2023年新高考數(shù)學大一輪復習專題29 空間點、直線、平面之間的位置關系（解析版）

專題29空間點、直線、平面之間的位置關系

【考點預測】

知識點一.四個公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

：3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

C2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

B）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識點二.直線與直線的位置關系

位置關系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7Z—/W

符號a[}b=Pa//bafla=A^ua,A任。

公共點個數(shù)1°0

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平兩條異面直線不同在如

面何一個平面內(nèi)

知識點三.直線與平面的位置關系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

/VZ/

符號1uaHa=P1//a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

知識點四.平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況.

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形\\a

k__Z

1

b___/一/___/

符號a//pa[p=laLp,

a^p=l

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且無數(shù)個公共點且

都在唯一的一條直線都在唯一的一條直線

上上

知識點五.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【題型歸納目錄】

題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”

題型二：截面問題

題型三：異面直線的判定

題型四：平面的基本性質(zhì)

題型五：等角定理

【典例例題】

題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”

例1.（2022?上海?高三專題練習）如圖，在正方體ABCO-AIBIGU中，”為棱DiG的中點.設AM與

平面的交點為O,則（）

A.三點Di,O,B共線，且08=20。]

B.三點、Di,O,B不共線，且05=20。

C.三點Oi,0,5共線，且O8=OOi

D.三點O,B不共線，且OB=ODi

【答案】A

【解析】在正方體A3CG-Ai8CQi中,連接A￡>i,BCi,如圖,

QDJ/CD//AB,連8D1,平面ABCRc平面BBRD=BR,

因M為棱OQ的中點，則Me平面48CQ,而Aw平面4BCQ,即AWu平面4BCQ,又。則

0￡平面人8。1〃，

因4M與平面834。的交點為。，則平面8BQQ,于是得OwBD「即彷，O,B三點共線，

顯然DiM〃48且AM=；AG=；AB,于是得0。1=/BO,BPOB=2OD]t

所以三點。，0,8共線，KOB=2OD\.

故選：A

例2.12022?上海?高三專題練習）如圖4BCD-ABCa是長方體，。是8Q的中點，直線％。交平面A8Q

于點M，則下列結(jié)論母氓的是（）

B

A.A,M,。三點共線

B.M,O,A，A四點共面

C.B,0,M四點共面

D.A,0,C,M四點共面

【答案】C

【解析】解：連接AG*。，則

???A,CCA四點共面,

ACu平面ACC4，

.MeAC,.?.用w平面ACGA，

Me平面A%A,

點M在平面ACCA與平面ABR的交線上，

同理點O在平面AC￡A與平面44。的交線上，

「?AM,。三點共線,故A正確;

三點共線，且直線與直線外一點可確定一個平面，

.?.4,M,O，A四點共面，AM,C。四點共面，故B,D正確；

881平面43a,QMu平面ABQ,w平面4耳。且與iOM,

二明和OM是異面直線，

.?.B，4,O,M四點不共面,故C錯誤.

故選：C

例3.（2022?寧夏?固原一中一模（文））在正方體A88-A4CQ中，。是08的中點，直線A。交平面

GBD于點M,則下列結(jié)論正確的是（）

①G、M、。三點共線;

②C1、M、O、C四點共面；

③G、。、4、〃四點共面；

④。1、。、。、河四點共面.

A.①②B.①②③?C.①?③D.@@?

【答案】A

【解析】解：:OwAC,ACu平面ACGA，平面ACGA.

?：OeBD,B￡）u平面C]BD,??.Ow平面C]BD,

?,?0是平面ACGA和平面C.BD的公共點；

同理可得，點M和G都是平面ACGA和平面C{BD的公共點，

，三點C，M,。在平面。出。與平面ACGA的交線上，

即G，M,。三點共線.故①正確.

VAAy//BBi,BBJICC],：.WCC\,A4,CG確定一個平面，

又McA。，47u平面ACGA，平面ACG4，故②正確.

根據(jù)異面直線的判定定理可得Bq與C。為異面直線，故G、0、用、5四點不共面，故③不正確.

