高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)13：§64數(shù)列求和

§64數(shù)列求和

1.已知等差數(shù)列｛%｝滿足⑼=2,且口,改,的成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式.

(2)記S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)〃，使得S”>60〃+800?若存在，求n的最小值;若

不存在，說明理由.

2.已知等差數(shù)列｛a,J滿足；a,=2,且％,外，%成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式.

(2)記S”為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)〃，使得S〃>60〃+800?

若存在求〃的最小值；若不存在，說明理由.

3.已知數(shù)列｛%｝滿足q1=pn,neN\

(1)若｛/｝是遞增數(shù)列，且4,24,3%成等差數(shù)列，求p的值：

(2)若p=g,且｛。21｝是遞增數(shù)列，｛的〃｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

4.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S,=W4,neN\

2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)d=2%+(—04,求數(shù)列也“｝的前2〃項(xiàng)和.

5.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S",且S〃滿足S：-(〃2+小3)，_3(〃2+〃)=O,〃￡M.

(1)求⑶的值.

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)〃，有一!—+—!—+…+—5—<-.

4(q+l)%(。2+1)+3

6.已知等差數(shù)列｛q｝的公差為2,前幾項(xiàng)和為S“，且SpSa'S4成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

4〃

(II)令2=(-1)2--------,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和

7.在等差數(shù)列｛《,｝中，已知d=2,4是％與4等比中項(xiàng).

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)a=%^，記<=一++(T)4求&

q

8.已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和5“二~2二"，neN*.

2

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

⑵證明:對(duì)任意的〃>1,都有〃?￡N',使得04必〃成等比數(shù)歹ij.

9.已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)歹1」｛斯｝｛6｝(?！?,〃仁”),滿足“bn+l-an+lbn+2bn+lbn=U.

(1)令C產(chǎn)％,求數(shù)列｛金｝的通項(xiàng)公式.

b.

⑵若瓦二3叫求數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和Sn.

10.數(shù)列｛/｝滿足q=Vnan+l=(n+\)an+〃(〃+1),，wN*

(1)證明：數(shù)列｛生｝是等差數(shù)列；

n

(2)設(shè)以=3"?J7,求數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和S”

11.已知數(shù)列｛44｝滿足。尸1,%+1=3?！?1.

⑴證明?，是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式.

1113

(2)證明：—?---+...H＜一.

%出%2

12.設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,點(diǎn)（凡,?！ǎ┰诤瘮?shù)的圖象上（〃wN*）.

（1）若4=一2,點(diǎn)（4,4打）在函數(shù)/（功的圖象上，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”；

（2）若q=l,函數(shù)八元）的圖象在點(diǎn)（4,4）處的切線在x軸上的截距為2--求數(shù)

in2

列｛%｝的前〃項(xiàng)和

b.

13.設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,點(diǎn)（凡,"）在函數(shù)f（x）=2、的圖象上（〃wN*）.

（1）證明：數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列;

（2）若q=l,函數(shù)/（X）的圖象在點(diǎn)（心,仇）處的切線在x軸上的截距為2—-求數(shù)

In2

列｛〃/；｝的前〃項(xiàng)和S”.

14.已知｛q｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，S"表示｛4｝的前〃項(xiàng)和.

⑴求凡及S〃

⑵設(shè)也｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比夕滿足復(fù)-⑷+1M+5L。求低｝的通項(xiàng)公

式及其前〃項(xiàng)和

——★參考答案★—

1.解⑴設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公差為4依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+4=2(2+43,

化簡(jiǎn)得f/2-4J=0,

解得d=0或d=4.

當(dāng)d=0時(shí),％=2;

當(dāng)仁4時(shí),廿2+(〃-1).4=4〃2

從而得數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為an-2或a”=4〃-2.

⑵當(dāng)an=2時(shí)$=2〃.

顯然2X60/1+800,

此時(shí)不存在正整數(shù)〃，使得S,,>60/7+800成立.

川一/:[2+(4n-2)].

當(dāng)a產(chǎn)4〃-2時(shí),S,尸-------------=2rr.

2

令2層>60〃+800,即n2-30n-400>0,

解得n>40或〃〈-10(舍去)，

此時(shí)存在正整數(shù)〃，使得S〃>60〃+800成立,〃的最小值為41.

綜上，當(dāng)斯=2時(shí)，不存在滿足題意的兒

當(dāng)a?=4n-2時(shí)，存在滿足題意的〃，其最小值為41.

