2024年因式分解教案 (一)

2024年因式分解教案

因式分解教案1

引入:在整式的變形中，有時(shí)須要將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形就是

因式分解。什么叫因式分解？

學(xué)問詳解

學(xué)問點(diǎn)1因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的根的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這

個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

(1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形。

例如：

(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn)。

怎樣把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式？

學(xué)問點(diǎn)2提公因式法

多項(xiàng)式ma+mb+mc中的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的。因式m,我們把因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式的

公因式。ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)

因式是各項(xiàng)的公因式m另一個(gè)因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因

式的方法叫做提公因式法。例如

:x2-x=x(x-l),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+l)o

探究溝通

下列變形是否是因式分解？為什么？

(I)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-l)2+2;

(3)x2y2+2xy-l=(xy+l)(xy-l);(4)xn(x2-x+l)=xn+2-xn+l+xn0

典例剖析師生互動(dòng)

例1用提公因式法將下列各式因式分解。

(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a);

分析：Q)題干脆提取公因式分解即可，(2)題首先要適當(dāng)?shù)淖冃?，再把b-a化成-(a-b),然

后再提取公因式。

小結(jié)運(yùn)用提公因式法分解因式時(shí)，要留意下列問題：

(1)因式分解的結(jié)果每個(gè)括號(hào)內(nèi)如有同類項(xiàng)要合并，而且每個(gè)括號(hào)內(nèi)不能再分解。

(2)假如出現(xiàn)像⑵小題需統(tǒng)一時(shí)，首先統(tǒng)一，盡可能使統(tǒng)一的個(gè)數(shù)少。這時(shí)留意到

(a-b)n=(b-a)n(n為偶數(shù))。

(3)因式分解最終假如有同底數(shù)幕，要寫成幕的形式。

學(xué)生做T故把下列各式分解因式。

(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);(2)4p(l-q)3+2(q-l)2

學(xué)問點(diǎn)3公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的'和與這個(gè)數(shù)的差

的積。例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)。

(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2°其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式。即兩個(gè)數(shù)的

平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方。例

$H：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2-2x-3y+(3y)2=(2x-3y)2o

探究溝通

下列變形是否正確？為什么？

(I)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-l=(x-l)2o

例2把下列各式分解因式。

(1)(a+b)2-4a2;(2)l-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9o

分析:本題旨在考杳用完全平方公式分解因式。

學(xué)生做T故把下列各式分解因式。

⑴(x2+4)2-2(x2+4)+l;(2)(x+y)2-4(x+y-l)。

綜合運(yùn)用

例3分解因式。

(I)x3-2x2+x;(2)x2(x-y)+y2(y-x);

分析:本題旨在考杳綜合運(yùn)用提公因式法和公式法分解因式。

小結(jié)解因式分解題時(shí)，首先考慮是否有公因式，假如有，先提公因式;假如沒有公因式是兩

項(xiàng)，則考慮能否用平方差公式分解因式。是三項(xiàng)式考慮用完全平方式，最終，直到每一個(gè)因式

都不能再分解為止。

探究與創(chuàng)新題

例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k=。

分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)乘限的2倍的和(或差)。

學(xué)生做T8若x2+(k+3)x+9是完全平方式，貝I」k=。

課堂小結(jié)

用提公因式法和公式法分解因式，會(huì)運(yùn)用因式分解解決計(jì)算問題。

各項(xiàng)有“公"先提"公二首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，某項(xiàng)提出莫漏,括號(hào)里面分到-底"。

自我評(píng)價(jià)學(xué)問鞏固

1。若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于()

。。。?；?/p>

A3Bo-5C7D7-1

2?！?2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),則n的值是()

A。2B。4C。6D。8

3。分解因式:4x2-9y2=。

4。已知x-y=l,xy=Z求x3y-2x2y2+xy3的值。

5。把多項(xiàng)式l-x2+2xy-y2分解因式

思巍分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10。

附:板書設(shè)計(jì)

因式分解

因式分解的定義探究溝通探究創(chuàng)新

提公因式法典例剖析課堂小結(jié)

公式法綜合運(yùn)用自我評(píng)價(jià)

因式分解教案2

教學(xué)目標(biāo)：

1、進(jìn)一步鞏固因式分解的概念；

2、鞏固因式分解常用的三種方法

3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解4、應(yīng)用因式分解來解決一些實(shí)際問題

5、體驗(yàn)應(yīng)用學(xué)問解決問題的樂趣

教學(xué)重點(diǎn)：敏捷運(yùn)用因式分解解決問題

教學(xué)難點(diǎn)：敏捷運(yùn)用恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒ǎ卣咕毩?xí)2、3

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景：若a=101,b=99,求a2—b2的值

利用因式分解往往能將一些困難的運(yùn)算簡(jiǎn)潔化，那么我們先來回顧一下什么是因式分解和怎

樣來因式分解。

二、學(xué)問回顧

1、因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解

因式。

推斷下列各式哪些是因式分解？(讓學(xué)生先思索，老師提問講解，讓學(xué)生明確因式分解的概

念以及與乘法的關(guān)系)

(1)、x2f2=(x+2y)(x—2y)因式分解(2).2x(x—3y)=2x2—6xy整式乘法

(3)、(5a—1)2=25a2—10a+l整式乘法(4).x2+4x+4=(x+2)2因式分解

(5)、(a—3)(a+3)=a2—9整式乘法(6)。m2—4=(m+4)(m—4)因式分解

(7)、2nR+2nr=2n(R+r)因式分解

2、規(guī)律總結(jié)(老師講解)：分解因式與整式乘法是互逆過程。

分解因式要留意以下幾點(diǎn)：

(1)。分解的對(duì)象必需是多項(xiàng)式。

(2)。分解的結(jié)果肯定是幾個(gè)整式的乘積的形式。

(3).要分解到不能分解為止。

3、因式分解的'方法

提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x(2x—2y—1)公因式的概念;公因式的求法

公式法：平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)