根據(jù)異面直線的判定定理可得與異面直線，故A、O、0、M四點不共面，故④不正確.

故選：A.

例4.（2022?上海?模擬預測）已知長方體A88-A禺GA中，對角線A6與平面4雙）交于點O,則O

為的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】解：如圖，平面ACGA與平面人]。的交線為4聲，顯然點E是3。的中點，且點。在AE上，故

點。在5D的中線上，

同理可得點。在A。，48的中線上，

即點。是薛4/力三邊中線的交點，即為＞4/。的重心.

故選：C.

例5.（2022?全國?高三專題練習（理））如圖，在長方體八BCDA5GA中，E,尸分別為GA，B￡I的

中點，0,M分別為切〉E尸的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.四點8,D,E,尸在同一平面內(nèi)

B.三條直線3尸，DE,CC有公共點

c.直線AC與直線。尸不是異面直線

D.直線AC上存在點N使M,N,。三點共線

【答案】C

【解析】

利用兩條平行線確定一個平面可判斷A；利用點共線公理可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可判斷C；連接OM

可判斷D.

【詳解】

作出圖象，如圖：

對于A,連接BQ,則4。//8。，BQJ/EF,所以BD//EF,

所以四點8,D,E,尸在同一平面內(nèi)，故A正確；

對于B,延長3￡。后，則相交于點兒

又5尸u平面BCC4，OEu平面。AGC,

則Pe平面3CGq,Pt平面。RG。，

且平面BCCEn平面。z）cc=CG，

所以PuCG，即三條直線M,DE,CG有公共點，故B正確；

對于c,直線AC為正方體的體對角線，所以直線AC與直線8

不可能在同一平面內(nèi)，所以直線A。與直線8是異面直線，故C錯誤；

對于D,4。，。，￡均在平面MGC內(nèi)，連接OM,則OM與AC相交，

所以直線4。上存在點N使M,N,。三點共線，故D正確；

故選：C

例6.（2022?上海?高三專題練習）在空間四邊形A8CO各邊45,BCCQ,D4上分別取EEG,“四點，如果

ERGH能相交于點P,那么（）

A.點尸必在直線AC上B.點P必在直線8。上

C.點尸必在平面08c內(nèi)D.點尸必在平面ABC外

【答案】A

【解析】如圖所示，

因為E尸屬于一個面ABC,而G”屬于另一個面ADC,且所、G”相交于點P,

所以點P在兩面的交線上，

又4C是兩平面的交線，

所以點尸必在線4C上.

故選：A.

例7.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在長方體ABCO-ASG。中，E,尸分別是4G和的中點.證

明：E,F,D,8四點共面.

連接上戶，BD,BQ、.

???￡尸是△4G。的中位線,

：.EF//B,D{.

???B耳與?！ㄆ叫星蚁嗟?，

，四邊形BQR片是平行四邊形,

:.BD〃BQ、,

/.EF//BD,

???E,F,D,B四點共面.

例8.（2022?全國?模擬預測（理））圖1是由矩形A8GQRtAWE和菱形A8CO組成的一個平面圖形,

其中43=2,AE=AF=lf"AD=6O°.將該圖形沿A3,AO折起使得AE與質(zhì)重合，連接CG,如圖2.

證明：圖2中C,D,E,G四點共面：

【解析】證明：???四邊形4BCF和A8CD分別是矩形和菱形，

:?ABUGE,AB//CD,

：.GE//CD,

AC,D,E,G四點共面.

例9.（2022?湖北省仙桃中學模擬預測）如圖，等腰梯形ABCD中AD//BC,BE±A￡>,fiC=BE=4,DE=8,

沿施將AABE折起至與平面8CQE成直二面角得到一四棱錐，M為AE中點，過C、D、M作平面。.

