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圓錐曲線離心率歸類題型01離心率基礎 1題型02第一定義求離心率 4題型03中點型求離心率 7題型04點差法型求離心率(第三定義型) 題型05漸近線型離心率 題型06漸近線中點型求離心率 題型07構造a、b、c齊次式型 題型08焦半徑型離心率 題型09焦點三角形求離心率 題型10雙焦點三角形余弦定理型 題型11焦點三角形雙角度型 題型12共焦點型橢圓雙曲線離心率 題型13借助均值不等式求共焦點型 40題型14焦點三角形內心型求離心率 43題型15焦點三角形重心型求離心率 47題型16小題大做型求離心率 高考練場 題型01離心率基礎 求解圓錐曲線的離心率的常見方法:1、定義法:通過已知條件列出方程組,求得a,c得值,根據(jù)離心率的定義求解離心率e;2、齊次式法:由已知條件得出關于a,c的二元齊次方程或不等式,然后轉化為關于e的一元二次方程或不等式,結合離心率的定義求解;3、特殊值法:根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關系,利用取特殊值或特殊位置,求出離心率問題.【典例1-1】.P是橢圓上的一點,F(xiàn)為橢圓的右焦點,PF丄x軸,過點P作斜率為的直線恰好經(jīng)過左頂點,則橢圓的離心率為()【答案】C【分析】如圖所示,求出|PF|=,|AF|=a+c,化簡方程即得解.【詳解】所以3c2+ac2a2=0,:3e2+e2=0,:e=故選:C【典例1-2】(2021秋·山西晉城·高三晉城市第一中學校??茧A段練習)雙曲線的離心率用e=f(k)來表示,則f(k)()A.在(0,+∞)上是增函數(shù)B.在(0,+∞)上是減函數(shù)C.在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù)D.是常數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線為坐標軸,結合等軸雙曲線的離心率為定值,即可求解.【詳解】由題意,雙曲線的漸近線為x軸和y軸,即坐標軸,其中坐標軸互相垂直,即該雙曲線為等軸雙曲線,故選:D.【變式1-1】(2023秋·高三課時練習)實軸長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線,則等軸雙曲線的離心 【答案】A【分析】依題意可得a=b,即可得到c,從而求出離心率.【詳解】依題意可得等軸雙曲線中a=b,則c=·所以離心率故選:A且上PF1F2 【答案】D【分析】先根據(jù)PF2丄F2,且上P=30。求得P再根據(jù)勾股定理列出關于a,c的方程,解出e即可【詳解】:P點橢圓C上的點,:PF1+PF2=2a=30。:P【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓C上一點,若△PF1F2的周長為18,長半軸長為5,則橢圓C的離心率為(). 34222【答案】B【分析】因為△PF1F2的周長為18,所以2a+2c=18,結合題意可得a=5,c=4,代入離心率公式運算求解.【詳解】設焦距為2c.所以橢圓C的離心率為故選:B.題型02第一定義求離心率 解題時要把所給的幾何特征轉化為a,b,c的關系式.求離心率的常用方法有:(1)根據(jù)條件求得a,b,c,利用e=求解;(2)根據(jù)條件得到關于a,b,c的方程或不等式,利用e=將其化為關于e的方程或不等式,然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍.【典例1-1】已知橢圓的右焦點為F(5,0點A,B為C上關于原點對稱的兩點,【答案】【分析】根據(jù)題意可得AB=10,結合,AF丄BF求得|AF|=8,|BF|=6,繼而可求出a,求得答案.【詳解】因為點A,B為C上關于原點對稱的兩點,故連接AB,則AB過原點O,22【典例1-2】設橢圓的一個焦點F(2,0)點A(—2,1)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得PA+PF=8,則橢圓E的離心率的取值范圍是()AF1,:c=2,:即≤e≤,橢圓E的離心率的取值范圍是,故選A. .橢圓C:的左右焦點分別為F1、F2,直線l:y=kx與C交于A、B兩點,若iF=θ,當?shù)碾x心率的最小值為() 【答案】D【分析】結合題干條件得到F2A丄F2B,表達出F2A=2c.cosθ,F2B=2c.sinθ,利用橢圓定義得到a,c關系,結合θ的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接AF1,由題知點A、B關于原點對稱,AF1=BF2,AB=2OF2=2c,F(xiàn)2A丄F2B,則F2A=2c.cosθ,F2B=2c.sinθ,又F2A+F2B=F2A+F1A=2a,即2c.cosθ+2c.sinθ=2a,正確.故選:D22【變式1-2】.已知橢圓的右焦點為F(5,0點A,B為C上關于原點對稱的兩點,【答案】【分析】根據(jù)題意可得AB=10,結合,AF丄BF求得|AF|=8,|BF|=6,繼而可求出a,求得答案.【詳解】因為點A,B為C上關于原點對稱的兩點,故連接AB,則AB過原點O,又,所以|AF|=8,|BF|=6,取所以|AF|+AF,=14=2a,所以a=7,所以C的離心率為故答案為:【變式1-3】.設橢圓的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c,點Q在橢圓的內部,點P是橢圓上的動點,且PF1+PQ<5F1F2恒成立,則橢圓的離心率的取值范圍為(),【答案】A【分析】利用點在橢圓的內部,以及PF1+PQ<5F1F2列不等式,化簡后求得橢圓的離心率的取值范圍.42所以形的性質可得,因為P是橢圓C上的動點,且PF1+PQ<5F1F2恒成立,所以<10c2a,所以a<4c,即所以橢圓離心率的取值范圍是故選:A.