2.解(1)設(shè)數(shù)列｛a“｝的公差為d,依題意，d,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有

(2+d)2=2(2+4d)

化簡(jiǎn)得d2-4d—0,解得d=O或d=4

當(dāng)d=0時(shí)，a”=2

當(dāng)d=4時(shí)，aM=2+(n-l)-4=4n-2

從而得數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a”=2或a”=4〃-2。

(2)當(dāng)a“=2時(shí)，S“=2〃。顯然2〃v60〃+800

此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得S”>60〃+800成立。

、匕AoiH-c川2+(4n—2)]2

當(dāng)a“二4〃一2時(shí)，Sn=-------------=2n

2

令2〃2>60〃+800,即〃2-30〃-400>0,

解得〃>40或〃<一10（舍去），

此時(shí)存在正整數(shù)〃，使得S“〉60〃+800成立，〃的最小值為41。

綜上，當(dāng)a”=2時(shí)，不存在滿足題意的〃；

當(dāng)a“=4〃-2時(shí)，存在滿足題意的〃，其最小值為41。

3.解（1）因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，所以?！?1-4=〃"，

又4=1,%=P+L。3=/+p+1,

2

因?yàn)閝,24.3%成等差數(shù)列，所以4%=4+3%,4p+4=l+3p2+3p+3,3p=p,

解得P=g，P=0，當(dāng)〃=0，4M—%=°，與｛勺｝是遞增數(shù)列矛盾，所以〃二（。

（2）因?yàn)椋沁f增數(shù)列，所以。2〃+1一。21>。，

于是（小向一生”）+（生“-生?。?①

由于聲V聲T，所以,2〃+1-4〃|VE"一1②

由①@得（生“-生”-J>°，所以出〃一叫"T=弓了!二喏③

22/1-1

因?yàn)椋?“｝是遞減數(shù)列，所以同理可得。2〃+1一。2〃<0,

由③@得知+1—4=￡^—，

所以4=q+（出一％）+（%一%）+…+（%-4-）

，r[7

（一1）2（一1）3+（-l）_1｛2）_41（-1）

一",+丁++萬丁-1+乙

1H--

2

41（-1?

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=；+；彳斗.

332

4.解（1）當(dāng)〃=1時(shí)，/=S]

n2+/?(n-1)2+(/?-1)

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=〃

(2)由(1)知，a=2〃+(—lJZ,記數(shù)列｛九｝的前2〃項(xiàng)和為了幼，

則與“=(21+22+...+22〃)+(—1+2—3+4—...+2”)

記A=2i+22+...+22〃，8=—1+2—3+4—...+2/?,

則A=31二2r2=2?向一2,

1-2

8=(-1+2)+(-3+4)+.......+[-(2〃-1)+2M]=n

故數(shù)列也,｝的前2〃項(xiàng)和篤“=A+B=22n+,+/i-2

5.解⑴令〃=1,則&=即，2.(12+1?3泗?3(12+1)=0,即42+處6=0,

解得0=2或m=-3(舍去).

(2)Sj-(〃2+〃-3)S”-3(〃2+〃)=0

可以整理為(S〃+3)fS〃-(/+〃)」=0,

因?yàn)閿?shù)列｛d｝中小>0,

2

所以S〃#-3,只有Sn=n+n.

當(dāng)n>2時(shí),a*S〃5-I=〃2+〃-(〃-1)2-(〃-1)=2〃，

而“1=2,所以數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為a”=2n(〃GM).

E、,111111

⑶因?yàn)?--------=-------------------：-<----j------------：-,

風(fēng)4+1)2〃(2〃+1)44(〃_%〃+

111

"~~r"""'""r=~~r~‘

(n——)(〃+1——)n——n+i——

4444

所以--------+---------F...H---------------

4(4+1)。2(%+1)

=-1-----1---------1----

1]1

3-4/7+3<3

故對(duì)一切正整數(shù)〃，有——!——+—!—+…+—-—<-.

q（q+l）似。2+1）+D3

6.解⑴d=2,￡=q,S2=2〃]+d,S&=4q+6d,

，,S2，S4成等比Sl=S.S4

解得4=1,/.an=2n-\

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，7；=（1+；）—（；+J+$+9一……+（五g++）-（*+*）

bi、』.12n

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；,=（1+1）-（-+-）+（-+-）-……-（—!—+—!—）+（—!—+—!—

“335572n-32/7-12n-\2〃+1

12n+2

所以。=1+

2n+12n+1

3-,〃為偶數(shù)

所以，=2〃+1

出為奇數(shù)

