第七章抽樣推斷

第七章抽樣推斷教學(xué)目標(biāo)：

通過本章內(nèi)容，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)抽樣推斷中的基本原理和方法，抽樣誤差的計(jì)算，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下樣本單位數(shù)的確定等內(nèi)容。第七章抽樣推斷教學(xué)要求：

了解：影響抽樣誤差的因素，常見抽樣組織形式的特點(diǎn)，抽樣誤差產(chǎn)生的原因。理解：抽樣推斷的含義、特點(diǎn)及有關(guān)的基本概念。掌握：抽樣誤差、平均抽樣誤差、極限誤差的涵義與計(jì)算，區(qū)間估計(jì)的基本要素與估計(jì)方法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下樣本單位數(shù)的確定方法。第七章抽樣推斷教學(xué)內(nèi)容：

7.1抽樣推斷的概述7.2抽樣誤差7.3抽樣估計(jì)7.4抽樣單位數(shù)目的確定7.5Excel在抽樣推斷中的應(yīng)用7.1.1抽樣推斷的意義和特點(diǎn)⒈

抽樣推斷的意義抽樣推斷就是按照隨機(jī)的原則，從總體中抽出一部分單位作為樣本進(jìn)行調(diào)查，并利用樣本的實(shí)際資料計(jì)算樣本指標(biāo)，然后根據(jù)樣本指標(biāo)對(duì)總體某一數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計(jì)和推斷的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。7.1.1抽樣推斷的意義和特點(diǎn)⒉抽樣推斷的特點(diǎn)

抽樣推斷是以樣本指標(biāo)數(shù)值去推斷總體指標(biāo)數(shù)值。抽樣推斷必須遵循隨機(jī)原則。抽樣推斷中產(chǎn)生的誤差可以事先計(jì)算并加以控制。7.1.1抽樣推斷的意義和特點(diǎn)⒊抽樣推斷的作用可用于對(duì)無法進(jìn)行全面調(diào)查的總體數(shù)量特征的推斷?？捎糜谀承┎槐匾M(jìn)行全面調(diào)查的總體數(shù)量特征的推斷?？捎糜趯?duì)全面調(diào)查的資料進(jìn)行評(píng)價(jià)和修正?？捎糜谏a(chǎn)過程的質(zhì)量控制。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⒈全及總體和樣本總體全及總體簡(jiǎn)稱總體，是指所要認(rèn)識(shí)對(duì)象的全體，它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全體單位所組成的集合體。用N表示。樣本總體簡(jiǎn)稱樣本，它是從全及總體中隨機(jī)抽取部分單位的集合體。用n表示。總體是確定且唯一的，而樣本是可變的。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⒉全及指標(biāo)和樣本指標(biāo)⑴全及指標(biāo)根據(jù)全及總體單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映總體數(shù)量特征的綜合指標(biāo)稱為全及指標(biāo)。對(duì)于總體中的數(shù)量指標(biāo)，常用的總體指標(biāo)有總體平均數(shù)和總體方差σ2

（或總體標(biāo)準(zhǔn)差σ

）7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念設(shè)有總體變量X為X1、X2、…、Xn，則總體平均數(shù)和總體方差σ2為：7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念總體成數(shù)指標(biāo):對(duì)于總體中的品質(zhì)指標(biāo)，由于各單位的標(biāo)志不能用數(shù)量來表示，所以全及指標(biāo)常以總體成數(shù)指標(biāo)P來表示總體中具有某種性質(zhì)的單位數(shù)在總體全部單位數(shù)中所占的比重，以Q表示總體中不具有某種性質(zhì)的單位數(shù)在總體中所占的比重。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念

設(shè)總體N個(gè)單位中，有N1個(gè)單位具有某種屬性，N0個(gè)單位不具有某種屬性，N1+N0=N，則總體成數(shù)為：7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念

如果品質(zhì)標(biāo)志表現(xiàn)只有“是”、“非”兩種，如性別標(biāo)志表現(xiàn)為男性和女性，產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)志只有合格和不合格。則可以將“是”的標(biāo)志表示為1，而“非”的標(biāo)志表示為0。這時(shí)成數(shù)P就可以看作（0，1）分布的平均數(shù)，并可以計(jì)算相應(yīng)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⑵

樣本指標(biāo)根據(jù)樣本總體各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映樣本數(shù)量特征的綜合指標(biāo)稱為樣本指標(biāo)，也稱統(tǒng)計(jì)量。由于樣本指標(biāo)的數(shù)值隨樣本總體的不同而變化，因此樣本指標(biāo)是一個(gè)隨機(jī)變量。樣本指標(biāo)是用來估計(jì)全及指標(biāo)的，所以和常用的全及指標(biāo)相對(duì)應(yīng)，常用的樣本指標(biāo)有樣本平均數(shù)、樣本方差和樣本成數(shù)等。一般以英文小寫字母表示樣本指標(biāo)。