請畫出平面aw截四棱錐A-BCQE的截面，寫出作法，并求其周長;

【解析】

以上為原點，仍為x軸，石。為y軸，E4為z軸，建立空間坐標系如上圖,

平面。與線段人8的交點為凡

則有:A(0,0,4),8(4,0,0),￡>(0,8,0),C(4,4,0),“(0,0,2),F(x,0,z),

設AF=/M8，則向量與向量CQ,共面，

CD=(-4,4,0),DM=(0,-8,2),FA/=(-x,0,2-z),

設FM=mCD+nDM=(-4w,4/w-8z?,2n)=(T,0,2-z)(/〃,neR)

x=4m,

得:<4/72-8/2=0…①,

2n=2-z

又A/=(x,0,z-4),4/=/lA8=(440,-U),「.x=4Zz—4=Y4,

x=-(z-4),x+z=4...@,

84

x+4z=8=即

由①②得3-3-

x+z=4

〃點在靠近B點的三分點處；

1rcli泊'd+圖=半，回|=4）+0、（2司空，

|DM|=722+82=2X/17,\CD\=742+42+02=4^,

四邊形COM尸的周長為生叵+處+4及；

33

例10.（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預測（理））四棱錐P—ABCO中，平面PC7XL平面ABCQ,PD=PC,

NDPC=90,AD//BC,ABC=90,AD=AB=\,BC=2,“為PC的中點，PN=2ND.

B

證明：A,B,M,N四點共面；

【解析】證明：延長CD,8A交于點Q.

因為4。=58C且AD//BC,

所以3A=AQ,CD=DQ,

連接PQ,在△PQC中，D,M分別為C0,PC的中點，

故QM與P。的交點為△PQC的重心，設為G,所以尸G=2G￡j，

因為/W=2M5,所以點G與點N重合，

所以A,B,M,N四點都在平面Q8M中，

故A,B,M,N四點共面.

例11.(2022?四川眉山?三模(文))如圖，己知在三棱柱ABC-AgC中，AB=AC=6,AB1AC,F

是線段的中點，點O在線段AF上，AO=2夜.。是側(cè)棱CG中點，BDcCB..

(1)證明：OE平面AACC；

(2)凡E,G三點在同一條直線上嗎？說明理由，求行的值.

【解析】(1)連接80,并延長8。交AC于G,連接OG,

VAB=AC=6,A131AC,戶是線段8C的中點,

，4尸二3狡，又40=2夜，

，。是一A8C的重心，

二罷=2,又。是側(cè)棱CG中點,

C/G

RF

：.BB.=2CD,—=2,

1ED

OE!IGD,又OEu平面AA[C]C,GDu平面AAjCC，

JOE//平面A41cC；

(2)連接AC「則GO//AG，OEHAC、,

???A，G，O,E四點共面,又AOc8C=尸,

/.FeAO,尸￡平面4。］。后,

又FwBCBCu平面BB}C}C,

???尸e平面54GC,

又平面AC0Ec平面BB￡C=C,E,

???尸eC；E,即二點C；,E廠在?條直線上,

一EFFO\

所以成=市=耳

例12.（2022?全國?高三專題練習（文））如圖，在正方體八BCO-ABGR中，。為正方形ABCD的中心,

H為直線4。與平面ACR的交點.求證：D-H,。三點共線.

【解析】證明：如圖，連接8D,BR,

則班＞c4c=O,

因為BB'/DDi，BB】=DD],

所以四邊形8型1。為平行四邊形,

又HeB[D,qOu平面

則“e平面即。。，

因為平面4cAe平面BBRD=。力,

所以即A，H,。三點共線.

例13.（2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（文））如圖，在正四面體A-8C。中，點E,尸分別

是AB,的中點，點G,〃分別在CQ,40上，且0"=!同。，DG=\cD.

44

求證：直線E”，尸G必相交于一點，且這個交點在直線8。上；

【解析】因為。H=，4。，DG=-CD,所以G"=，AC,G〃//AC,又所二』AC,M//AC,所以

4442

GH、EF,GHHEF,故EF,G,”四點共面，目直線EH,尸G必相交于一點，設W/G=M,因為

2

MGEH,￡//u平面48D,所以平面/WO,同理：Me平面BCD,而平面ABDc平面BCQ=5。，

故Me平面BCD,即直線EH,廣G必相交于一點，且這個交點在直線8。上.