2n+\

7.解（I）由題意知：

{4}為等差數(shù)列，設(shè)?！?6+（〃一1"，<生為與。4的等比中項(xiàng)

a；=qX4且。尸0，即（4+d）2=4（4+3d）,vd=2解得:ax=2

an=2+（n-l）x2=2H

（I【）由（I）知：an=2n,bn=?n（n+1）=n（/2+l）

①當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí):

7；,=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……+/?(/?+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+....+/z[-(??-l)+(n+l)]

=2x2+4x2+6x2+....+〃x2

=2x(2+4+6+....+〃)

c'72n+2n

=2x------三=----------

22

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):

Tn=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……(〃+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+...+(??-1)[-(n-2)+n]-n(n+1)

=2x2+4x2+6x2+...+(〃-1卜2-〃(〃+1)

=2x[2+4+6+...+(n-l)]-n(n+1)

(2+D

n2+2n+l

=2x—n(H—1)=—

22

n~+2/?+1o火

-----------，〃為奇數(shù)

2

綜上：Tn=

片為偶數(shù)

2

8.解(1)當(dāng)n=l時(shí)flj=Si=l;

當(dāng)論2時(shí)%=S,「S?\=一雙〃一1尸一(〃-1)=3/1-2,

22

對(duì)n=l也滿足，

所以的通項(xiàng)公式為4尸3止2;

(2)由⑴得。尸1,。產(chǎn)3〃2?！笔?〃?-2,

要使縱斯,胡成等比數(shù)列，

需要%2=%x《“，

所以(3沱2)2=3怯2,整理得加=3/-4/?+2￡N",

所以對(duì)任意〃>1,都有使得%2=4X。m成立,

即頷而所成等比數(shù)列.

9.解⑴因?yàn)閮汉停?/p>

所以由016n+1-t/n+l兒+2%也=0,

得％一%±+2=0,即—=2,

\\+1\+|bn

所以C“+M”=2,所以｛七｝是以5=亙=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,

bi

所以Cn=l+(〃-1)x2=2〃-1.

(2)因?yàn)橥?3叫金=2〃-1.

所以。產(chǎn)c滴

所以S?=1x312+3x3a+5x34+...+(2/1-1)3w+,,

3s產(chǎn)1x33+3x34+...+(2n-3)3H+l+(2n-1)3n+2,

作差得:-2S,產(chǎn)32+2(33+34+…+3向)-(2小1)3/2

=9+2x-(2n-l)3n+2=-[18+2(〃-1)3*2],

所以S產(chǎn)9+(%1)3叫

10.解(1)由已知可得也=生-1=&也一%=1,所以｛"｝是以1為首項(xiàng)，1為公差

〃+1n〃+1nn

的等差數(shù)列。

(2)由(1)得%=1+(n-1)=n,所以,從而々=〃.3"，

n

,23

S,f=1.3+2.3+3.3+...+n.3"

234rtrt+,

3S,f=1.3+2.3+3.3+...+(n-l)3+n.3

將以上兩式聯(lián)立可得?2邑=3'+3:+33+...+3w-n.3rt+,

:3.(1-3")n?3叫生網(wǎng)竺

所以S.=⑵-竽“+3

11.解(1)因?yàn)?=1,?！?尸3知+"￡N\

所以為+i+g=3a“+l+g=3(q,+；).

113

所以《凡+二卜是首項(xiàng)為勾+：7=]，公比為3的等比數(shù)列?

2J22

13”3"-1

所以知+—=一，所以4尸

222

121?121

(2)——=----.——=1,當(dāng)〃>1時(shí)，——=-----<-----

&3"-14%3”一13"-1

e”111111l-v3、113

12n

q4an333"TJ[2(3)2

~3

力?1113

所以，一+—+…+一<—.?€N.

4生冊(cè)2

12.解(1)點(diǎn)(〃”,")在函數(shù)/())=2、的圖象上，所以勿=2%,又等差數(shù)列｛6｝的公差

為d,

所以3=——=2”,

a2/

因?yàn)辄c(diǎn)(出，44)在函數(shù)/(x)的圖象上，所以44=2他=4,所以2'=亭=4=4=2,

22

又q=-2,所以Sn=nax——d=-2n+n-n=n-3n.

(2)由/(乃=2"=>/(％)=2'仙2

函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(外，4)處的切線方程為y-H=(2&ln2)(x-%)

所以切線在x軸上的截距為劣-----，從而。2-----=2-----，故a)=2

In2In2In2

從而見二〃，5=2",生_j_

b12"

「123n

T=—I-—7++

n222232"生2=22323+24+」2w+,

所以;1=；+?+最+g+1―n―1n-zzzJ—〃+2