必一凹與一當l2:A2x+B2y+C2=0,W+BXB2^0).

鳥。2，乂）（X工工2，,。必））.直線時，直線/到h

兩點式的推廣：的角是上.

*2—F）（y-y）-（%-y）（%-5）=0（無任2

四種常用直線系方程及直線系

何限制條件！）82.

與給定的線段相交：

（4）截距式±+上=1（%人分別（1）定點直線系方程：經(jīng)過定點6（為,%）

ab

為直線的橫、縱截距，〃工0、人工0）的直線系方程為y-%=2（x-/）（除直線

（5）一般式Ar+By+C=0（其中4二為），其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點

￡(%,%)的直線系方程為

{A.x+B.y+C,B2y+C2)>0或<0

4%-%)+5(卜一%)=0,其中48是待定的所表示的平面區(qū)域

系數(shù).

(i4Ix+S1^4-C1)(A,x+B2y+C2)>0或

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線

<0所表示的平面區(qū)域是兩直線

/[：4X+8])，+G=°，

4%+4)，+G=0和\x+By+C=0所

1：&X+=0的交點的直線系方程為22

2展的對頂角區(qū)域：上下或左右兩部分)

(A1x+Bly4-CI)+2(A2x+B2y+C2)=0(除

圓的四種方程

?其中人是待定的系數(shù).86.

(1)圓的標準方程

(3)平行直線系方程：直線

(x-a)2+(y-b)2=r2.

y=Ax+b中當斜率k一定而b變動

(2)圓的一般方程

時，表示平行直線系方程.與直線

x2+y2+Dx+Ey+F,=O(D2+E2-4F>

Ax+By+C=0平行的直線系方程

0).

是Ar+5)，+2=0(4m0),人是參變

(3)Iff的參數(shù)方程

量.

x=a+rcosO

(4)垂直直線系方程：與直線

y=b+廠sin6

Ax+By+C=0(AWO,BW0)垂直

(4)圓的直徑式方程

的直線系方程是取-4)，+/1=0,入

(x-x)(j-x)+(y-y)(y-y)=O(圓的直徑的

是參變量.1212

端點是他/)、8(孫)，2)).

(5)直線系F(x,y,2)=0與線段

87.圓系方程

AB,A(xvyi\B(x2iy2)相交

(1)過點4孫巧),BQ2,%)的圓

<=>?(%,為分尸(鳥)，2，力40?

系方程是

83.點到直線的距離：

A=(工一%)。一工2)+(丁一)%)(>-%)+4(奴+刀+。)=0

d=1yf，(點p(/,丁)，直線/：

。*，其中?+初+c=0是直線A8的方程，入是

22

VA+B待定的系數(shù).

Ax+By+C=0).(2)過直線/:Ax+By+C=O與圓

84.Ar+8y+C>0或<0所表不的C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系

平面區(qū)域方程是

設