題型03中點型求離心率 直線與曲線相交,涉及到交線中點的題型,多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子,然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題:(1)求中點坐標2)求中點軌跡方程3)求直線方程4)求曲線;0【典例1-1】(2023·全國·高三專題練習)如圖,已知雙曲線的左,右焦點分別2為F1,F(xiàn)2,正六邊形ABF2CDF1的一邊AF1的中點恰好在雙曲線M上,則雙曲線M的離心率是()【答案】B所以雙曲線M的離心率故選:B.22【典例1-2】(2021秋·福建廈門·高三福建省廈門集美中學校考階段練習)已知雙曲線的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線l交雙曲線的右支于A,B兩點.點M為線段BF1的中點,且AF1=AB.若cos上A則雙曲線C的離心率是() 【答案】A【分析】設AF1=m,根據(jù)雙曲線的定義得出m=8a,從而求出F1B=4a,F2B=2a,在△BF1F2中利用余弦定理以及離心率的定義即可求解.【詳解】點M為線段BF1的中點,且AF1=AB,則AM丄BF1,設AF1=m,則AB=m,:m=8a,,:c2=4a2,:離心率=2.故選:A22【變式1-1】(2022春·陜西安康·高三統(tǒng)考)已知雙曲線的左,右焦點分別為F1、F2,過點F2作傾斜角為θ的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點,其中點A在第一象限,若AB=AF1,且雙曲線C的離心率為2.則cosθ=()【答案】A【分析】結合雙曲線的性質和余弦定理,即可求解.在△BF1F2中,由余弦定理知,cosθ=【變式1-2】(2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中學校考階段練習)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點A,B分別在其左、右兩支上,且為線段AB的中點,若MF1【答案】AFM,在Rt△F1MF2中有F2M2+F1M2=F1F22得到關于a、c的齊次方程,即可求離心率.【詳解】MF1nn2—4m2 FM2點.若P為C右支上的一點,且M為線段F1P的中點,F(xiàn)2M丄PF1,F(xiàn)M24533【答案】B【分析】由題意可得PF2=F1F2=2c,再由雙曲線定義可得MF1=a+c,在Rt△F1F2M中,利用勾股定理可得(a+c)2+4a2=4c2,同除a2解方程即可求解.則PF1=2c+2a=2MF1,MF1=a+c.在Rt△F1F2M中,MF12+MF2:(a+c)2+4a2=4c2,解得或e=1故選:B題型04點差法型求離心率(第三定義型) 設直線和曲線的兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程,得將兩式相減,可得同理,雙曲線用點差法,式子可以整理成→1=k.設直線和曲線的兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程,得y12=2px1;2y2=2px2;x1—x2y1+y2一條直徑,M為橢圓G上與A、B不重合的一點,且直線MA,MB的斜率之積為—,則橢圓G的離心率為.湖南省株洲市第二中學2021-2022學年高三下學期數(shù)學試題【答案】332【分析】根據(jù)給定條件,設出點A,M的坐標,表示出點B的坐標,利用斜率坐標公式結合橢圓方程即可計算作答.x1x0x1x0x1x0a4a24所以橢圓G的離心率為 3故答案為:2線x2y=0上,則此橢圓的離心率為 【答案】試題分析:直線y=—x+1與x—2y=0的交點為M(,),點M(,)即A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓方程,兩式相減整理可得,即a2【變式1-1】(2023·四川雅安·統(tǒng)考三模)已知雙曲線C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率等于,)在雙曲線C上,橢圓E的焦點與雙曲線C的焦點相同,斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點.若線段AB的中點坐標為(1,-1),則橢圓E的方程為()22222222【答案】D【分析】由離心率和點(2·i6,—5)求出雙曲線的方程,進而求出焦點,設出橢圓的方程及A,B的坐標,由點差法得到結合中點坐標及斜率求得a2=2b2,再利用焦點坐標,即可求解.【詳解】設雙曲線方程為,則解得故雙曲線方程為焦點為(±3,0);設橢圓方程為則橢圓焦點為焦點為(±3,0),故a2—b2=9,設A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減得整理得,即,解得a2=2b2,故a22【變式1-2】(2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習)已知斜率為·i2的直線與雙曲線相交于A,B兩點,O為坐標原點,AB的中點為P,若直線OP的斜率為22,則雙 【答案】C【分析】利用點差法,結合直線斜率公式、中點坐標公式、雙曲線離心率公式進行求解即可.〔xyx2兩式相減得所以2【變式1-3】(2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第一中學校考)已知雙曲線C:x2—=1(b>0)的離心率為2,過點P(3,3)的直線與雙曲線C交于A,B兩點,且點P恰好是弦AB的中點,則直線AB的方程為()【答案】C【分析】運用點差法即可求解則雙曲線C的方程為1.