2

4、強(qiáng)化訓(xùn)練

教學(xué)引入

師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個(gè)長(zhǎng)方形折疊就可以得到一個(gè)

正方形?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出一個(gè)長(zhǎng)方形紙條，按動(dòng)畫所示進(jìn)行折疊處理。

動(dòng)畫演示：

場(chǎng)景一：正方形折疊演示

師：這就是我們得到的正方形。下面請(qǐng)同學(xué)們拿出三角板（刻度尺）和圓規(guī)，我們來探討正

方形的幾何性質(zhì)一邊、角以及對(duì)角線之間的關(guān)系。請(qǐng)大家測(cè)量各邊的長(zhǎng)度、各角的大小、對(duì)角

線的長(zhǎng)度以及對(duì)角線交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的長(zhǎng)度。

［學(xué)生活動(dòng):各自測(cè)量。］

激勵(lì)學(xué)生將測(cè)量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點(diǎn)。

講授新課

找一兩個(gè)學(xué)生表述其結(jié)論，表述是要留意訂正其語(yǔ)言的規(guī)范性。

動(dòng)畫演示：

場(chǎng)景二：正方形的性質(zhì)

師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)？

［學(xué)生活動(dòng):找尋矩形性質(zhì)?！?/p>

動(dòng)畫演示：

場(chǎng)景三：矩形的性質(zhì)

師：同樣在這些性質(zhì)里找尋屬于菱形的性質(zhì)。

［學(xué)生活動(dòng);找尋菱形性質(zhì)。］

動(dòng)畫演示：

場(chǎng)景四：菱形的性質(zhì)

師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。

剛好提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思索。

師：依據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個(gè)定義？怎么樣給正方形下一個(gè)精確的定義?

［學(xué)生活動(dòng):主動(dòng)思索，有同學(xué)做躍躍欲試狀。］

師請(qǐng)同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以依據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應(yīng)激勵(lì)，把以下三種板書：

”有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

"有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形?！?/p>

"有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的切亍四邊形叫做正方形。”

［學(xué)生活動(dòng):探討這三個(gè)定義正確不正確？三個(gè)定義之間有什么共同和不同的地方？這出教

材中采納的是第三種定義方式。］

師：依據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。

試一試把下列各式因式分解：

(1)。1—x2=(1+x)(1—x)(2)。4a2+4a+l=(2a+l)2

。

(3)04x2—8x=4x(x—2)(4)2x2y—6xy2=2xy(x—3y)

三、例題講解

例1、分解因式

(1)—x3y3+x2y+xy(2)6(x—2)+2x(2—x)

(3)(4)y2+y+

例2、分解因式

1、a3—ab2=2、(a—b)(x—y)—(b—a)(x+y)=3、(a+b)2+2(a+b)—15=

、一、

41—2a—a2=5xx2—6x+9—y26x2-4y2+x+2y=

例3、分解因式

1、73—2(13x—7)22、8a2b2—2a4b—8b3

四、學(xué)問應(yīng)用

1、(4x2—9y2)+(2x+3y)2、(a2b—ab2)-s-(b—a)

3、解方程：(1)x2=5x(2)(x—2)2=(2x+l)2

4、。若x=—3,求20x2—60x的值。5、1993-199能被200整除嗎？還能被哪些整數(shù)

整除？

五、拓展應(yīng)用

1。計(jì)算：7652x17—2352x17解：7652x17—2352x17=17(7652—2352)=17

(765+235)(765—235)

2、20042+20xx被20xx整除嗎？

3、若n是整數(shù)，證明(2n+1)2—(2n-l)2是8的倍數(shù)。

五、課堂小結(jié)

今日你對(duì)因式分解又有哪些新的相識(shí)？

因式分解教案3

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、學(xué)會(huì)用公式法因式法分解

2、綜合運(yùn)用提取公式法、公式法分解因式

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：

完全平方公式分解因式.

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用兩種公式法因式分解

自學(xué)過程削

完全平方公式：

完全平方公式的逆運(yùn)用：

做一?:

1.⑴16x2-8x+=(4x-l)2;

(2)+6x+9=(x+3)2;

(3)16x2++9y2=(4x+3y)2;

(4)(a-b)2-2(a-b)+l=(-1)2.

2.在代靦Q)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+l;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，可用完全

平方公式因式分解的是_______(填序號(hào))

3.下列因式分解正確的是()

A.x2+y2=(x+y)2B.x2-xy+x2=(x-y)2

C.l+4x-4x2=(l-2x)2D.4-4x+x2=(x-2)2

4.分解因式:(l)x2-22x+121(2)-y2-14y-49(3)(a+b)2+2(a+b)+l

5.計(jì)算：20062-40102006+20052=.

6.若x+y=l,貝I」x2+xy+y2的值g___________.

想一想

你還有哪些地方不是很懂?請(qǐng)寫出來。

___________________________________________________________________________預(yù)

習(xí)展示一：

L判別下列各式是不是完全平方式.

