高等數(shù)學(上)-第3版教學課件4-2換元積分法

基礎課教學部

《高等數(shù)學》第二節(jié)

換元積分法一、第一換元積分法二、第二換元積分法三、思政小課堂第二節(jié)換元積分法第四章

不定積分高等數(shù)學（下）

第3版一、第一換元積分法

引例

求dxexò5

分析：在基本積分公式中有

ò+=Cedxexx

那么是否也有

ò+=Cedxexx55

呢？

因為xxxeeCe5555)(1=￠+所以ò+=Cedxexx55是錯誤的。

我們嘗試用用下面的方法：

dxexò5dueu=ò51xdex=ò5551dxex=ò5551

Cexux+=5515回代dueuxu=ò515令

驗證：

xxeCe55)51(=￠+

1.定義：一般的，若)(uF是)(uf的原函數(shù)，即)()(ufuF=￠，則

ò+=CuFduuf)()(

當)(xuj=時，根據(jù)一階微分形式的不變性，我們有：CXFxuCuFduufuxxdxfdxxxf+=+=￠òòò)]([)()()]([)]([)()]([jjjjjjj回代）（積分）（令湊微分

用這個方法計算不定積分，就稱為第一換元積分法，又稱為

湊微分法，其中關鍵的一步就是湊微分。

例1

求ò+dxx8)32(。解：

dxx+ò8)32(Cxxu+++=9)32(18132回代Cu+×99121積分duuux=+ò82132令xdx++ò8)32(3221）（湊微分

例2

求òdxxex2

解：

dxxexò2Cexux+=2212回代Cdueu+ò21積分dueuxu=ò212令dxexò2212湊微分

例3

求òdxxx)cos(ln

解：

dxxxò)cos(lnCxxu+=)sin(lnln回代uduux=òcos21ln令xdxòl(fā)n)cos(ln21湊微分Cu+sin積分

例4求下列不定積分：

（1）

òxdxxsincos3

（2）

dxxxò-2ln11

（3）

dxxxò+)1sin(

（4）

òdxxex21

解：

（1）

ò-=xxd3coscosòxdxx3sincos+-=Cx4cos41

（2）

xdx-=òl(fā)nln112dxxx-òl(fā)n112Cx+=)arcsin(ln

（3）

Cx++-=)1cos(2xdx++=ò)1()1sin(2xdx+=ò)()1sin(2dxxx+ò)1sin(

（4）

dxxexò21xdex-=ò1)1(Cex+-=1

例5

計算下列不定積分

（1）

)0(122>adxxaò-

（2）

dxxaò+221

（3）

òxdxtan

（4）

òxdxcot

（5）

òxdxsec

（6）

òxdxcsc

解：

（1）

Cax+=arcsinaxdax-=ò)(112dxaxa-=ò)(112adxxa>-ò)0(122

（2）

axdaxa+=ò)(1112adxxa+=ò))(1(122

dxxa+ò122Caxa+=arctan1

（3）

xdx-=òcoscos1dxxx=òcossinxdxòtanCx+-=cosln

同理（4）Cxxdx+=òsinlncot

（5）

Cxx++=tanseclnxxdxx++=ò)tan(sectansec1dxxxxxxxdx++=òòtansec)tan(secsecsecdxxxxxx++=òtansectansecsec2

類似地，有

（6）

Cxxxdx+-=òcotcsclncsc

例6求ò-dxax221

解：

我們知道)11(21122axaxaax+--=-所以Caxaxa++-=ln21Caxaxa++--=]ln[ln21axdaxaxdaxa++---=òò])(1)(1[21dxaxaxadxax+--=-òò)11(21122