設A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減得又因為點P恰好是弦AB的中點,所以x1+x2=6,y1+y2=6,所以直線AB的斜率為經(jīng)檢驗滿足題意故選:C題型05漸近線型離心率【典例1-1】(2021秋·重慶南岸·高三重慶市南坪中學校??茧A段練習)經(jīng)過雙曲線的左焦點作傾斜角為60o的直線l,若l與雙曲線M的左支有兩個不同的交點,則M的離心率的取值范圍是()【答案】B【分析】只需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率,再利用雙曲線中a,b,c關系以及離心率的范圍即得.【詳解】要使直線與雙曲線有兩個交點,需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率即c又雙曲線e=>1故e的范圍是(1,2)故選:Bca 【典例1-2】(2023春·黑龍江大慶·高三大慶中學??奸_學考試)已知點P(—2,3)在雙曲線的漸近線上,則雙曲線的離心率為()【答案】D【分析】將P點坐標代入漸近線方程,求出a與b的關系,再根據(jù)c2=a2+b2求出離心率.【詳解】漸近線方程為:y=±x,由于P點坐標在第二象限,選用y=—,故選:D.則該雙曲線的離心率為() 【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程求出=2,從而根據(jù)求出離心率.的漸近線方程為故選:A22則雙曲線的離心率為() 【答案】D【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率,即從而求出離心率.【詳解】由題意得:雙曲線的一條漸近線方程的斜率=tan60。=故選:D22【變式1-3】(2022·全國·高三專題練習)已知雙曲線則雙曲線的離心率的最大值是() 【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質可知:雙曲線與y=2x沒有公共點,則0<≤2,即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為:y=±若雙曲線與直線y=2x無公共點,故選:D.題型06漸近線中點型求離心率【典例1-1】(2021秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考)已知雙曲線C:x2-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,過F2的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點M、N.若點M是線段F2N的中點,且NF1丄NF2,則雙曲線C 【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線得OM//NF1,又M是線段F2N的中點,又可得OM丄NF2,則可得漸近線y=bx的傾斜角為60。,從而求得b的值,即可得雙曲線離心率.【詳解】雙曲線C:x2-的漸近線方程為y=±bx,因為O是線段F1F2的中點,M是線段F2N的中點,所以OM//NF1又NF122【典例1-2】(2023秋·河南安陽·高三??迹┮阎p曲線的左焦點為F,右頂點為A,兩條漸近線為l1,l2.設F關于l1的對稱點為P,且線段AP的中點恰好在l2上,則C的離心率為()【答案】C【分析】方法1:根據(jù)幾何性質分析可得:OH2=HROF,運算求解;方法2:根據(jù)點關于線對稱求點再求線段AP的中點Q,代入漸近線方程l2:y=-運算求解.【詳解】方法1:如圖,設O為坐標原點,F(xiàn)(-c,0),A(a,0),直線FP與l1:bx+ay=0交于點H,則FH丄l1,且H為線段FP設直線HQ與y軸的交點為R,則R為線段HQ的中點,且HQⅡx軸,則∵△OHR~△OFH,則=,∴OH2=HROF,即=a2,整理得-4=0 即設線段PA中點為Q,點A將Q點坐標代入方程l2:y=-x得整理得-4=0,【變式1-1】(2022·全國·高三專題練習)已知雙曲線與橢圓過橢圓上一點P作橢圓的切線l,l與x軸交于M點,l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q,且N為MQ的中點,則雙曲線C的離心率為() 【答案】A【分析】設出切線方程,與橢圓方程聯(lián)立后利用根的判別式求出求出切線方程,從而得到M點坐標,再聯(lián)立漸近線得到N,Q的橫坐標,利用中點得到方程,求出從而求出離心率.【詳解】由題意得:漸近線方程為設切線方程為聯(lián)立=1得:x2(2k-1)2=0,解得:所以切線方程為x+2,令y=0得:x=-4,所以M聯(lián)立x與y=x+2,解得:聯(lián)立x與y=x+2,解得:xN=-,因為N為MQ的中點,所以,解得:所以離心率為故選:A【變式1-2】(2022春·廣西南寧·高三南寧二中校考階段練習)已知雙曲線的右焦點為F,左頂點為A,M為C的一條漸近線上一點,延長FM交y軸于點N,直線AM經(jīng)過ON(其中O為坐標原點)的中點B,且ON=2BM,則雙曲線C的離心率為().3【答案】A【分析】因為ON=2BM,且OB=BN,可得NF丄OM,再結合雙曲線的知識可得OM=OA=a,利用幾何知識可得△MNB為等邊三角形=tan60。,進而求【詳解】記M為雙曲線的漸近線bx-ay=0上的點,因為ON=2BM,且右頂點為A,M為OA的中點,P為雙曲線C右支上一點且丄,且tan上P則說法錯誤的 A.C的離心率為2B.C的漸近線方程為x±·3y=0【答案】B【分析】由題設及雙曲線性質可得|PF2|=且c=2a,即可判斷A、B;根據(jù)角平分線性質只需判斷由b2由角平分線性質易知:PM平分上F1PF2,C正確;D正確.