2、把下列各式因式分解：

(l)-x2+4xy-4y2

(2)3ax2+6axy+3ay2

(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9

應(yīng)用探究：

1、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算

49.92+9.98+0.12

拓展提高：

(1)(a2+b2)(a2+b210)+25=0求a2+b2

(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0

求x、y關(guān)系

(3)分解因式：m4+4

教后反思考察利用公式法因式分解的題目不會(huì)很難，但顆要學(xué)生記住公式的'形式，之后

利用公式把式子進(jìn)行變形，從而達(dá)到進(jìn)行因式分解的目的，但是這里有用到實(shí)際中去的例子，對(duì)

學(xué)生來說會(huì)難一些。

因式分解教案4

學(xué)問點(diǎn)：

因式分解定義，提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法、二次三項(xiàng)式的因式(十字相乘法、

求根)、因式分解一般步驟。

教學(xué)目標(biāo)：

理解因式分解的概念，駕馭提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，駕馭利用

二次方程求根公式分解二次二項(xiàng)式的方法，能把簡(jiǎn)潔多項(xiàng)式分解因式。

考查重難點(diǎn)與常見題型：

考查因式分解實(shí)力在中考試題中因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點(diǎn)考查的分式提取公因式、

應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運(yùn)用。習(xí)題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。

教學(xué)過程：

因式分解學(xué)問點(diǎn)

多項(xiàng)式的因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都

不能再分解為止。分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多項(xiàng)式

其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式。

(2)運(yùn)用公式法，即用

寫出結(jié)果。

(3)十字相乘法

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為I的二次三項(xiàng)式找尋滿意ab=q,a+b=p的a,b,如有，則對(duì)于一般

的二次三項(xiàng)式找尋滿意

ala2=a,clc2=c,alc2+a2cl=b的al,a2,cl,c2,如有，則

(4)分組分解法：把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間

進(jìn)行。

分組時(shí)要用到添括號(hào)：括號(hào)前面是"+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；括號(hào)前面是

號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變更符號(hào)。

(5)求根公式法：假如有兩個(gè)根XI,X2,那么

2、教學(xué)實(shí)例：學(xué)案示例

3、課堂練習(xí)：學(xué)案作業(yè)

4、課堂：

5、板書：

6、課堂作業(yè)：學(xué)案作業(yè)

7、教學(xué)反思：

因式分解教案5

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、學(xué)會(huì)用平方差公式進(jìn)行因式法分解

2、學(xué)會(huì)因式分解的而基本步驟.

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：

用平方差公式進(jìn)行因式法分解.

難點(diǎn)：

因式分解化簡(jiǎn)的過程

自學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程設(shè)計(jì)

看一看

平方差公式：

平方差公式的逆運(yùn)用：

做TS：

1.填空題.

(l)25a2-=(5a+2b)(5a-2b);(2)x2-=(x-)().

(3)-a2+b2=(b+a)();(4)36x2-81y2=9()().

2把下列各式分解因式結(jié)果為-(x-2y)(x+2y)的多項(xiàng)式是()

A.x2-4yB.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2

3.多項(xiàng)式-l+0.04a2分解因式的結(jié)果是0

A.(-l+0.2a)2B.(l+0.2a)(l-0.2a)

C(0.2a+l)(0.2a-l)D.(0.04a+l)(0.04a-l)

4.把下列各式分解因式：

(1)4x2-25y2;(2)0.81m2-n2;

(3)a3-9a;(4)8x3y3-2xy.

5.把下列各式分解因式：

(l)(3a+2b)2-(a-b)2;(2)4(x+2y)2-25(x-y)2.

6.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：3492-2512.

想一想

你還有哪些地方不是很懂?請(qǐng)寫出來。

預(yù)習(xí)展示一：

1、下列多項(xiàng)式能否用平方差公式分解因式?

說說你的‘理由。

4x2+y2

4x2-(-y)2

-4x2-y2-4x2+y2

a2-4a2+3

2.把下列各式分解因式：

(l)16-a2

(2)0.01s2-t2

(4)-l+9x2

(5)(a-b)2-(c-b)2

(6)-(x+y)2+(x-2y)2

應(yīng)用探究：

1、分解因式

4x3y-9xy3

變式：把下列各式分解因式

①x4-81y4

②2a-8a

2、從前有一位張老漢向地主租了一塊"十字型"土地(尺寸如圖)。為便于種植，他想換一

塊相同面積的長(zhǎng)方形土地。同學(xué)們，你能幫助張老漢算出這塊長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)和寬嗎?w

3、在日常生活中如上網(wǎng)等都須要密碼.有一種因式分解法產(chǎn)生的密碼便利記憶又不易破譯.

例如用多項(xiàng)式x4-y4因式分解的結(jié)果來設(shè)置密碼，當(dāng)取x=9,y=9時(shí)，可得一個(gè)六位數(shù)的密碼

"018162".你想知道這是怎么來的嗎？

小明選用多項(xiàng)式4x3-xy2,取x=10,y=10時(shí)。用上述方法產(chǎn)生的密碼是什么?(寫出一個(gè)即

可)

拓展提高：

若n為整數(shù)，RiJ(2n+l)2-(2n-l)2能被8整除嗎?請(qǐng)說明理由.

教后反思索察利用公式法因式分解的題目不會(huì)很難，但是須要學(xué)生記住公式的形式，之后利

用公式把式子進(jìn)行變形，從而達(dá)到進(jìn)行因式分解的目的。

因式分解教案6

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系.

2.過程與方法

經(jīng)驗(yàn)從分解因數(shù)到分解因式的類比過程，駕馭因式分解的概念，感受因式分解在解決問題中

的作用.

3.情感、看法與價(jià)值觀

在探究因式分解的方法的活動(dòng)中，培育學(xué)生有條理的思索、表達(dá)與溝通的實(shí)力，培育主動(dòng)的

進(jìn)取意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)問的內(nèi)在含義與價(jià)值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：了解因式分解的意義，感受其作用.