7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念

設(shè)樣本變量x為x1

、x2、…、xn，則有：7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⒊重置抽樣和不重置抽樣(1)重置抽樣。是從總體N個(gè)單位中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體中抽取一個(gè)單位，并把它看作一次試驗(yàn)，把結(jié)果登記下來，又重新放回，參加下一次抽選，連續(xù)進(jìn)行n次試驗(yàn)構(gòu)成一個(gè)樣本。因而重置抽樣的樣本是由n次相互獨(dú)立的連續(xù)抽取的結(jié)果構(gòu)成，每次抽選是在完全相同的條件下進(jìn)行，每個(gè)單位中選的機(jī)會(huì)在各次都完全相等。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⒊重置抽樣和不重置抽樣(2)不重置抽樣。是從總體N個(gè)單位中抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體中抽取一個(gè)單位，連續(xù)進(jìn)行n次抽選構(gòu)成一個(gè)樣本。但每次抽選出的那個(gè)單位就不再放回參加下一次抽樣。因而不重置抽樣的樣本是由n次連續(xù)抽選的結(jié)果組成，實(shí)質(zhì)上等于一次同時(shí)從總體中抽n個(gè)單位組成一個(gè)樣本。在相同的樣本容量的要求下，重置抽樣的樣本個(gè)數(shù)總是大于不重置抽樣的樣本個(gè)數(shù)。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⒋抽樣調(diào)查的組織形式

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣也稱純隨機(jī)抽樣，它指對(duì)總體不做任何技術(shù)處理（如分類、排序等），完全按隨機(jī)原則直接從總體中抽取樣本單位的抽樣方式。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⑵類型抽樣類型抽樣又稱為分層抽樣，它是將總體先按某一主要研究標(biāo)志分類，然后再從各類中采用一定方式按隨機(jī)原則抽取樣本單位的抽樣組織方式。⑶等距抽樣等距抽樣又稱為系統(tǒng)抽樣或機(jī)械抽樣，它是將全及總體各單位按某一標(biāo)志進(jìn)行排隊(duì)，然后依固定順序和間隔來抽取樣本單位的抽樣方式。7.1.2抽樣推斷的幾個(gè)基本概念⑷整群抽樣整群抽樣又稱為群體抽樣或成批抽樣，它是指將總體各單位依一定標(biāo)準(zhǔn)事先劃分成若干群，然后按純隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣方式從中抽取部分群，對(duì)中選群的所有單位進(jìn)行全面調(diào)查的抽樣組織方式。

7.2抽樣誤差⒈抽樣誤差的意義

(1)登記性誤差即在調(diào)查和整理資料的過程中，由于主、客觀因素的影響而引起的誤差。

(2)代表性誤差即由于樣本的結(jié)構(gòu)情況不足以代表總體特征而導(dǎo)致的誤差。7.2抽樣誤差⒉抽樣平均誤差

抽樣平均誤差誤差是指樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的離差的絕對(duì)數(shù)。在用樣本指標(biāo)估計(jì)相應(yīng)的總體指標(biāo)時(shí)，由于抽樣誤差是隨機(jī)變量，具有取值的多樣性和不確定性等特點(diǎn)，因此就不能以它的某一個(gè)樣本的具體誤差數(shù)值來代表所有樣本與總體之間的平均誤差情況，應(yīng)該用抽樣平均誤差來反映抽樣誤差的平均水平。7.2抽樣誤差⑴抽樣平均誤差的含義抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)，它是所有可能出現(xiàn)的樣本平均數(shù)（或成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差。抽樣平均誤差反映了抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均離差程度，通過抽樣平均誤差能夠反映出樣本指標(biāo)代表性的大小，平均誤差大，說明樣本指標(biāo)對(duì)總體指標(biāo)的代表性低；反之則高。7.2抽樣誤差⑵抽樣平均誤差的計(jì)算抽樣平均誤差的計(jì)算，與抽樣方法和抽樣組織形式有直接聯(lián)系，不同的抽樣方法和抽樣組織形式計(jì)算抽樣平均誤差的方式是不同的。其中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的平均誤差計(jì)算是最基本的，在具體計(jì)算時(shí)又分為重置抽樣和不重置抽樣兩種情況。7.2抽樣誤差抽樣方法平均數(shù)抽樣平均誤差成數(shù)抽樣平均誤差重置抽樣不重置抽樣7.2抽樣誤差⒊影響抽樣誤差的因素