例14.（2022?河南?三模（文））如圖，在長方體力88-AMGA中，E,F分別是用弓和的中點.

(1)證明：E,F,D,B四點共面.

(2)證明：BE,DF,Cg三線共點.

【解析】(1)如圖，

連接ERBD,8Q.

???E尸是△4CA的中位線，

:.EF〃B\D\.

???8片與。。平行且相等，

.??四邊形5DA4是平行四邊形，

BD//BR,

，EF//BD,

:?E,尸，D,8四點共面.

QT：EF〃BD,且EF*BD,

工直線8E和。尸相交.

延長BE,DF,設它們相交于點P,

???Pe直線直線BEu平面

???Pc平面B8CC,

丁Pe直線OE直線OFu平面CORG,

???平面BB￡CPI平面CDD.C,=CCX,

APeCC),

:,BE,DF,CG三線共點.

例15.(2022?山東棗莊?一模)已知正方體ABC。-ABGA中，點E,尸分別是棱4%，AA的中點，過

點R作出正方體4BCO-A片GR的截面，使得該截面平行于平面跳F.

作出該截面與正方體表面的交線，并說明理由；

（截面：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.）

【解析】

設G,"分別是楂8CCG的中點，順次連接A，AG,H,則四邊形。即為所求的截面.

理由如下：因為點G,“分別是棱BC,CG的中點，故BCJ/GH,又BC\HD\A,所以G"http://O|A,而兩平行

直線確定一個平面，所以四邊形RAG"為平面圖形.

因為點E,尸分別是棱AVAR的中點，故尸，又RAa平面BE產(chǎn),EFu平面BE產(chǎn),所以R4，平面

BEF.

因為EB=AB-AE,RH=Dg-HQ,AB=DG，AE=HQ,所以破=。冉，又￡8,4,“不共線，所以

EBUD.H,

又。明已平面8所，E8u平面5所，所以"平面8砂，又。平面Q4GH,D、Hu

平面A4G斤，

所以平面〃AGH/平面BEF.

【方法技巧與總結(jié)】

要證明“點共面”、“線共面”可先由部分直線活點確定一個平面，再證其余直線或點也在該平面內(nèi)（即納

入法）；證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3

可知這些點在交線上，因此共線，證明“線共點”問題是證明三條或三條以上直線交于一點，思路是：先證

明兩條直線交于一點，再證明交點在第三條直線上.

題型二：截面問題

例16.（2022?上海黃浦?二模）如圖，已知P、Q、R分別是正方體A8CD-A片的棱43、BC和

的中點，由點P、。、R確定的平面夕截該正方體所得截面為（）.

A.三角形

B.四邊形

C.五邊形

D.六邊形

【答案】D

【解析】如圖，分別取4%、AA、CC1的中點/、E、連接HRFE、EP、PQ、QM、MR,

由正方體性質(zhì)WV/PQ,所以R、RP、Oe平面。，&RFHPQI/MN,又QRRP、交于同一點O,所

以E、Me平面所以點尸、Q、R確定的平面夕即為六邊形RFEPQM

故選：D.

例17.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（文））正方體A3CO-A向GU中，E是棱。。的中點，尸在側(cè)面8RG上

運動，且滿足耳尸“平面ABE.以下命題中，正確的個數(shù)為（）

①側(cè)面a>AG上存在點尸，使得上C5；

②直線用尸與直線8C所成角可能為30。；

③設正方體棱長為1,則過點EF,A的平面截正方體所得的截面面積最大為好.

2

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】分別取CG、G0的中點K、H,連接用K、BR、HK、EK

由A4EK,AM=EK,可得四邊形凡8國￡為平行四邊形，

則4KVAE，又AB?HK,B.Kr\HK=K,\Br\\E=\

則平面BKH平面\BE,

則當點尸落在線段K“上時，B/U平面B|K",則用尸"平面ABE

即滿足題意的點?在側(cè)面8QG上的軌跡為線段K”

①取K”中點P,連接4P,

△用中，BM=B、K、PH=PK,則與P_L"K

又CD「HK,則_LC0,即當尸為K”中點時，有用尸_LCA.判斷正確;