2.難點(diǎn)：整式乘法與因式分解之間的關(guān)系.

3.關(guān)鍵：通過分解因數(shù)引入到分解因式，并進(jìn)行類比，加深理解.

教學(xué)方法

采納“激趣導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)方法.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入

請(qǐng)同學(xué)們探究下面的2個(gè)問題：

問題1:730能被哪些數(shù)整除?談?wù)勀愕南敕?

問題2:當(dāng)a=102,b=98時(shí)，求a2-b2的值.

二、豐富聯(lián)想，展示思維

探究：你會(huì)做下面的填空嗎？

1.ma+mb+mc=()();

2.X2-4=()();

3.x2-2xy+y2=()2.

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式.

三、小組活動(dòng)，共同探究

(1)下列各式從左到右的變形是否為因式分解：

①(x+l)(x-1)=x2-1;

②a2-l+b2=(a+1)(a-1)+b2;

③7x-7=7(x-l).

(2)在下列括號(hào)里,填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使等式成立.

①9x2()+y2=(3x+y)();

②x2-4xy+()=(x-)2.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本練習(xí).

計(jì)算：993-99能被100整除嗎？

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

由學(xué)生自己進(jìn)行小結(jié)，老師提出如下綱目：

1.什么叫因式分解？

2.因式分解與整式運(yùn)算有何區(qū)分？

六、布置作業(yè)，專題突破

選用補(bǔ)充作業(yè).

板書設(shè)計(jì)

15.4.1因式分解

1、因式分解例：

練習(xí)：

15.4.2提公因式法

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，會(huì)用提公因式法把多項(xiàng)式分解因式.

2.過程與方法

使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)探究多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的過程，依據(jù)數(shù)學(xué)化歸思想方法進(jìn)行因式分解.

3.情感、看法與價(jià)值觀

培育學(xué)生分析、類比以及化歸的思想，增進(jìn)學(xué)生的合作溝通意識(shí)，主動(dòng)主動(dòng)地積累確定公因

式的初步閱歷,體會(huì)其應(yīng)用價(jià)值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：駕馭用提公因式法把多項(xiàng)式分解因式.

2.難點(diǎn)：正確地確定多項(xiàng)式的最大公因式.

3.關(guān)鍵：提公因式法關(guān)鍵是如何找公因式.方法是：一看系數(shù)、二看字母.公因式的系數(shù)

取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)相同的字母，并且各字母的指數(shù)取最低次帚.

教學(xué)方法

采納"啟發(fā)式"教學(xué)方法.

教學(xué)過程

一、回顧溝通，導(dǎo)入新知

下列從左到右的變形是否是因式分解，為什么？

(1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+l=(2t3-3t2+t);

(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;

(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.

問題：

1.多項(xiàng)式mn+mb中各項(xiàng)含有相同因式嗎？

2.多項(xiàng)式4x2-x和xy2-yz-y呢?

請(qǐng)將上述多項(xiàng)式分別寫成兩個(gè)因式的乘積的形式，并說明理由.

我們把多項(xiàng)式中各項(xiàng)都有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，婦在mn+mb中的公因

式式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.

概念：假如一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式

化成兩個(gè)因式乘積形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

二、小組合作，探究方法

多項(xiàng)式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各項(xiàng)的公因式是什么？

提公因式的方法是先確定各項(xiàng)的公因式再將多項(xiàng)式除以這個(gè)公因式得到另一個(gè)因式，找公因

式一看系數(shù)、二看字母，公因式的系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)相同的字母，并

且各字母的指數(shù)取最彳氐次幕.

三、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)

把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.

解:-4x2yz-12xy2z+4xyz

="(4x2yz+12xy2z-4xyz)

=-4xyz(x+3y-1)

分解因式,3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

視察所給多項(xiàng)式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有兩種變形，(x-y)3=-

(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,從而得到下面兩種分解方法.

解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2

="[(y-x)23a2(y-x)+4b2(y-x)2]

=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]

=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)

解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=(x-y)23a2(x-y)-4b2(x-y)2

=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]

=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)

用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算：0.84x12+12x0.6-0.44x12.

引導(dǎo)學(xué)生視察并分析怎樣計(jì)算更為簡(jiǎn)便.

解:0.84x12+12x0.6-0.44x12

=12x(0.84+0.6-0.44)

=12x1=12.

在學(xué)生完全例3之后，指出例3是因式分解在計(jì)算中的應(yīng)用，提出比較例1，例2,例3的

公因式有什么不同？

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P167練習(xí)第1、2、3題.

利用提公因式法計(jì)算：

0.582x8.69+1.236x8.69+2.478x8.69+5.704x8.69

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.利用提公因式法因式分解，關(guān)鍵是找準(zhǔn)最大公因式.在找最大公因式時(shí)應(yīng)留意：（1）

系數(shù)要找最大公約數(shù)；（2）字母要找各項(xiàng)都有的；（3）指數(shù)要找最低次鬲.

2.因式分解應(yīng)留意分解徹底，也就是說，分解到不能再分解為止.

六、布置作業(yè)，專題突破

課本P170習(xí)題15.4第1、4（1）、6題.

板書設(shè)計(jì)

15.4.2提公因式法

1、提公因式法例：

練習(xí)：

15.4.3公式法（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

會(huì)應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解，發(fā)展學(xué)生推理實(shí)力.

2.過程與方法

經(jīng)驗(yàn)探究利用平方差公式進(jìn)行因式分解的過程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數(shù)學(xué)學(xué)問的完整

性.

3.情感、看法與價(jià)值觀

培育學(xué)生良好的互動(dòng)溝通的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：利用平方差公式分解因式.

2.難點(diǎn)：領(lǐng)悟因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性.

