2015年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)23 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

高考試題分類解析是以a1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.又由題意得2a2+2=a1+a3?2·2a1+2=a1+4a1?a1=2,則an=2n(n∈N*)(2)由題意得(n∈N*),由等比數(shù)列求和公式得Tn==1-()n,|Tn-1|=|-()n|=()n,n=10時(shí),210=1024,n=9時(shí),29=512,所以|Tn-1|<成立的n的最小值為10.二、解答題15.(2015·湖北高考理科·T18)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.(2)當(dāng)d>1時(shí),記,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【解題指南】(1)由題意可列出方程組QUOTE求解首項(xiàng)、公差、公比,再代入通項(xiàng)公式即可求得.(2)由(1)結(jié)合d>1,可得an=2n-1,bn=2n-1,于是,易發(fā)現(xiàn):cn的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘而得的,直接對其進(jìn)行求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)論.【解析】（Ⅰ）由題意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.16.(2015·湖北高考文科·T19)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.(2)當(dāng)d>1時(shí),記,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【解題指南】(1)由題意可列出方程組QUOTE求解首項(xiàng)、公差、公比,再代入通項(xiàng)公式即可求得.(2)由(1)結(jié)合d>1,可得an=2n-1,bn=2n-1,于是,易發(fā)現(xiàn):cn的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘而得的,直接對其進(jìn)行求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)論.【解析】（Ⅰ）由題意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.17.（2015·重慶高考文科·Ｔ16）已知等差數(shù)列滿足前3項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和【解題指南】（1）直接利用基本量法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式可求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而利用公式求解的前項(xiàng)和【解析】（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得化簡得解得故的通項(xiàng)公式（2）由（1）得設(shè)的公比為，則從而故的前項(xiàng)和18.(2015·福建高考文科·T17)(本小題滿分12分)等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+【解題指南】(1)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算.(2)分組求和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b1019.(2015·湖北高考理科·T22)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),bn=n(1+QUOTE)nan(n∈N*),e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)=1+x-ex的單調(diào)區(qū)間,并比較(1+QUOTE)n與e的大小.(2)計(jì)算，，，由此推測計(jì)算的公式,并給出證明.(3)令,數(shù)列{an},{cn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn,Tn,證明:Tn<eSn.【解題指南】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，即.令，可得，即.（Ⅱ）計(jì)算，，，由此推測計(jì)算的公式，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得由放縮法及基本不等式可得，再根據(jù)分組求和，裂項(xiàng)求和，再次放縮，.即.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)=1-ex.當(dāng)f′(x)>0,即x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f′(x)<0,即x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞減.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).當(dāng)x>0時(shí),f(x)<f(0)=0,即1+x<ex.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推測：②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②.(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=2,②成立.(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),②成立,即.當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=(k+1)(1+QUOTE)k+1ak+1,由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)n=k+1時(shí),②也成立.根據(jù)(ⅰ)(ⅱ),可知②對一切正整數(shù)n都成立.(3)由cn的定義,②,算術(shù)-幾何平均不等式,bn的定義及①得<ea1+ea2+…+ean=eSn.即Tn<eSn.20.（2015·重慶高考理科·Ｔ22）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：【解題指南】（1）由題意結(jié)合遞推關(guān)系可以直接證明數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用題意及放縮法證明.【解析】（1）由有若存在某個(gè)，使得，則由上述遞推公式易知，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意，從而即是一個(gè)公比為的等比數(shù)列故（2）由數(shù)列的遞推關(guān)系變?yōu)樽冃螢橛缮鲜郊?，歸納可得因?yàn)樗詫η蠛偷昧硪环矫妫缮弦炎C的不等式知得綜上，21.(2015·陜西高考文科·T21)(本小題滿分12分)設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn-1,n∈N,n≥2.(1)求f′n(2).(2)證明:fn(x)在(0,23)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0<an-12<13(2【解題指南】(1)求導(dǎo)后代值,利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得解.(2)首先求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,利用零點(diǎn)的存在性定理說明零點(diǎn)的唯一性,并確定其范圍.【解析】(1)由題設(shè)f′n(x)=1+2x+…+nxn-1,所以f′n(2)=1+2×2+…+n·2n-1①由2f′n(2)=1×2+2×22+…+n·2n②①-②得-f′n(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n所以f′n(2)=(n-1)2n+1.(2)因?yàn)閒n(0)=-1<0,所以fn(x)在(0,23又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,所以fn