41

②當代F在線段KH上運動變化到端點K或，時,

直線BF與直線8C所成角取得最大值,

此時直線BF與直線BC所成角為NKB￡(或NHB￡)

又tan/HR￡=tan/KR￡=；＜與,NHBC=NK與Ge(0.3)

則/HBC=NKBGvB.則貪線qF與直線BC所成角不可能為30。.判斷錯誤:

6

③設正方體棱長為1,當尸為GE與HK交點時，

過點E,F,A的平面交于的中點M,連接MCPAM.AE、C.E

過點E,F,A的平面截正方體所得截面為菱形4MGE

又菱形AMGE對角線AG=6，ME=e

則截面AMQE的面積為LAC/ME=LX囪乂6=旦＞6.判斷錯誤.

2222

故選：B

例18.（2022?福建省廈門集美中學模擬預測）在正方體A8CD-中，棱長為3,E為棱B片上靠近

用的三等分點，則平面AE。截正方體的截面面積為（）

A.2而B.4VTTC.2x/22D.4V22

【答案】C

【解析】延長4E，A片交于點尸，連接。尸交BC于點G,如圖,

在正方體ABCO—ABCR中，面AORA，/面8CC￡,

?.面面AO0A=4R，面4外門面BCG8I=EG

?.ADJ/GE,又.的=3X/5,GE=V5

.?.四邊形AEG。是梯形，且為平面AER截正方體48CO-ABC"的截面.

又”G=AE=g在等腰梯形4EGZV3過G作GH_LA。，

GH=^Dfi2-D,H2=VfT

,5=；（4〃+66）,〃=3.（應+30）而=2后.

故選：C.

例19.（2022?山西?模擬預測（理））如圖，長方體相6-4片。。|中，AB=BC=\,例=2,點M為

線段A4的中點，點N為棱CG上的動點（包括端點），平面與MN截長方體的截面為a,則（）

A.截面?？赡転榱呅?/p>

B.存在點N,使得BN_L截面a

C.若截面。為平行四邊形，則該截面面積的最大值為石

D.當N與C重合時，截面。將長方體分成體積比為2:3的兩部分

【答案】C

【解析】對于A,截面。可能為四邊形或五邊形，不能是六邊形，A錯誤:

對于B,若存在點N,使得8N_L截面。，則助718戶，則N為CG中點,

此時3N與旦M不垂直，.?.不存在點N,使得助V_L截面。，B錯誤；

對于C,當截面為平行四邊形時，在平面G4BC內(nèi)過點N作B￡的平行線，交BBi于P,

過點P作4M的垂線，垂足為。，連接M2,則NQ_L平面MB/,

斜線N。在平面例8乃的射影為PQ,則NQIBiM；

設耳尸=M°Wx4l），-P。片-MAB\,：.PQ=%,QN=J1+#,

截面面積為5=72-Jl+#,

???當x=i時，snuw=&x*=V5,c正魂；

對于D,當MC重合時，截面為梯形；取AD中點E,連接CEME,延長4股,8A,CE交于點產(chǎn),

C-111_1Q_1o1_1

1^.ALM=2XX2=4,S."4c=/x2xl=l?

棱臺AME-BBC的體積乂=；x（；+；+l）xl=得，又長方體體積丫=2x1x1=2,

二?剩余部分的體積匕=丫-乂=2-看7=菅17，/：匕=7:17,D錯誤.

故選：C.

例20.（2022?云南曲靖?二模（文））正方體48co—A8CQ的棱長為1,E、尸、G分別為8C,CC,,BB.

的中點，有下述四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

①點c與點B到平面AEF的距離相等；②直線A,G與平面AEF平行；

③平面AEF截正方體所得的截面面積為：：④直線AG與直線EF所成的角的余弦值為巫.

810

A.①④B.②③C.③D.①②③④

【答案】C

【解析】對于①：假設C與8到平面AEF的距離相等，即平面AE尸將8C平分，則平面AE尸必過8c的中

點.由E是8c的中點，所以C與B到平面AEF的距離相等.故①正確

對于②：如圖所示.