3.關(guān)鍵：應(yīng)用逆向思維的方向,演繹出平方差公式，對(duì)公式的應(yīng)用首先要留意其特征,其

次要做好式的變形，把問題轉(zhuǎn)化成能夠應(yīng)用公式的方面上來.

教學(xué)方法

采納"問題解決"的教學(xué)方法，讓學(xué)生在問題的牽引下，推動(dòng)自己的思維.

教學(xué)過程

一、視察探討，體驗(yàn)新知

請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下列各式.

(1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n).

動(dòng)筆計(jì)算出上面的兩道題，并蛹躍上臺(tái)板演.

(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;

(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.

引導(dǎo)學(xué)生完成下面的兩道題目，并運(yùn)用數(shù)學(xué)"互逆"的思想，找尋因式分解的規(guī)律.

1.分解因式:a2-25;2.分解因式16m2-9n.

從逆向思維入手，很快得到下面答案：

(l)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).

(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).

引導(dǎo)學(xué)生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同時(shí)，導(dǎo)出課題：用平方差公式因式分解.

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

評(píng)析：平方差公式中的字母a、b,教學(xué)中還要強(qiáng)調(diào)一下，可以表示數(shù)、含字母的代數(shù)式(單

項(xiàng)式、多項(xiàng)式).

二、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)

把下列各式分解因式：(投影顯示或板書)

(1)x2-9y2;(2)16x4-y4;

(3)12a2x2-27b2y2;(4)(x+2y)2-(x-3y)2;

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).

在視察中發(fā)覺1~5題均滿意平方差公式的特征，可以運(yùn)用平方差公式因式分解.

啟發(fā)學(xué)生從平方差公式的角度進(jìn)行因式分解，請(qǐng)5位學(xué)生上講臺(tái)板演.

分四人小組，合作探究.

解：(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);

(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);

(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);

(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)]=5y(2x

-y)；

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)

=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).

三、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P168練習(xí)第1、2題.

1.求證：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，n3-n的值肯定是6的倍數(shù).

2.試證兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差能被一個(gè)奇數(shù)整除.連續(xù)偶數(shù)的平方差能被一個(gè)奇數(shù)整除.

四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

運(yùn)用平方差公式因式分解，首先應(yīng)留意每個(gè)公式的特征.分析多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)，然后再

確定公式.假如多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，通?？紤]應(yīng)用平方差公式；假如多項(xiàng)式中有公因式可提，應(yīng)先

提取公因式，而且還要"提"彳導(dǎo)徹底，最終應(yīng)留意兩點(diǎn):一是每個(gè)因式要化簡(jiǎn)，二是分解因式時(shí)，

每個(gè)因式都要分解徹底.

五、布置作業(yè)，專題突破

課本P171習(xí)題15.4第2、4(2)、11題.

板書設(shè)計(jì)

15.4.3公式法(一)

1、平方差公式：例：

a2-b2=(a+b)(a-b)練習(xí)：

15.4.3公式法(二)

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

領(lǐng)悟運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解的方法，發(fā)展推理實(shí)力.

2.過程與方法

經(jīng)驗(yàn)探究利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過程，感受逆向思維的意義，駕馭因式分解的基

本步驟.

3.情感、看法與價(jià)值觀

培育良好的推理實(shí)力，體會(huì)"化歸"與"換元"的思想方法，形成敏捷的應(yīng)用實(shí)力.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解完全平方公式因式分解，并學(xué)會(huì)應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：敏捷地應(yīng)用公式法進(jìn)行因式分解.

3.關(guān)鍵：應(yīng)用"化歸"、"換元"的思想方法，把問題進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)化，達(dá)到能應(yīng)用公

式法分解因式的目的.

教學(xué)方法

采納“自主探究”教學(xué)方法，在老師適當(dāng)指導(dǎo)下完成本節(jié)課內(nèi)容.

教學(xué)過程

一、回顧溝通，導(dǎo)入新知

1.分解因式：

(1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;

(3)x2-0.01y2.

因式分解教案7

一、運(yùn)用平方差公式分解因式

教學(xué)目標(biāo)L使學(xué)生了解運(yùn)用公式來分解因式的意義。

2、使學(xué)生理解平方差公式的意義，弄清平方差公式的形式和特點(diǎn);使學(xué)生知道把乘法公式反

過來就可以得到相應(yīng)的因式分解。

3、駕馭運(yùn)用平方差公式分解因式的方法，能正確運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式分解因式(干脆用

公式不超過兩次)

重點(diǎn)運(yùn)用平方差公式分解因式

難點(diǎn)敏捷運(yùn)用平方差公式分解因式

教學(xué)方法對(duì)比發(fā)覺法課型新授課教具投影儀

老師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)

情景設(shè)置：

同學(xué)們，你能很快知道992-1是100的'倍數(shù)嗎?你是怎么想出來的？

(學(xué)生或許還有其他不同的解決方法，老師要賜予充分的確定)

新課講解：

從上面992-1=(99+1)(99-1),我們簡(jiǎn)單看出，這種方法利用了我們剛學(xué)過的哪一個(gè)乘法公

式?

首先我們來做下面兩題：(投影)

1.計(jì)算下列各式：

(l)(a+2)(a-2)=;

(2)(a+b)(a-b)=;

(3)(3a+2b)(3a-2b)=.

2.下面請(qǐng)你依據(jù)上面的算式填空：

(l)a2-4=;

(2)a2-b2=;

(3)9a2-4b2=;

清同學(xué)們對(duì)比以上兩題，你發(fā)覺什么呢？

事實(shí)上，像上面第2題那樣，把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。

(投影)

比如:a2-16=a2-42=(a+4)(a-4)

例題1:把下列各式分解因式;(投影)

(l)36-25x2;(2)16a2-9b2;

(3)9(a+b)2-4(a-b)2.