故選:B 只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,結合b2=c2-a2轉化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).【典例1-1】(2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),F為雙曲線的右焦點,C的離心率的取值范圍是()【答案】C心率的取值范圍.【詳解】依題意可知M在第一象限,N在第二象限,F(xiàn)(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離為λM--≥2)得iMNi=λb,:tan上NOM=,故選:C22【典例1-2】(2023·全國·高三專題練習)過雙曲線的右焦點F作一條直線,當直線斜率為1時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點,則雙曲線離心率的取值范圍為()【答案】C【分析】先寫出直線的方程,聯(lián)立雙曲線的方程消去y,由k=1得到>0,即>1.由k=3得到<0,即再求離心率的范圍.【詳解】雙曲線右焦點為(sa2+b2,0),設過右焦點的直線為y=k(x-··ia2+b2),與雙曲線方程聯(lián)立消去y可得到:(b2-a2k2)x2+2a2k2·a2+b2x-a2(a2k2+b2k2+b2)=0,由題意可知,當k=1時,此方程有兩個不相等的異號實根,當k=3時,此方程有兩個不相等的同號實根<0,得0<b<3a,<3;又離心率的取值范圍為(·,i10).故選:C.【變式1-1】(2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右坐標原點若圓M的面積S滿足S∈則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()【答案】B結合圓的相交弦定理得ac=2,由圓M的面積S滿足S∈即可求出雙曲線C的離心率e的取值范圍.由圓的相交弦定理知,ac=OAOF=OBOD=2.222【變式1-2】(2022·全國·高三專題練習)已知雙曲線的上、下焦點分別是F1,F(xiàn)2若222>4a2+3b2,則其離心率的取值范圍是()A.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義,結合平面向量數(shù)量積的運算性質、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設P(x0,y0),222-4a,故4(x+y)>3b2-4a2①,0,c-y0).(-x0,-c-y0)=x+y-c2=-4a2,2-4a2②,由①②得4(c2-4a2)>3b2-4a2,即4c2>3b2+12a2,又b2=c2-a2,所以4c2>3(c2-a2)+12a2,即c2>9a2,即>3所以雙曲線離心率的值大于3,故選:D【變式1-3】(2008·湖南·高考真題)若雙曲線上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離,則雙曲線離心率的取值范圍是()【答案】B【分析】根據(jù)題設條件可得基本量的關系,從而可求離心率.【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義,雙曲線上橫坐標為a的點到右焦點的距離為而該點到左準線的距離為故由條件知整理得e-1>綜合e>1,解得e>2.故選:B題型08焦半徑型離心率 圓錐曲線焦半徑統(tǒng)一結論,其中p為交點到準線的距離,對橢圓和雙曲線而言對于拋物線,則1-cosθ對于拋物線,則1-cosθ若雙曲線右支上存在點P使得則離心率的取值范圍為())【答案】C【分析】在△PF1F2中,由正弦定理可得再由已知可得=,根據(jù)點P在雙曲線右支上,得到關于e的不等式,從而可求出e的范圍.【詳解】由題意可得點P不是雙曲線的頂點,否則無意義因為點P在雙曲線右支上,所以PF1-PF2=2a,所以PF2-PF2=2a,得由雙曲線的性因為e>1,所以1<e<s2+1【典例1-2】(2022·全國·高三專題練習)已知雙曲線左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)c,0),若雙曲線右支上存在點P使得則離心率的取值范圍為()C.)【答案】C【分析】由正弦定理得=>1,可得P在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義,=2a,根據(jù)P在雙曲線右支上,得關于e的不等式,從而求出e的范圍【詳解】解:由題意,點P不是雙曲線的頂點,否則無意義,cPF1ac由雙曲線的幾何性質,知PF22a22a2【變式1-1】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓上點P(x,y)到焦點F2的最大距離為3,最小距離為1,則橢圓的離心率為() 【答案】A【分析】由橢圓上的點到焦點的距離最大值為a+c,最小值為a—c,可求出a,c,即可計算出離心率【詳解】設橢圓的半焦距為c,由題意可得,解得a=2,c=1,所以橢圓C的離心率故選:A.【變式1-2】設F是橢圓=1(a>b>0)的右焦點,A是橢圓E的左頂點,P為直線x=上一點,ΔAPF是底角為300的等腰三角形,則橢圓E的離心率為4323【答案】B【詳解】如圖,設直線x=與x軸的交點為C,因為由橢圓性質可知,,:cos上PFx=(c,0)分別為橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點,若直線x=上存在點=2c,則橢圓離心率的取值范圍為.