取用。的中點Q,連接A。、GQ、QE.

因為AA//QE,且AA=QE,所以四邊形AAEQ為平行四邊形，所以AO〃AE.

因為4Q<Z面AEF,A￡：u面AE尸，所以劣?！鍭E尸.同理可證：GQ//面AE尸.

因為GQ'A。：。，AQu面42G,GQu面AQG,所以平面AQG〃平面AEE

又因為AGu平面AQG,所以AG〃平面4EE故②正確：

對于③：連接A尸,AA,延長DjF,AE交于點S.

因為E,尸分別為BC,GC的中點，所以E/〃4。1,所以A、￡R。四點共面，所以截面即為梯形AEFZX

因為b=CE,所以C產(chǎn)+CS2=C￡+CS\即戶S2=ES,所以FS=ES乂DIF=AE,所以+FS=AE+￡5即

22

DtS=AS=\l2+\=75,AD、=近,

所以等腰△ARS的高刀=J（〃s）2_（華=孚,梯形AQR的高為g=乎，所以梯形4七股的面積為

—（￡F-t-AD）x—=—x（―+>/2）x=—.故③正確

2t22248

對于④：因為AG//OL，所以直線。尸與直線4所成的角即為所求.

519

=

在三角形AFE中，D,F=^,EF=^,D1E=1,由余弦定理得，cosZD,FE=72~~

2<—x—

22

所以直線AG與直線石尸所成的角的余弦值為畫.故④錯誤.

10

故選：c

例21.（2022?全國?高三專題練習）已知長方體A8CO-A8CR中AB=AA=4,BC=3,M為AA的

中點，N為GA的中點，過々的平面a與QM,AN都平行，則平面。截長方體所得截面的面積為（）

A.3722B.3而C.4后D.5舊

【答案】A

【解析】過用作4E//AN交RG延長線于E,則GE二;AG，若G為CG中點，連接4G,

而M為AA的中點，在長方體中B。//DM,而Bqc"E=紇且&G,及Eu面BQE,

由ANa面51GE,則A%”面瓦GE,由OA/U面AGE,則DM〃面

所以面BQE即為平面a,延長EG交。。于產(chǎn),

易知：F為DC中點,則EI〃CQ且稗=CQ,又C\DUB\A且C、D=B、A,

故人正居為平行四邊形，則即〃瑪4且"故AF,E,G,耳共面,

連接物，即面A"G片為平面a截長方體所得截面,

延長AF,BQ分別交BC「一點，而在.AB〃,中CRCG都為中位線,

CGCF八

由48=AA1=4,BC=3,則=故A尸,4G交3C卜同一點H,

O|nAii

,__104-329

易知：△4〃81為等腰三角形且47=4"=2715,做=4應，則cos/4Hg產(chǎn),忘,可得

乙XI—

2722

sin^AHB.=±21±±

113

又s,鶴=；s仆=%gx52x嚕=3夜.

故選：A

例22.（2022?全國?高三專題練習（理））如圖，在正方體ABCD—ABCQ中，AB=2,點￡為A8中

點，點尸為8C中點，則過點4與BE，C/都平行的平面a被正方體ABC/）—ABCQ截得的截面面積為

)

B

【答案】D

【解析】取A耳中點G,AA中點”，則△AG"就是平面4被止方體440A4Gq截得的截面，其中

AG=AH=布，GH=&，GH邊上的高為3乖Y-等=乎，所以△AGH的面枳5=gx&x￥=g.

例23.（2022?全國?高三專題練習（理））已知正方體ABC。-44GA的校長為4,E,尸分別是棱AA.,

8C的中點，則平面已后/截該正方體所得的截面圖形周長為（）

D2g+96+25

A.6B.1072C.屈+2小

3

【答案】D

【解析】取CG的中點G,連接BG,則。E//8G,取CG的中點N,連接尸N,則FN//BG

所以FN“D、E,則直線RVu平面。?尸

延長"EDA交于H,連接"/交A8J二點“，連接ME,則A為〃。的中點.