(讓學(xué)生弄清平方差公式的形式和特點(diǎn)并會(huì)運(yùn)用)

例題2:如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積

練習(xí)：第87頁(yè)練一練第1、2、3題

小結(jié)：

這節(jié)課你學(xué)到了什么學(xué)問，駕馭什么方法?

教學(xué)素材:

A組題：

1.填空:81x2-=(9x+y)(9x-y);=

利用因式分解計(jì)算：二。

2、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是()(A)(B)(C)(D)3.把下列各式分解因式

(I)l-16a2(2)9a2x2-b2y2

(3).49(a-b)2-16(a+b)2

B瓶:

1分解因式81a4-b4=

2若a+b=l,a2+b2=l,則ab=;

3若26+28+2n是一個(gè)完全平方數(shù)，則n=.

由學(xué)生自己先做(或相互探討)，然后回答，若有答不全的,老師(或其他學(xué)生)補(bǔ)充.

學(xué)生回答1:

992-1=99x99-1=9801-1

=9800

學(xué)生回答2:992-1就是(99+1)(99-1)即100x98

學(xué)生回答:平方差公式

學(xué)生回答：

(l):a2-4

⑵:a2-b2

(3):9a2-4b2

學(xué)生輕松口答

(a+2)(a-2)

(a+b)(a-b)

(3a+2b)(3a-2b)

學(xué)生回答：

把乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

反過來就得到

a2-b2=(a+b)(a-b)

學(xué)生上臺(tái)板演：

36-25x2=62-(5x)2

=(6+5x)(6-5x)

16a2-9b2=(4a)2-(3b)2

=(4a+3b)(4a-3b)

9(a+b)2-4(a-b)2

=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2

=[3(a+b)+2(a-b)]

[3(a+b)-2(a-b)]

=(5a+b)(a+5b)

解:352n-152n

=n(352-152)

=(35+15)(35-15)n

=50x20n

=1000n(m2)

這個(gè)綠化區(qū)的面積是

1000nm2

學(xué)生歸納總結(jié)

因式分解教案8

教學(xué)目標(biāo)

1、會(huì)運(yùn)用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式除法。

2、會(huì)運(yùn)用因式分解解簡(jiǎn)潔的方程。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)

因式分解在多項(xiàng)式除法和解方程兩方面的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：

應(yīng)用因式分解解方程涉及較多的推理過程。

三、教學(xué)過程

(一)引入新課

1、學(xué)問回顧(1)因式分解的幾種方法：①提取公因式法：ma+mb=m(a+b)②

應(yīng)用平方差公式：=(a+b)(a—b)③應(yīng)用完全平方公式：a2ab-b=(ab)(2)課

前熱身：①分解因式：(x+4)y—16xy

(二)師生互動(dòng)，講授新課

1、運(yùn)用因式分解進(jìn)行多項(xiàng)式除法例1計(jì)算：(1)(2ab-8ab)(4a-b)(2)(4x

—9)(3—2x)解：(1)(2ab—8ab)(4a—b)=—2ab(4a—b)(4a—b)=—2ab

(2)(4x—9)(3—2x)=(2x+3)(2x—3)[—(2x—3)]=—(2x+3)=—2x—3

一個(gè)小問題：這里的X能等于3/2嗎？為什么？

想T?:那么(4x—9)(3-2x)呢？練習(xí)：課本P162課內(nèi)練習(xí)

合作學(xué)習(xí)

想一想：假如已知()()=0,那么這兩個(gè)括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入怎樣的數(shù)或代數(shù)式子才能夠

滿意條件呢？(讓學(xué)生自己思索、相互之間探討！)事實(shí)上，若AB=0，則有下面的結(jié)論:(1)

A和B同時(shí)都為零，即A=0,且B=0(2)A和B中有T為零,即A=0,或B=0

試一試：你能運(yùn)用上面的結(jié)論解方程(2x+l)(3x-2)=0嗎？3、運(yùn)用因式分解解簡(jiǎn)

潔的方程例2解下列方程：(1)2x+x=0(2)(2x—1)=(x+2)解：x(x+1)=0解：

(2x—1)—(x+2)=0則x=0,或2x+l=0(3x+l)(x—3)=0原方程的根是xl=0,

x2=則3x+l=0,或x—3=0原方程的根是xl=,x2=3注：只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也

叫做根，當(dāng)方程的根多于一個(gè)時(shí)，常用帶足標(biāo)的字母表示，比如：xl,x2

等練習(xí)：課本P162課內(nèi)練習(xí)2

做一做!對(duì)于方程：x+2=(x+2)，你是如何解該方程的，方程左右兩邊能同時(shí)除以(x+2)

嗎？為什么？

老師總結(jié)：運(yùn)用因式分解解方程的基本步驟(1)假如方程的右邊是零,那么把左邊分解因

式，轉(zhuǎn)化為解若干個(gè)一^一次方程；(2)假如方程的'兩邊都不是零，為陷應(yīng)當(dāng)先移項(xiàng)，把方程

的右邊化為零以后再進(jìn)行解方程；遇到方程兩邊有公因式，同樣須要先進(jìn)行移項(xiàng)使右邊化為零,

切忌兩邊同時(shí)除以公因式！4、學(xué)問延長(zhǎng)解方程：(x+4)-16x=0解：將原方程左邊分解因

式，得(x+4)—(4x)=0(x+4+4x)(x+4—4x)=0(x+4x+4)(x—4x+4)=0(x+2)