樣本單位數(shù)的多少被研究總體的變異程度抽樣方法和抽樣組織形式7.2抽樣誤差⒋抽樣極限誤差

⑴抽樣極限誤差的含義以抽樣指標(biāo)來估計(jì)總體指標(biāo)，要達(dá)到完全準(zhǔn)確、毫無誤差，這幾乎是不可能的。估計(jì)誤差的大小，是非常重要的。誤差太大，超過一定限度，估計(jì)就毫無價(jià)值。估計(jì)誤差越小，雖然準(zhǔn)確度越高，但勢(shì)必增加人力和財(cái)力的投入。7.2抽樣誤差

抽樣極限誤差就是隨機(jī)變動(dòng)的樣本指標(biāo)與確定不變的全及指標(biāo)之間離差的可變范圍。設(shè)、分別表示樣本平均數(shù)的抽樣極限誤差和樣本成數(shù)的抽樣極限誤差，則有：將上面的等式變換為下列不等式關(guān)系：7.2抽樣誤差⑵

抽樣極限誤差的計(jì)算基于概率估計(jì)的要求，抽樣極限誤差通常需要以抽樣平均誤差或?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)單位來衡量。把抽樣極限誤差或分別除以或，得相對(duì)數(shù)t，它表示誤差范圍為抽樣平均誤差的若干倍，t是測(cè)量估計(jì)可靠程度的一個(gè)參數(shù)，稱為抽樣誤差的概率度。7.2抽樣誤差

抽樣估計(jì)的概率度是表明樣本指標(biāo)和總體指標(biāo)的誤差不超過一定范圍的概率保證程度。由于樣本指標(biāo)隨著樣本的變動(dòng)而變動(dòng)，它本身是一個(gè)隨機(jī)變量，因而樣本指標(biāo)和總體指標(biāo)的誤差仍然是一個(gè)隨機(jī)變量，并不能保證誤差不超過一定范圍這個(gè)事件是必然事件，而只能給以一定程度的概率保證。因此，就有必要計(jì)算樣本指標(biāo)落在一定區(qū)間范圍內(nèi)的概率，這種概率稱為抽樣估計(jì)的概率保證程度。7.2抽樣誤差

根據(jù)抽樣極限誤差的基本公式得出，概率度t的大小要根據(jù)對(duì)推斷結(jié)果要求的把握程度來確定，即根據(jù)概率保證程度的大小確定。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明，概率度t與概率保證程度F(t)之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，給定t值，就可以計(jì)算出F(t)來；相反，給出一定的概率保證程度F(t)，則可以根據(jù)總體的分布，獲得對(duì)應(yīng)的t值。7.2抽樣誤差

從抽樣極限誤差的計(jì)算公式來看，抽樣極限誤差⊿與概率度t和抽樣平均誤差三者之間存在如下關(guān)系：

①在值保持不變的情況下，增大t值，抽樣極限誤差⊿也隨之?dāng)U大，這時(shí)估計(jì)的精確度將降低；反之，要提高估計(jì)的精確度，就得縮小t值，此時(shí)概率保證程度也會(huì)相應(yīng)降低。

②在t值保持不變的情況下，如果值小，則抽樣極限誤差⊿就小，估計(jì)的精確度就高；反之，如果值大，抽樣極限誤差⊿就大，估計(jì)的精確度就低。7.3抽樣估計(jì)抽樣估計(jì)是指利用抽樣調(diào)查的樣本指標(biāo)的數(shù)值，采用一定的估計(jì)方法，估計(jì)和推斷總體指標(biāo)數(shù)值的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。由于總體指標(biāo)是表明總體數(shù)量特征的參數(shù)，因而抽樣估計(jì)又稱參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種方法。7.3抽樣估計(jì)⒈

點(diǎn)估計(jì)亦稱定值估計(jì)，是指用樣本指標(biāo)直接作為總體相應(yīng)指標(biāo)的估計(jì)值的一種估計(jì)方法。一般就是直接用樣本平均數(shù)或成數(shù)作為總體平均數(shù)或成數(shù)的估計(jì)值，即：7.3抽樣估計(jì)⒉區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)是在一定概率保證下，以點(diǎn)估計(jì)值為中心的一個(gè)置信區(qū)間。估計(jì)全及指標(biāo)的推斷方法。區(qū)間估計(jì)的基本公式為：7.3抽樣估計(jì)