則平面尸截該正方體所得的截面圖形為AEM7W

由條件可得A七=AE=2,則GN=3,CN=1,則〃￡=>/42+22=2>/5

RN="2+32=5,FN=S+*=小

取AQ的中點。，連接。尸，則4M//H2,所以繳=空

FQHQ

AfJAOA

所以AM=xFQ=wx4=：7,則=：

HQ633

則ME=jAE2+AM2=卜+(I)=y

MF=JMB?+BF?=向

所以截面圖形周長為AE+EM+MF+FN+NR=26+與+2§+石+5=2叵L斐笆

故選：D

例24.（2022?黃州?模擬預測（理））在正三棱柱ABC-A8G中，AB=3fAA,=y/6,D,E分別在AB，BC

上，且BD=BE=1,則過。，E,G三點的平面截此棱柱所得截面的面積為（）

A.4B.2而C.6D.2710

【答案】C

【解析】解：連接A。，易知OE//AC//AJ,

過D,E,G三點的截面的面積即等腰梯形OEC|A的面積.

因為正三棱柱ABC-AUG中，BD=BE=1,

所以。E=l,AD=M,

所以，等腰梯形OEGA的面積為白（1+3”7^口=6.

故選：c

G

B

例25.（2022柯南泗南大學附中高三期中（文））如圖，在直四棱柱A8C￡>-中，BC1CD,AB//CD,

BC=B44=從8=4。=2,點2、。分別為棱84、。&的中點，則平面APQ與直四棱柱各側(cè)面矩形的交

線所圍成的圖形的面積為（）

A岳+娓R3后

24

「3715n375+2^+717

22

【答案】B

【解析】如圖，因為在直四棱柱ABC。-AgGA中，AB//CD,所以平面A8BM〃平面。CGR,設平面

”on線段。R=R,連接QR,又因為平面APQA平面ABBH二AP,所以AP〃QR,延長QR,交的

延長線于點E,則CE=A8=2,連接AE,AR,則平面APQRc平面ADRA,二AR,易知四邊形APQR為

直角梯形，且APJLPQ.

如圖，再將直四棱柱補成一個長方體ABCE-A耳GG，

由圖及題中數(shù)據(jù)可得石，PQ=BC=6DR=g,

所以.=「+（；］=乎,所以RQ沙+（U，

故交線圍成的圖形的面積為s=gx住+而卜右=乎.

故選:B.

例26.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測（理））在棱長為1的正方體4片。12-488中，必為底面

ABC。的中心，。是棱4烏上一點，且。。=幾〃4，AelOJl,N為線段AQ的中點，給出下列命題：

①CN與QW共面；

②三棱錐A-DMN的體積跟4的取值無關;

③當久=_1時，AM±QM;

4

④當/=：時，過A,Q,M三點的平面截正方體所得截面的周長為逑芋叵.

其中正確的有（填寫序號）.

【答案】①②④

在-4CQ中，為ACAQ的中點，?.MN〃CQ,「.CN叮QM共面,①正確:

小……’QN到平面A88的距離為定值?」LAADM的面積為定畤，，三棱錐A-ZWN的體

積跟/€的取值無關，②正確;

丸二:時，可得4M2=g,AQ2=]+^=扇,。加2=（3）+（；）=K，則人M2+4Q2>QM2,所以AM_LQM

不成立，③錯誤；

2=（時，過AQ,MT點的正方體的截面4CE。是等腰梯形，所以平面截止方體所截得的周長為

…+與+2R=也苧叵,④正確.

故答案為：①②④.

例27.（2022?全國?高三專題練習（理））正方體ABCO-AECO的棱長為2.動點P在對角線8。上.過

點P作垂直于3。的平面a.記平面。截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為），=/（1），設BP

=x,xe（O,20）.下列說法中，正確的編號為.

①截面多邊形可能為四邊形；

②函數(shù)/（x）的圖象關于4=石對稱；

③當時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為9兀.