【分析】由題設易知|PF2|≥結合橢圓離心率的性質即可得離心率的取值范圍.題型09焦點三角形求離心率22【典例1-1】已知F1,F2分別是橢圓1的上下兩個焦點,若橢圓上存在四個不同點P,使得ΔPF1F2的面積為·,則橢圓C的離心率的取值范圍是【答案】A 【分析】設橢圓的上頂點為A,問題轉化為ΔAF1F2的面積大于3,解不等式即可.故選A.【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到F1P+F2P=2a,由PF1.PF2=0得到PF1丄2,兩式結合求出PF1.PF2=2a22c2,結合S△FPF=c2得到a2=2c2,求出離心率.由橢圓定義可知:F1P+F2P=2a,又S△,所以a2c2=c2,即a2=2c222【變式1-1】.已知F是橢圓的一個焦點,若直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點,且【答案】A【分析】將A,B與橢圓的左、右焦點連接起來,由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形,利用橢圓的定義和余弦定理,結合重要不等式可得離心率的范圍.【詳解】如圖設F1,F(xiàn)分別為橢圓的左、右焦點,設直線y=kx與橢圓相交于A,B,連接AF1,AF,BF1,BF.根據(jù)橢圓的對稱性可得:四邊形AF1BF為平行四邊形.iAF當且僅當AF1=AF時取等號,又y=kx的斜率存在,故A,B不可能在y軸上.2c所以等號不能成立,即即ca2如圖,橢圓C:的左右焦點分別是F1,F2,點P、Q是C上的兩點,若【答案】A【分析】延長QF2交橢圓C于點M,在RtΔF1MQ和RtΔF1MF2兩個直角三角形中結合勾股定理和橢圓的幾何性質建立等量關系求解.【詳解】延長QF2交橢圓C于點M,得RtΔF1MQ,RtΔF1MF2,設QF2【變式1-3】已知橢圓的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,直線y=kx與C交于點M,N,【答案】A【分析】根據(jù)題意可知四邊形MF1NF2為平行四邊形,設M(x1,y1),進而得c+x1=y1,根據(jù)四邊形面積求出點M的坐標,再代入橢圓方程得出關于e的方程,解方程即可.【詳解】如圖,不妨設點M(x1,y1)在第一象限,因為四邊形MF1NF2的面積為,所以S△M×y1=cy1,得4=2cy1,由a2b2=c2,得4c2=2cy1,解得y1=2c,所以x1=c,即點M(c,2c),代入橢圓方程, 解得e2+2e1=0,由e>0,得e=21.故選:A題型10雙焦點三角形余弦定理型 圓錐曲線具有中心對稱性質,內接焦點四邊形性質:1.焦點四邊形具有中心對稱性質。2.焦點四邊形可分割為兩個焦點三角形,具有焦點三角形性質。3.焦點四邊形可分割為兩個余弦定理形雙三角形,可以用雙余弦定理求解【典例1-1】橢圓的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,過F1的直線交橢圓于M,N兩點,MF2=F1F2,則橢圓的離心率為.【答案】|=2a,即有2c+4t=2a,取MF1關系式,聯(lián)立解得a,c,運用離心率公式計算即可得到答案.【詳解】設橢圓|=2c,如圖示:2121,=FF2,則AF2丄MN,由勾股定理可得|MF2|2|MA|2=|NF2|2|即為4c24t2=(2a3t)225t2,②由①②解得a=7t,c=5t,則離心率故答案為:22【典例1-2】已知橢圓以為左右焦點,點P、Q在橢圓上,且PQ過右焦點F2,【答案】A即可得解.【詳解】解:根據(jù)題意可得如圖橢圓,△F1PQ是直角三角形,sin上故選:A.段BF1上靠近F1的四等分點.若對于線段BF1上的任意點P,都有PF1.PD≥EF1.ED成立,則橢圓的離心率【變式1-1】如圖所示,F(xiàn)1,F2段BF1上靠近F1的四等分點.若對于線段BF1上的任意點P,都有PF1.PD≥EF1.ED成立,則橢圓的離心率 【答案】【分析】取F1D的中點Q,連EQ.PQ.根據(jù)向量的加法和減法轉化同理等價于|,由點P的任意性判斷EQ丄BF1,得到DF1=|DB|,根據(jù)幾何關系和橢圓定義得到邊長,根據(jù)余弦定理建立方程求橢圓的離心率.【詳解】解:取F1D的中點Q,連上的任意一 3故答案為:3【變式1-2】已知橢圓F1的左焦點F1和右焦點F2,上頂點為A,AF2的中垂線交橢圓于點B,若左焦點F1在線段AB上,則橢圓離心率為. 【答案】【詳解】如圖,設BF2=t,由橢圓的定義可得BFF2F2F上B=即橢圓的離心率為.故答案為:.【變式1-3】.已知橢圓C的焦點為F1,F(xiàn)2,過F1的直線與C交于A,B兩點,若 【答案】C【解析】由題意可表示出AF1、BF1、BF2,在在ΔAF1F2和ΔBF1F2中利用余弦定理,再根據(jù)F2=0,得到方程,解得.在和中利用余弦定理可得2題型11焦點三角形雙角度型 22設橢圓b>0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點,在△PF1F222設雙曲線0,b>0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點,在△PF1F2【典例1-1】(2023秋·河北保定·高三??迹┮阎獧E圓E的兩個焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上一點,且4【答案】/1i1044PF=2a,得到=2a,即可求得橢圓的離心率.=FF2sin上P所以故答案為:.若橢圓上存在一點P使,且c=..