總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)必須同時(shí)具備三個(gè)要素：估計(jì)值、抽樣誤差范圍和概率保證程度。估計(jì)值是抽樣估計(jì)的基礎(chǔ)，抽樣誤差范圍決定估計(jì)的準(zhǔn)確性，而概率保證程度則決定估計(jì)的可靠性。

根據(jù)給定的條件不同，總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的方法有以下兩種：7.3抽樣估計(jì)⑴根據(jù)給定的抽樣誤差范圍，求概率保證程度具體的步驟是：①抽取樣本，計(jì)算抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差和抽樣平均誤差。②根據(jù)給定的抽樣誤差范圍，估計(jì)總體的下限和上限。③抽樣誤差范圍除以抽樣平均誤差求出概率度t值，并根據(jù)t值查“正態(tài)分布概率表”求出相應(yīng)的概率保證程度。④對(duì)總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，并說明概率保證程度。

7.3抽樣估計(jì)【7.1】某單位按簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣方式抽取40名職工，對(duì)其業(yè)務(wù)情況進(jìn)行考核，抽查的資料分組列入表7.1，要求平均分?jǐn)?shù)的允許誤差范圍Δx=3.4分，試估計(jì)該單位職工業(yè)務(wù)考核的平均成績(jī)的區(qū)間范圍。解：

⑴計(jì)算抽樣平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和抽樣平均誤差：7.3抽樣估計(jì)成績(jī)(分)組中值(x)人數(shù)(人)fxf60以下553165-22145260~70656390-1286470~8075151125-26080~9085121020876890~100954380181296合計(jì)---403080---4440表7.17.3抽樣估計(jì)

⑵根據(jù)給定的Δx=3.4分，計(jì)算總體平均數(shù)的上下限：7.3抽樣估計(jì)⑶求t值，并根據(jù)根據(jù)t值查“正態(tài)分布概率表”求得置信度：查表求得置信度F(t)=0.9545。⑷對(duì)總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)：在95.45%的概率保證程度下，該單位全部職工業(yè)務(wù)考核成績(jī)?cè)?3.6~80.4之間。7.3抽樣估計(jì)⑵根據(jù)給定的置信度要求，推算抽樣極限誤差可能范圍具體的步驟是：①抽取樣本，計(jì)算抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本平均誤差。②根據(jù)給定的置信度F(t)要求，查“正態(tài)分布概率表”求出概率度t值。③根據(jù)概率度t和抽樣平均誤差推算極限誤差的可能范圍，并根據(jù)抽樣極限誤差求出被估計(jì)總體指標(biāo)的上下限。④對(duì)總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)。7.3抽樣估計(jì)【7.2】某學(xué)校進(jìn)行一次英語測(cè)驗(yàn)，為了解學(xué)生的考試情況，隨機(jī)抽選部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，抽查的資料分組列入表7.2，試以95.45%的概率保證程度，估計(jì)該校學(xué)生英語考試的平均成績(jī)的區(qū)間范圍及該校學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生所占的比重范圍。7.3抽樣估計(jì)成績(jī)(分)組中值(x)人數(shù)(人)fxf60以下5510550-21.64665.660~7065201300-11.62691.270~8075221650-1.656.3280~90854034008.42822.490~10095876018.42708.48合計(jì)---1007660---12944表7.27.3抽樣估計(jì)解：⑴該校學(xué)生英語考試平均成績(jī)的范圍：①計(jì)算抽樣平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和抽樣平均誤差7.3抽樣估計(jì)

②根據(jù)給定的概率保證程度F(t)=95.45%，查“正態(tài)分布概率表”求得t=2。③計(jì)算抽樣極限誤差，并估計(jì)總體平均數(shù)的上下限：Δx=tμx=2×1.14=2.28（分）該校學(xué)生考試平均成績(jī)上下限為：7.3抽樣估計(jì)④對(duì)總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)：在95.45%的概率保證程度下，估計(jì)該校學(xué)生英語考試的平均成績(jī)?cè)?4.32~78.88分之間。⑵該校學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的比重范圍：①計(jì)算比率、方差和抽樣成數(shù)的平均誤差：7.3抽樣估計(jì)

②根據(jù)給定的F(t)=95.45%，查概率表得t=2。③計(jì)算抽樣極限誤差，并估計(jì)總體平均數(shù)的上下限：

Δp=tμp=2×4.996%=9.992%80分以上學(xué)生所占比重的上下限為：7.3抽樣估計(jì)④對(duì)總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)：在95.45%的概率保證程度下，該校學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生所占的比重范圍在38.01%~57.99%之間。7.4抽樣單位數(shù)目的確定

抽樣單位數(shù)目的多少是決定抽樣誤差大小的主要因素