【答案】②③

【解析】連接ABIAC,AfD,DC,分別以。4,DD'為x,y,建立如下圖所示的空間直角坐標系：

.??A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),9(2,2,2),￡>'((),0,2),

:.AC=(-2,2,0),AB'=(0,2,2),D'B=(2,2,-2),

ACZ),fi=-2x2+2x2+0x(-2)=0,4B'O'8=0x2+2x2+2x(-2)=0,

所以O'8_LAC,O'8_LA8',又4?PlAC=A,所以。'8_1_面AB'C,

同理可證：。方_1面4(7。，所以面A'C?！鍭QC,如下圖所示，

夾在百A'CD和面AB'C之間并且與這兩個平面平行的截面為六邊形，

故截面只能為三角形和六邊形，故①錯誤；

由正方體的對稱性，當P在8。中點處時，可得函數(shù)〃X）的圖像關于1=亞=6對稱，故②正確;

2

當工=6時，此時點P在線段89的中點,，連接AC,如圖，

則PA=PB=PC=PD=6,PH八AH=0,則AP2=AH2+PH2，

所以P〃_LAC,同理可證：PH1BD,BD.ACc^ABCD,所以

取P”的中點為0，OB=J（；￥+（揚2=。,則三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，半徑為,，

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4乃x（$2=97r,故③正確.

故答案為：②③.

例28.（2022?上海靜安?模擬預測）正方體A5GA的棱長為1,E、尸分別為BC、CG的中點,

則平面AH'截正方體所得的截面面積為.

【答案】9

O

【解析】如圖，連接A"則￡尸〃AR,可得等腰梯形AEF"為平面人所截王方體所得的截面圖形,

由正方體ABC?！狝MGA的棱長為1,得他=0,EF。,AE否則E到他的距離為

9

故答案為：—.

O

例29.（2022?全國?高三專題練習）正方體ABC。-A8QA的棱長為2,E是棱的中點，則平面AQE

截該正方體所得的截面面積為（）

A.5B.2石C.4?D.276

【答案】D

【解析】如圖所示，設廠為Bq的中點，連接AF,/C，設G為CG的中點，連接EGG8,

由EG//A8且EG=AB,得4AGE是平行四邊形，則越〃BG且AE=8G，

又BGgFABG=C、F,得AE〃C7且4E=G/，則A,E，G，尸共面,

故平面ACE截該正方體所得的截面為AFC.E.

又正方體ABC?！狝3CQ的梭長為2,AF=FC、=Eq=EA,AC、=2BEr=2&，EF±AC,,

故AFC￡的面積為S=；x2&x2百=2#.

故選：D.

例30.（多選題）（2022?湖北?模擬預測）棱長為1的正方體4B8-A鳥6僅中，P、。分別在棱BC、CC,

上，CP=x,CQ=y,xe[0,l],ye[0,l]且f+）/工。，過A、P、Q三點的平面截正方體ABC?！狝旦CQ

得到截面多邊形，則（）

A.x=y時，截面一定為等腰梯形B.1=1時，截面一定為矩形且面積最大值為應

C.存在X,y使截面為六邊形D.存在X,y使與截面平行

【答案】BD

【解析】對A,x=y=l時，截面為矩形，故A錯；

對B,當x=l時，點P與點3重合，設過4、P、Q三點的平面交于M,則因為平面AAA?！ㄆ矫鍮8CC，

故PQ〃AM,且45_LPQ,此時截面為矩形，當點。與點C1重合時面積最大，此時截面積S=lx&=&，

B正確]

對D,當X=；,y=；時，延長交。尸延長線于N,畫出截面APQM如圖所示.此時因為BP=CP,

BN//CQ,故RNBPN合RNCPQ,則8V=CQ=g.由面面平行的截面性質(zhì)可得VAOM:VPCQ,

21

AD=2PC,故MQ=2QC=（,此時MO=；,故MD】=BN且MD1〃BN,故平行四邊形MRBN,故

MN〃D\B,根據(jù)線面平行的判定可知BR與截面平行，故。正確.

故選：BD

例31.（多選題）（2022?河北衡水?高三階段練習）已知。為正方體48。。-48。01底面45。。的中心,

E為棱B￡上動點,與后=之5石，冗?0,1）,尸為BE的中點，則（）

A.平面O￡F_