【分析】根據(jù)正弦定理和已知條件可得結合橢圓的定義可得iPF2i=,再根據(jù)【詳解】由正弦定理得,又所以=,所以因為ac<PF2<a+c(不等式兩邊不能取等號,否則題目中分式的分母為0,無意義),所以λ=e∈.=π-4θ.然后根據(jù)正弦定理可求出根據(jù)橢圓的定義可推得=2a,化簡整理可得=2cosθ-求出cosθ∈,令t=cosθ,構造函數(shù)=2t-根據(jù)函數(shù)的單調性,即可得出答案.FF=π-4θ.由正弦定理可得,且sin7PF2F1=3sin7PF1F2,則橢圓E的離心率為()【答案】B【分析】由題意得PF1=3PF2,利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關系,即可求離心率.【詳解】由題意及正弦定理得:PF1=3PF2,2令PF122,F2為橢圓的兩個焦點,則橢圓的離【答案】B【分析】設PF1=m,PF2=n,利用正弦定理,求得m,n與c的關系,進而求得橢圓的離心率,得到答案.在△PF1F2中,由正弦定理得可得題型12共焦點型橢圓雙曲線離心率 橢圓與雙曲線共焦點F1、F2,它們的交點P對兩公共焦點F1、F2的張角為上F1PF2=2θ,橢圓與雙曲線的【典例1-1】(2023春·四川內江·高三四川省內江市第六中學??茧A段練習)已知橢圓C1和雙曲線C2的焦點相同,記左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,設點P為C1與C2在第一象限內的公共點,且滿足PF1=kPF2,若的值為()【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得,iPF2i=,(a1,a2分別為橢圓的長半軸長及雙曲線的實半軸長),從而得再代入中,求解即可.【詳解】設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為a1,b1,半焦距為c,雙曲線的實半軸長、虛半軸長分別為a2,b2,半焦距為c,又因為點P為C1與C2在第一象限內的公共點,且滿足PF1=kPF2,所以k>0且k≠1,由雙曲線的定義可得PF1-PF2=kPF2-PF2=(k-1)PF2=2a2,所以所以所以【典例1-2】(2022秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學??茧A段練習)已知橢圓雙曲線的焦點,P為C1和C2的交點,若△PF1F2的內切圓的圓心的橫坐標為1,C1和C2的離心率之積為,則實數(shù)a的值為()【答案】A【分析】設△PF1F2的內切圓的圓心為I,且與PF1,PF2,F(xiàn)1F2的切點為M,N,K,由切線長相等,以及雙曲線的定義,可得內切圓的圓心橫坐標為b,運用離心率公式,可得a.【答案】D【詳解】不妨設點P在第一象限,設△PF1F2的內切圓的圓心為I,且與PF1,PF2,F(xiàn)1F2的切點為M,N,K,*可得|PM|=|PN|,F(xiàn)2K=F2N,MF1=F1K,又F1K+F2K=2c,可得F1K=c+b,可得內切圓的圓心I的橫坐標為b=1,1和C2的離心率之積為,可得解得a=3,故選:A>0)有公共焦點F1,F(xiàn)2,且兩條曲線在第一象限的交點為P.若△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,【答案】B【分析】設曲線C1,C2的焦距為2c,則可得PF2=F1F2=2c,然后結合橢圓和雙曲線的定義可求出a1,a2,c的關系,變形后可得結果.【詳解】設曲線C1,C2的焦距為2c.△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,則PF2=F1F2=2c.【變式1-2】(2022·全國·高三專題練習)已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的左、右焦點F1,F(xiàn)2,若C1,C2在第一象限內的交點為P,且滿足上POF2=2上PF1F2,設e1,e2分別是C1,C2的離心率,則e1,e2的關系是 e2再結合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.記橢圓長半軸長為a1,雙曲線實半軸長為a2,PF1=m,PF2=n則由橢圓和雙曲線定義可得:由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=a+a整理得即=2所以e故選:D【變式1-3】(2022·全國·高三專題練習)已知F1,F2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共的左右焦點,e1、e2是C1、C2的離心率,若C1、C2在第一象限內的交點為P,且滿足上POF2=2上PF1F2,則e1、e2的關系是()e2【答案】A【分析】先確定PF1丄PF2,再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義,即可得出結論.【詳解】解:設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,PF1PFPF2PF所以PF1丄PF2,所以m2+n2=所以e+e=2ee.故選:A.題型13借助均值不等式求共焦點型【典例1-1】、已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們一個公共點,且上橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e+e的最小值. 