2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布解答題專(zhuān)項(xiàng)突破六概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE解答題專(zhuān)項(xiàng)突破(六)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題通過(guò)對(duì)近幾年高考試題分析，在高考解答題中，概率與回來(lái)分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)、隨機(jī)變量及其分布列相結(jié)合的綜合問(wèn)題既是考查的熱點(diǎn)又是重點(diǎn)，設(shè)計(jì)成包含概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別與應(yīng)用等學(xué)問(wèn)的綜合題，以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體，考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和基本方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力．試題難度一般不大，為中、低檔類(lèi)題目．熱點(diǎn)題型1概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·河南模擬)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)于2019年1月1日上線，它是由中宣部主管以深化學(xué)習(xí)宣揚(yáng)習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端＋手機(jī)客戶(hù)端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺(tái)，上線后便成了黨員干部學(xué)習(xí)的“新助手”．為了調(diào)研某地黨員對(duì)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”App的了解程度，探討人員隨機(jī)抽取了200名該地的黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們?nèi)靸?nèi)在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”App上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表所示：分?jǐn)?shù)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)601002020頻率(1)請(qǐng)完善上表中的數(shù)據(jù)；(2)若該地區(qū)的黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”App上的得分聽(tīng)從正態(tài)分布Z～N(μ，σ2)，其中μ近似為這200名黨員三天內(nèi)得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，σ2近似為這200名黨員三天內(nèi)得分的方差，求P(57.4<Z≤83.8)；(3)以表格中的頻率估計(jì)概率，若從該地區(qū)全部黨員中隨機(jī)抽取4人，記這4人在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”App三天內(nèi)的得分不低于80分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.2，eq\r(6)≈2.4，eq\r(7)≈2.6.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.解題思路(1)依據(jù)頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)計(jì)算、填表；(2)先依據(jù)平均數(shù)和分差的計(jì)算公式及提示，求出μ和σ，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性求概率；(3)先依據(jù)題意推斷隨機(jī)變量X是否聽(tīng)從二項(xiàng)分布，并確定獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)和事務(wù)發(fā)生的概率；再寫(xiě)出X的分布列，最終由二項(xiàng)分布的期望公式求值．規(guī)范解答(1)依據(jù)題意填寫(xiě)統(tǒng)計(jì)表如下．分?jǐn)?shù)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1(2)在Z～N(μ，σ2)中，μ＝65×0.3＋75×0.5＋85×0.1＋95×0.1＝75；σ2＝(65－75)2×0.3＋(75－75)2×0.5＋(85－75)2×0.1＋(95－75)2×0.1＝80；∴σ＝4eq\r(5)≈4×2.2＝8.8，∴P(57.4<Z≤83.8)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝1－P(Z≤μ－2σ)－P(Z>μ＋σ)＝1－eq\f(1,2)×(1－0.9544)－eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.8185.(3)由題意知，得分不低于80分的頻率為0.2，則X～B(4,0.2)，計(jì)算P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)·0.84＝0.4096，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)·0.2·0.83＝0.4096，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)·0.22·0.82＝0.1536，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)·0.23·0.8＝0.0256，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)·0.24＝0.0016，則X的分布列如下，X01234P0.40960.40960.15360.02560.0016數(shù)學(xué)期望為E(X)＝4×0.2＝0.8.熱點(diǎn)題型2概率與回來(lái)分析的綜合應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·安徽省江南十校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，假如年返修率不超過(guò)千分之一，則其生產(chǎn)部門(mén)當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2012～2024年的相關(guān)數(shù)據(jù)如表：年份20122013202420242024202420242024年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)x/萬(wàn)臺(tái)2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y/百萬(wàn)元2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)/臺(tái)2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,x)i＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,y)i＝4，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝72，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝18.045，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝34.