例7

求下列不定積分

（1）

ò-+dxxx293

（2）

ò+dxex11

（3）

òxdx2cos

（4）

òxdxx3sin5cos

解：

（1）

Cxx+--=29arcsin3

xdxx---=ò22)9(91213arcsin3dxxxdxx-+-=òò22993x9dxx-+ò23

（2）

Cexedexdxeedxdxeeedxexxxxxxxxx++-=++-=+-=+-+=+òòòòò)1ln()1(11111)1(11

（3）

Cxxxxdxxdxdxdxxxdx++=+=+=+=òòòòò2sin412122cos41212cos212122cos1cos2

（4）

Cxxxdxxdxdxxxxdxx+--=+=-=òòòò2cos418cos1612sin418sin161)2sin8(sin213sin5cos

注：積分方法靈活多變，需要做大量的練習才能掌握好，另外，

一個不定積分若采取不同的方法，表面上可得不同的結果，計算中

要注意到這一點，看下面的例子。

例8求òxdxxcossin

解一：

Cxxxdxdxx+==òò2sin21sinsincossin

解二：

Cxxxdxdxx+-=-=òò2cos21coscoscossin

解三：

Cxxdxxdxxdxx+-===òòò2cos412sin412sin21cossin

可以驗證，這三個結果都是正確的，三個原函數(shù)之間彼此只差

一個常數(shù)。

二、第二換元積分法

第一換元積分法是令)(xuj=，但對于有些不定積分來說，

則需要反用第一換元法，即令)(txj=，把t作為新的積分變量，此時，把第一換元積分法反過來就得到：

CxFxtCtFdtttfxxdxxf+=+￠=--òò)]([)()()()]([21)()(11jjjjj回代積分令

這個方法稱為第二換元積分法。因為要求)(txj=有反函數(shù)，并且可微，所以要求)(txj=單調可導，并且0)(1￠tj，為簡便起

見，我們約定，本章所遇到的代換)(txj=都滿足這個要求，不

再一一驗證。

例9求ò+dxx11

解：這個積分困難就在于含有根式x，為了去掉根號，

我們令tx=，則2tx=)0(>t，于是tdtdx2=，

代入原式得：

dtt+-=ò)111(2dttt+-+=ò11)1(2dttt+=ò12dxx+ò11Ctt++-=)1ln(2

再把xt=代回得：

Cxxdxx++-=+ò)]1ln([211

例10

ò+dxxx31

解：

令6tx=，則3tx=，23tx=，dttdtdx566==，

代入原式得：

Ctttt++-+-=)1ln23(623dtttt+-+-=ò)111(62dttt+-+=ò11)1(63dttt+=ò163dtttt-=ò61523dxxx+ò13Cxxxxxt++-+-=)1ln(66326636回代

例11

求下列積分

（1）

ò-dxxa22

（0>a）

（2）

ò+dxax221

（0>a）

（3）

ò-dxax221

（0>a）

解：(1)此積分的困難就在于含有根式，22xa-

我們聯(lián)想三角公式tt22cossin1=-，可用它來消除根號。

令taxsin=（22pp<<t-），則有：

tataaxacossin22222=-=-，

tdtatdadxcossin==

代入原式得

為了把變量t還原為x，必須求出t，tsin，tcos，

由taxsin=得，axt=sin

，

)2,2(pp-?t

于是

axtarcsin=

為了求

tcos，可根據(jù)

axt=sin

作輔助三角形（如圖）

，然后用勾股定理求出第三邊，于是

aaxt22cos-=

Cttata++=cossin212122Cttadtta++=+=ò)2sin21(222cos122tdtatdtata=×=òòcoscoscos22dxxa-ò22將它們代入上述的積分結果中得：

Cxaxaxadxxa+-+=-ò2222221arcsin2

（2）

根據(jù)（1）的經(jīng)驗，可令taxtan=（22pp<<t-），

則tataaxsec)1(tan2222=+=+，tdtatdadx2sectan==

代入原式得：

Ctttdtdttatadxax++===+òòòtanseclnsecsecsec1222

根據(jù)axt=tan，做輔助三角形（如圖）

于是

aaxt22sec+=，代入上述結果中得

Caxaaxdxax+++=+ò12222ln1CxaxCaxax+++=+-++=22122lnlnln

其中aCCln1-=

20p<<t（3）

令taxsin=

（），則

tataaxtan)1(sec2222=-=-，

tdttatdadxtansecsec==

txa22xa+代入原式得：

Ctttdtdttattadxax++===-òòòtanseclnsectantansec122

根據(jù)axt=sec作輔助三角形