【解析】由題意,可設橢圓的長半軸為a1,雙曲線的實半軸為a2,由橢圓和雙曲線的定義可知,PF12a2,又PF22222(a1e2,)【典例1-2】(2023·全國·高三專題練習)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,P是它們的一個交點,且上記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則當e1e2取最大值時,e1,e2的值分別是() 【答案】A根據(jù)上利用余弦定理得到a2+3a一4c2=0,進而得到再利用基本不等式求解.【詳解】解:不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為c=aa2b2設PF1111.所以2=時取等號.故選:A.>0)的一個交點,F(xiàn)1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,e1,e2分別為橢圓和雙曲線的離心 【答案】D【分析】利用橢圓的定義和雙曲線的定義,以及余弦定理列方程,轉化為離心率的形式,并用基本不等式求得最小值.【詳解】根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性,不妨設點P在第一象限,那么PF1>PF2,半焦距為c,2a2,在△F1PF2中,由余弦定理,可得:F1F22=PF12+PF22一2PF1PF2cos,所以當且僅當e2=43e1取等號.故選:D.設橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,P為兩曲線的一個公共點,且PF1一PF2=2PO(設橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,P為兩曲線的一個公共點,且PF1一PF2=2PO(其中O為坐標原點【答案】C【分析】利用橢圓、雙曲線的定義,確定a2+m2=2c2,利用離心率的定義,結合基本不等式,即可得出結論.【詳解】解:由題意設焦距為2c,橢圓的長軸長2a,雙曲線的實軸長為2m,不妨令P在雙曲線的右支上22將④代入③得a2+m2=2c2,當且僅當,即a=2m時取等號;故選:C>0)有相同的焦點F1、F2,P點是曲線C1與C2的一個公共點,e1,e2分別是C1和C2的離心率,若PF1丄PF2,則4e+e的最小值為()【答案】B【分析】由題意設焦距為2c,橢圓長軸長2a1,雙曲線實軸長為2a2,取橢圓與雙曲線在一象限的交點為P,由已知條件結合橢圓雙曲線的定義推出a12+a22=2c2,可得再利用基本不等式即可求出4e+e的最小值.【詳解】由題意設焦距為2c,橢圓長軸長2a1,雙曲線實軸長為2a2,取橢圓與雙曲線在一象限的交點為P,由橢圓和雙曲線定義分別有PF1+PF2=2a1,PF1一PF2=2a2,因為PF1當且僅當即e122最小值為,故選:B.題型14焦點三角形內心型求離心率 雙曲線中,焦點三角形的內心I的軌跡方程為x=證明:設內切圓與PF1,PF2,F1F2的切點分別為M,N,T,則由切線長定理可得=FT+F2T=2c,所以F2T=ca,所以點T的坐標為(a,0),所以點I的橫坐標為定值a.【典例1-1】(2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考)已知雙曲線一的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,O為坐標原點,點M在C的右支上運動,△MF1F2的內心為I,若IO=IF2,則C的離心率為 【答案】A【分析】首先設雙曲線C的右頂點為A,△MF1F2的內切圓I與MF1、MF2、F1F2分別相切于點P、Q、N,根據(jù)雙曲線的概念得到F1A一F2A=F1N一F2N,從而得到A與N重合,再結合題意得到c=2a,即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的右頂點為A,△MF1F2的內切圓I與MF1、MF2、F1F2分別相切于點P、Q、N,如圖所示:.QFNF2N,而FAF2A=F1NF2N,即A與N重合,即內切圓I與F1F2相切于點A,所以IA丄F1F2,又IO=IF2,所以A為OF2的中點,【典例1-2】2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校??茧A段練習)已知雙曲線22的左、右焦點分別為F1,F2,P為雙曲線上的一點,I為△PF1F2的內心,且IF=2PI,則C的離心率為()【答案】D【分析】延長IP到A且|IP|=|PA|,延長IF2到B且|IF2|=|F2B|,結合向量的線性關系知I是△ABF1的重心,根據(jù)重心和內心的性質,進而得到|PF1|=|F1F2|=2|PF2|,由雙曲線定義得到齊次方程,即可求離心率.【詳解】如下圖示,延長IP到A且|IP|=|PA|,延長IF2到B且|IF2|=|F2B|,故選:D別是雙曲線C的左,右焦點,M為△PF1F2的內心,若雙曲線C的離心率且S△MP=S△MP則λ=()24【答案】D結合雙曲線的定義及離心率即可求解.【詳解】設△PF1F2內切圓的半徑為r,則S△MP,S△MPF2=,S△Mλ=.故選:D.【變式1-2】(2022秋·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學校??迹┮阎狥1、F2分別為雙曲線一的左、右焦點,且為雙曲線右支一點,I為△PF1F2的內心,若S△IPF=S△IPF+λS△IFF成立,給出下列結論:②離心率1④點I的橫坐標為定值a上述結論正確的是()【答案】D的內切圓半徑為r,利用面積公式求得λ,可判定③正確;設內切圓與PF1,PF2,F1F2的切點分別為M,N,T,結合雙曲線的定義,求得I的橫坐標,可判定④正確.當P丄x軸時,可得,此時tan上P,所以①不正確;可得e2e1=0(其中e為雙曲線的離心率,e>1所以e=5,所以②正確;設△PF1F2的內切圓半徑為r,由雙曲線的定義可得PF1PFPF2PFFFFF因為S△IP=S△IPF2+F2,所以設內切圓與PF1,PF2,F1F2的切點分別為M,N,T,可得F2T=ca,則點T的坐標為(a,0),所以I點橫坐標為a,所以④正確.