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：年返修率＝\f(年返修臺(tái)數(shù),年生產(chǎn)臺(tái)數(shù))))(1)從該公司2012～2024年的相關(guān)數(shù)據(jù)中隨意選取3年的數(shù)據(jù)，用ξ表示3年中生產(chǎn)部門(mén)獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)依據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)覺(jué)2024年數(shù)據(jù)偏差較大，假如去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)y(百萬(wàn)元)關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)x(萬(wàn)臺(tái))的線性回來(lái)方程(精確到0.01)．附：線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解題思路(1)先依據(jù)題意確定哪些年份的考核優(yōu)秀，明確ξ全部可能的取值，然后計(jì)算有關(guān)概率，寫(xiě)出分布列，最終求數(shù)學(xué)期望．(2)先依據(jù)公式和部分計(jì)算結(jié)果求原來(lái)8組數(shù)據(jù)中eq\i\su(i＝1,8,x)iyi和eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)，再計(jì)算去掉2024年數(shù)據(jù)之后的eq\o(b,\s\up6(^))和eq\o(a,\s\up6(^)).規(guī)范解答(1)由數(shù)據(jù)可知該部門(mén)2013,2024,2024,2024,2024五個(gè)年份的考核優(yōu)秀，故ξ的全部可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＝eq\f(5,28)，故ξ的分布列如下，ξ0123Peq\f(1,56)eq\f(15,56)eq\f(15,28)eq\f(5,28)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,56)＋1×eq\f(15,56)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,28)＝eq\f(15,8).(2)由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝72，得eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋8×eq\o(x,\s\up6(－))2＝360.由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝34.5，得eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＋8eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝226.5.故去掉2024年的數(shù)據(jù)之后eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(6×8－6,7)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))′＝eq\f(4×8－3,7)＝eq\f(29,7)，eq\i\su(i≠5,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－))′)2＝eq\i\su(i≠5,7,x)eq\o\al(2,i)－7eq\o(x,\s\up6(－))′2＝360－62－7×62＝72，eq\i\su(i≠5,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－))′)(yi－eq\o(y,\s\up6(－))′)＝eq\i\su(i≠5,7,x)iyi－7eq\o(x,\s\up6(－))′eq\o(y,\s\up6(－))′＝226.5－6×3－7×6×eq\f(29,7)＝34.5，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(34.5,72)≈0.48，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))′－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(29,7)－eq\f(34.5,72)×6≈1.27，所以線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.48x＋1.27.熱點(diǎn)題型3概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·淄博試驗(yàn)中學(xué)模擬)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已漸漸融入了人們的生活．網(wǎng)購(gòu)是特別便利的購(gòu)物方式，為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及狀況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷，并從參加調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男、女各100人進(jìn)行分析，從而得到下表(單位：人)：常常網(wǎng)購(gòu)間或或不用網(wǎng)購(gòu)總計(jì)男性50100女性70100總計(jì)(1)完成上表，并依據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)；(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送實(shí)惠券，求抽取的3人中至少有2人常常網(wǎng)購(gòu)的概率；②將頻率視為概率，從我市全部參加調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中常常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解題思路(1)先依據(jù)2×2列聯(lián)表的特點(diǎn)完成表格，再計(jì)算K2并作出推斷．(2)①依據(jù)第(1)問(wèn)的2×2列聯(lián)表可知，分層抽樣的抽樣比為eq\f(1,10)，進(jìn)而可確定抽取的10人中常常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)和間或或不用網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，然后用古典概型的概率公式和組合數(shù)公式求概率．②確定隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，求試驗(yàn)次數(shù)和事務(wù)發(fā)生的概率，用二項(xiàng)分布的期望、方差公式求值．規(guī)范解答(1)補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下，常常網(wǎng)購(gòu)間或或不用網(wǎng)購(gòu)總計(jì)男性5050100女性7030100總計(jì)12080200由列聯(lián)表可得K2＝eq\f(200×50×30－50×702,100×100×120×80)＝eq\f(25,3)≈8.333>7.879，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)．(2)①由題意得所抽取的10名女市民中常常網(wǎng)購(gòu)的有70×eq\f(10,100