(x—2)=0接著接著解方程，5、練一練①已知a、b、c為三角形的三邊，試推斷a—2ab+b

—c大于零?小于零?等于零？解：a—2ab+b—c=(a—b)—c=(a—b+c)(a—b—c)

‘「a、b、(:為三角形的35a+c>ba<b+ca—b+c>0a—b—c<0即(a—b+cIa—b—c)

<0,因此a—2ab+b—c小于零。6、挑戰(zhàn)極限①已知：x=20xx,求|4x—4x+3|-4|

x+2x+2|+13x+6的值。解：/4x—4x+3=(4x-4x+l)+2=(2x—1)+2Ox+2x+2

=(x+2x+l)+1=(x+1)+10|4x—4x+3|-4|x+2x+2|+13x+6=4x—4x+3―4

(x+2x+2)+13x+6=4x—4x+3—4x—8x—8+13x+6=x+1即：原式二

x+l=20xx+l=20xx

(三)梳理學(xué)問，總結(jié)收獲因式分解的兩種應(yīng)用：

(1)運(yùn)用因式分解進(jìn)行多項(xiàng)式除法

(2)運(yùn)用因式分解解簡(jiǎn)潔的方程

(四)布置課后作業(yè)

作業(yè)本6、42、課本P163作業(yè)題(選做)

因式分解教案9

第十五章整式的乘除與因式分解

依據(jù)定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、ab-3.12r2,x2+2x+18都是多項(xiàng)式.清

分別指出它們的項(xiàng)和次數(shù).

15.1.2整式的加減

(3)x-(l-2x+x2)+(-1-x2)(4)(8x-3x2)-5x-2(3x-2x2)

四、提高練習(xí)：

1、已知A=a2+b2?c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=O,問C是什么樣的.

多項(xiàng)式？

2、設(shè)A=2x2-3x+2-x+2,B=4x2-6x+22-3x-,若|x-2a|+(+3)2=0,且

B-2A;a,求A的值。

3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上(0為數(shù)軸原點(diǎn))的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖：

試化簡(jiǎn)：|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|

小結(jié)：要擅長(zhǎng)在圖形改變中發(fā)覺規(guī)律，能嫻熟的對(duì)整式加減進(jìn)行運(yùn)算。

作業(yè)：課本P14習(xí)題1.3:1（2）、（3）、（6）,2。

《課堂感悟與探究》

因式分解教案10

整式乘除與因式分解

一.回顧學(xué)問點(diǎn)

1、主要學(xué)問回顧：

鬲的運(yùn)算性質(zhì)：

（為數(shù)）

aman=am+nmsnIEgg

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（為正整數(shù)）

=amnmxn

帚的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（n為正整數(shù)）

積的乘方等于各因式乘方的積.

=am-n（a^0,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

零指數(shù)幕的概念：

a0=l（a#0）

任何［一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于I.

負(fù)指數(shù)事的概念：

a-p=（a/0,p是正整數(shù)）

任I可一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p是正整數(shù)）指數(shù)基,等于這個(gè)數(shù)的P指數(shù)幕的倒數(shù).

也可表示為：（m^O,n=0,p為正整數(shù)）

單項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)寨分別相乘，作為積的因式;對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的

積相加.

單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積

的2倍.

3、因式分解：

因式分解的定義.

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

駕馭其定義應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：

(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必需是積的形式，且積的因式必需是整式，這三個(gè)要素缺

一不行；

(2)因式分解必需是恒等變形；

(3)因式分解必需分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為

和差的形式.

二、嫻熟駕馭因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)駕馭提公因式法的概念；

(2)提公因式法的'關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般狀況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系

數(shù)的最大公約數(shù);②字母一各項(xiàng)含有的相同字母;③指數(shù)一相同字母的最彳氐次數(shù)；

(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;其次步是提取公因式并確定另一因式.需留意的

是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

(4)留意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)當(dāng)是最簡(jiǎn)形式，即分解到"底"；②假如多項(xiàng)式的第一

項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

2、公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來運(yùn)用;

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

因式分解教案11

學(xué)習(xí)目標(biāo)：經(jīng)驗(yàn)探究同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過程，能用代數(shù)式和文字正確地表述，并會(huì)

嫻熟地進(jìn)行計(jì)算。通過由特別到一般的猜想與說理、驗(yàn)證，發(fā)展推理實(shí)力和有條理的.表達(dá)實(shí)力.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：同底數(shù)幕乘法運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用.

學(xué)習(xí)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課

復(fù)習(xí)乘方an的意義：an表示個(gè)相乘，即an=.

乘方的結(jié)果叫a叫做，n是

問題：一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行1012次運(yùn)算，它工作103秒可進(jìn)行多少次運(yùn)算？

歹斌為，你能利用乘方的意義進(jìn)行計(jì)算嗎？

二、探究新知：

探一探：

1依據(jù)乘方的意義填空

Q)23x24=(2x2x2)x(2x2x2x2)=2();

(2)55x54==50；

⑶(-3)3x(_3)2二=(-3)();

(4)a6a7==a().

(5)5m5n

猜一猜：aman=(m、n都是正整數(shù))你能證明你的猜想嗎？

說一說：你能用語(yǔ)言敘述同底數(shù)幕的乘法法則嗎？

同理可得：aman叩二(m、n、p都是正整數(shù))

三、范例學(xué)習(xí)：

計(jì)算:(1)103xl04;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+l(5)xx2+x2x

1.填空:(1)10x109=;(2)b2xb5=;(3)X4X=;(4)X3X3=.

2.計(jì)算：

(I)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.

:把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.

