備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第八章-§8-1-空間幾何體及其表面積與體積

§8.1空間幾何體及其表面積與體積第八章空間向量與立體幾何1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)

單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上

述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

底面互相

且____多邊形互相

且____側(cè)棱

且_____相交于

但不一定相等延長(zhǎng)線交于____側(cè)面形狀_______________________平行全等相等平行四邊形三角形梯形一點(diǎn)平行相似一點(diǎn)平行2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

母線互相平行且相等，

_____于底面相交于_____延長(zhǎng)線交于____

垂直一點(diǎn)一點(diǎn)軸截面全等的_____全等的__________全等的______________側(cè)面展開圖_______________

矩形等腰三角形等腰梯形圓面扇環(huán)扇形矩形3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸和y′軸所在平面

.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍

，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度

，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為

.45°或135°垂直平行于坐標(biāo)軸不變?cè)瓉淼囊话?.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝_____S圓錐側(cè)＝____S圓臺(tái)側(cè)＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l5.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝____錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝____臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝球S＝______V＝______Sh4πR21.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”.在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線.2.直觀圖與原平面圖形面積之間的關(guān)系S直觀圖＝

S原圖形.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)(4)錐體的體積等于底面積與高之積.(

)××××1.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是A.四棱臺(tái)B.四棱錐C.四棱柱D.三棱柱

√由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱.2.下列說法正確的是A.相等的角在直觀圖中仍然相等B.相等的線段在直觀圖中仍然相等C.正方形的直觀圖是正方形D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行√由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形.3.已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為A.1cm B.2cm C.3cm D.√設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，母線長(zhǎng)為lcm，依題意得2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).探究核心題型第二部分命題點(diǎn)1三視圖例1

(2022·全國(guó)甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為A.8 B.12C.16 D.20√題型一空間幾何體三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是放倒的直四棱柱，如圖，直四棱柱的高為2，底面是上底為2，下底為4，高為2的梯形，命題點(diǎn)2直觀圖例2已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為

√可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，方法二由題意知A′B′＝1，如圖，把側(cè)面展開2周可得對(duì)角線最短，命題點(diǎn)3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為A.12cm B.13cmC. D.15cm√(1)由幾何體求三視圖，要注意觀察方向，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本要求，由三視圖推測(cè)幾何體，可以先利用俯視圖推測(cè)底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測(cè)幾何體的可能形式.(2)①在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.②S直觀圖＝

S原圖形.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2021·全國(guó)甲卷)在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為D.√(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長(zhǎng)為

根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，√(3)(2023·岳陽模擬)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的

倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為√題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4

(1)(2022·深圳模擬)以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于A.8π B.4π C.8 D.4√以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，∴所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.(2)(2023·麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為

，則這個(gè)三棱錐的表面積為√結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝

，由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，命題點(diǎn)2體積例5

(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為√作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為√如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又

＝23＝8，求空間幾何體的體積的常用方法思維升華公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2021·北京)定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)

A.小雨

B.中雨

C.大雨

D.暴雨√(2)(2022·沈陽模擬)在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱?、八是中?guó)人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長(zhǎng)為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為

A.120cm2

B.162.7cm2C.785.4cm2

D.1570.8cm2√根據(jù)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為7cm，得正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.下列說法正確的是A.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B.有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D.如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體√1234567891011121314151612345678910111213141516選項(xiàng)A，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，其余各面的邊延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是360°時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確.2.(2023·淄博模擬)若圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是A.π B.3π C.3π D.9π√1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為r，3.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是

A.8 B.16C.32 D.64√12345678910111213141516根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長(zhǎng)為4，高為16，123456789101112131415164.(2023·莆田模擬)已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)面積為2π的半圓，則該圓錐的高為設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓錐的底面圓半徑為r，如圖.由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，√5.(2020·北京)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為12345678910111213141516由三視圖還原幾何體，該幾何體為直三棱柱，其底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為2.√S側(cè)＝3×2×2＝12，123456789101112131415166.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲爬行的最短路程為

√12345678910111213141516如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲爬行的最短路程為123456789101112131415167.(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(≈2.65)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3√12345678910111213141516如圖，由已知得該棱臺(tái)的高為157.5－148.5＝9(m)，

所以該棱臺(tái)的體積123456789101112131415168.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，B1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，則棱錐A－B1CD1與棱錐P－ABCD的體積之比是

A.1∶4 B.3∶8C.1∶2 D.2∶3√12345678910111213141516棱錐A－B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P－ABCD的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的體積得到的.因?yàn)锽1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，所以棱錐B1－ABC的體積和棱錐D1－ACD的體積都是正四棱錐P－ABCD的體積的

，棱錐C－PB1D1的體積與棱錐A－PB1D1的體積之和是正四棱錐P－ABCD的體積的

，12345678910111213141516則

∶VP－ABCD＝1∶4.則中間剩下的棱錐A－B1CD1的體積9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是

12345678910111213141516由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)三棱錐的組合體，三棱錐的底面為直角邊長(zhǎng)是

的等腰直角三角形，高為3，√1234567891011121314151610.(2022·張家口模擬)陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是_______.12345678910111213141516設(shè)AB＝BD＝m，因?yàn)锳C＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·BC＝4πm2，1234567891011121314151611.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，點(diǎn)M，N分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則棱錐B－AMNC的體積為_____.12345678910111213141516如圖，連接AN，對(duì)于三棱錐B－ACN，B－AMN，顯然它們等底同高，故VB－ACN＝VB－AMN，而VB－ACN＝VN－ABC，注意到CN＝C1N，于是三棱錐N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它們都以△ABC為底面，1234567891011121314151612.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm，這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為

____，體積為______cm3.公共部分是兩個(gè)正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共8面.812345678910111213141516綜合提升練13.(2022·徐州模擬)如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落處，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是

A.15π B.36πC.45π D.48π√12345678910111213141516如圖為圓柱的軸截面圖，過M作容器壁的垂線，垂足為F，因?yàn)镸N平行于地面，故∠MNF＝30°，因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是12和18，故NF＝18－12＝6，14.(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.

12345678910111213141516√12345678910111213141516方法一由甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面