故選:D.22【變式1-3】(2023秋·高三課時練習)已知F1、F2分別為雙曲線一的左、右焦點,且為雙曲線右支上一點,I為△PF1F2內心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,則λ的值為()【答案】CPF+λFF2,結合雙曲線的定義以及即可求解.【詳解】如圖所示:由題意I為△PF1F2內心,化簡得PF1=PF2+λF1F2,由雙曲線定義可知PF1一PF2=2a=λ.(2c)=λF1F2,因此有題型15焦點三角形重心型求離心率焦點,點A是雙曲線C右支上一點,若△AF1F2的內切圓M的半徑為a,且△AF1F2的重心G滿足MG=λF1F2則雙曲線C的離心率為() 【答案】C【分析】根據(jù)=λ2,得到y(tǒng)M=yG=a,yA=3yG=3aS△AFF,AF2,再利用距離公式得到xA=2a,進而得到A的坐標,代入雙曲線方程求解即可.AF2(a,A221),(a,A+exA,解得xA=2a,所以A(2a,3a),代入雙曲線方程得:a2a22【典例1-2】(2022·全國·高三專題練習)在雙曲線C:一=1(a>0,b>0)的右支上存在點A,使得點A與雙曲線的左、右焦點F1,F(xiàn)2形成的三角形的內切圓P的半徑為a,若ΔAF1F2的重心G滿足PG//F1F2,則雙曲線C的離心率為 【答案】C【詳解】如圖,由PG平行于x軸得yG=yP=a,則yA=3yG=3a,所以△AF1F2的面積S=●2c●3a即故選C.【變式1-1】(2022春·四川內江·高三威遠中學校校考階段練習)設雙曲線的左右焦點分別為F1,F2,若在曲線C的右支上存在點P,使得△PF1F2的內切圓半徑為a,圓心記為M,又△PF1F2的重心為G,滿足MG∥F1F2,則雙曲線C的離心率為.【答案】C由MG∥,可得yG=yM=a,則yP=3yG=3a,由S△P.2c.結合雙曲線的定義可求得P(2a,3a),代入橢圓方程中化簡可求出離心率2由MG//x軸得:yG=yM=a,則yP=3yG=3a,所以S△P.2c.3a=2又PF1=2a,得PFPF2PF1PFPF2PF(cxP)2,得(2c+a)2(xP+c)2=(2ca)2(cxP)2,化簡得xP=2a,因此P(2a,3a),代入橢圓方程得【變式1-2】(2023·全國·模擬預測)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左頂點為A,若在雙曲線的右支上存在兩點M,N,使△AMN為等邊三角形,且右焦點為△AMN的重心,則該雙曲線的離心率為()【答案】C【分析】設雙曲線的右焦點為F,左焦點為F,,由重心性質可求MF,根據(jù)雙曲線定義求MF,,在△MFF,中由余弦定理列方程可得a,c關系,由此可求離心率.【詳解】設雙曲線的右焦點為F,左焦點為F,,如圖,連接MF,MF,.由△AMN為等邊三角形,F(xiàn)為△AMN的重心,得AF=FM=a+c.2FM2FMFM22FM22【變式1-3】(2023春·山東濟南·高三山東省實驗中學??奸_學考試)已知雙曲線一的右焦點為F,過點F作一條漸近線的垂線,垂足為M,若△MOF的重心G在雙曲線上,則雙曲線的離心率為【答案】B【分析】依次求出點M、G的坐標,然后由點G在雙曲線上可建立方程求解.【詳解】不妨設M在y=x,令M則有〔x0x02aab,所以M|(c,c,ab,所以M|(c,c,,c(a2) 題型16小題大做型求離心率【典例1-1】已知橢圓C:x2+my2=1(0<m<1),若存在過點A(3,1)且互相垂直的直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C均無公共點,則該橢圓離心率的取值范圍是()【答案】C【分析】判斷l(xiāng)1,l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0,兩直線中有一條與橢圓相交,當兩直線斜率存在且不為0時,可設l1:y—1=k(x—3),聯(lián)立橢圓方程,由于判別式小于0,以及求根公式,結合兩直線垂直的條件,可將k換為—,解不等式,考慮不等式有解,可得m的范圍,即可得到所求離心率的范圍.過點A(3,1)的直線l1,l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0時,斜率為0的直線與橢圓相交,當兩直解得22如圖,橢圓Γ:的離心率為e,F(xiàn)是Γ的右焦點,點P是Γ上第一象限內任意【答案】B【解析】根據(jù)題設條件求出λ,從而得到一個關于直線OP的斜率恒成立的不等式,故可得關于基本量的不等式,據(jù)此可求離心率的范圍.【詳解】因為點P是Γ上第一象限內任意一點,故上POF為銳角,所以tan上POF<1,設直線OP的斜率為k,則0<k<1.所以解得,因為λ>e對任意的0<k<1恒成立,【變式1-1】存在過橢圓左焦點F1的弦MN,使得|MN|=,則橢圓C的離心率的 【答案】D當MN丄x軸,即a2=4b2,結合e=·i即可求得離心率,②當MN不垂直于x軸時,設MN的方程為:y=k(x+c),聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理求出x1+x2和x1x2,即可求得弦長|MN|=設直線MN的傾斜角為α,化簡得到進一步可得,利用cos2α的范圍,即可取得離心率的最小值.所以,即a2=4b2,所以離心率②當MN不垂直于x軸時,F(xiàn)1(—c,0),設MN的方程為:y=k(x+c),(a2k2+b2)x2+2a2ck2x+a2c2k2a2b2=0,由弦長公式知:化簡得:設直線MN

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