(l)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)

(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+l

四、學(xué)以致用：

1.計(jì)算:(i)10nl0m+l=(2)x7x5=(3)mm7m9=

(4)-4444=(5)22n22n+l=(6)y5y2y4y=

2.推斷題：推斷下列計(jì)算是否正確?并說明理由

(i)a2a3=a60；(2)a2a3=a5();(3)a2+a3=a5();

(4)aa7=a0+7=a7();(5)a5a5=2al00;(6)25x32=67(),

3.計(jì)算：

(I)xx2+x2x(2)x2xn+l+xn-2x4-xn-lx4

(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2

(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2

4.解答題:

Q)已知xm+nxm-n=x9,求m的值.

(2)據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，每個(gè)人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有

3.34x1019個(gè)水分子，那么，每個(gè)人每年要用去多少個(gè)水分子？

因式分解教案12

15.1.1整式

教學(xué)目標(biāo)

1.單項(xiàng)式、單項(xiàng)式的定義.

2.多項(xiàng)式、多項(xiàng)式的次數(shù).

3、理解整式概念.

教學(xué)重點(diǎn)

單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念.

教學(xué)難點(diǎn)

單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念.

教學(xué)過程

I,提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

在七年級(jí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù)，思索下列問題

I.要表示^ABC的周長(zhǎng)須要什么條件?要表示它的面積呢？

2.小王用七小時(shí)行駛了Skm的路程，請(qǐng)問他的平均速度是多少？

結(jié)論：

1、要表示AABC的周長(zhǎng)，須要知道它的各邊邊長(zhǎng).要表示&ABC的面積須要知道一條邊長(zhǎng)

和這條邊上的高.假如設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.AB邊上的高為h,那么SBC的周長(zhǎng)可以表

示為a+b+c;MBC的面積可以表示為？c?h.

2.小王的平均速度是.

問題：這些式子有什么特征呢？

(1)有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母.

(2)數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運(yùn)算符號(hào)連接.

歸納：用基本的運(yùn)算符號(hào)(運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連

接起來的式子叫做代數(shù)式.

推斷上面得到的三個(gè)式子：a+b+c、ch、是不是代數(shù)式？(是)

代數(shù)式可以簡(jiǎn)明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系.今日我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)的整式.

n.明確和鞏固整式有關(guān)概念

(出示投影)

結(jié)論：(1)正方形的周長(zhǎng)：4x.

(2)汽車走過的路程：vt.

(3)正方體有六個(gè)面,每個(gè)面都是正方形，這六個(gè)正方形全等，所以它的表面積為6a2;

正方體的體積為長(zhǎng)X寬X高，即a3.

(4)n的相反數(shù)是-n.

分析這四個(gè)數(shù)的特征.

它們符合代數(shù)式的‘定義.這五個(gè)式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中

還有和與商的運(yùn)算符號(hào)還可以發(fā)覺這五個(gè)代數(shù)式中字母指數(shù)各不相同，字母的個(gè)數(shù)也不盡相同.

請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P160~P161單項(xiàng)式有關(guān)概念.

依據(jù)這些定義推斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式？

是單項(xiàng)式的，寫出它的系數(shù)和次數(shù).

結(jié)論：4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項(xiàng)式.它們的系數(shù)分別是4、1、6、1、-1、.它

們的次數(shù)分別是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次單項(xiàng)式；vt、6a2、ch都是二次單

項(xiàng)式；a3是三次單項(xiàng)式.

問題:vt中v和t的指數(shù)都是1,它不是一次單項(xiàng)式嗎？

結(jié)論:不是.依據(jù)定義，單項(xiàng)式vt中含有兩個(gè)字母，所以它的次數(shù)應(yīng)當(dāng)是這兩個(gè)字母的指數(shù)

的和，而不是單個(gè)字母的指數(shù)，所以vt是二次單項(xiàng)式而不是一次單項(xiàng)式.

生活中不僅僅有單項(xiàng)式，像a+b+c,它不是單項(xiàng)式，和單項(xiàng)式有什么聯(lián)系呢？

寫出下列式子(出示投影)

結(jié)論:(1)t-5.(2)3x+5y+2z.

(3)三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積,即ab-3.12r2.

(4)建筑面積等于四個(gè)矩形的面積之和.而右邊兩個(gè)已知矩形面積分別為3x2、4x3,所

以它們的面積和是18.于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18.

我們可以視察下列代數(shù)式：

a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18.發(fā)覺它們都是由單項(xiàng)式的和組成的

式子.是多個(gè)單項(xiàng)式的和，能不能叫多項(xiàng)式?

這樣推理合情合理.請(qǐng)看投影，熟識(shí)下列概念.

依據(jù)定義，我們不難得出a+b+ct-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2xx2+2x+18都是多項(xiàng)式請(qǐng)

分別指出它們的項(xiàng)和次數(shù).

a+b+c的項(xiàng)分另！J是a、b、c.

t-5的項(xiàng)分別是t、?5,其中-5是常數(shù)項(xiàng).

3x+5y+2z的項(xiàng)分另U是3x、5y、2z.

ab-3.12r2的項(xiàng)分別是ab.-3.12r2.

x2+2x+18的項(xiàng)分別是x2、2x、18.找多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條，一是找準(zhǔn)每個(gè)項(xiàng)的次

數(shù)，二是取每個(gè)項(xiàng)次數(shù)的最大值.依據(jù)這兩條很簡(jiǎn)單得到這五個(gè)多項(xiàng)式中前三個(gè)是一次多項(xiàng)式,

后兩個(gè)是二次多項(xiàng)式.

這節(jié)課，通過探究我們得到單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的有關(guān)概念，它們可以反映改變的世