福建省南平市順昌縣建西中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

/福建省南平市順昌縣建西中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面四邊形ABCD中，，，且，現(xiàn)將沿著對(duì)角線BD翻折成，則在折起至轉(zhuǎn)到平面BCD內(nèi)的過程中，直線與平面BCD所成角最大時(shí)的正弦值為(

)A．

B．

C.

D．參考答案：D設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，由于AB＝AD，CB＝CD，所以AC⊥BD，因此在折疊過程中，A’C在平面ACD內(nèi)的射影是CO，所以是直線A’C與平面BCD所成的角，由已知可得OA＝OA’＝，OC＝2，易知在中，當(dāng)時(shí)，最大，且．故選D．

2.已知復(fù)數(shù)z=1+i,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略3.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；②函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)是偶函數(shù)；④函數(shù)在上是增函數(shù).其中正確的命題的序號(hào)是

．參考答案：.①②③略4.在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），給出△ABC滿足條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程下表給出了一些條件及方程：條件方程①△ABC周長(zhǎng)為10C1：y2=25②△ABC面積為10C2：x2+y2=4（y≠0）③△ABC中，∠A=90°C3：+=1（y≠0）則滿足條件①，②，③的軌跡方程依次為（）A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3 C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2參考答案：A【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】①中可轉(zhuǎn)化為A點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)，符合橢圓的定義，利用定義法求軌跡方程；②中利用三角形面積公式可知A點(diǎn)到BC距離為常數(shù)，軌跡為兩條直線；③中∠A=90°，可用斜率或向量處理．【解答】解：①△ABC的周長(zhǎng)為10，即AB+AC+BC=10，∵BC=4，∴AB+AC=6＞BC，故動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為橢圓，與C3對(duì)應(yīng)；②△ABC的面積為10，∴BC?|y|=10，即|y|=5，與C1對(duì)應(yīng)；③∵∠A=90°，∴=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，與C2對(duì)應(yīng)．故選：A．5.已知集合，，若，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設(shè)集合，，則（A）（B）（C）（D）參考答案：C7.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度．則此質(zhì)點(diǎn)在第8秒末到達(dá)點(diǎn)P（4，2）的跳法共有（）A．98 B．448 C．1736 D．196參考答案：B【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】由題意跳動(dòng)8次從原點(diǎn)O到P（4，2），可以分為2類，第一類，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，第二類，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理即可得到答案．【解答】解：可分二種情況來解．第一類，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，故有C84C43=280種，第二類，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，故有C85C32=168種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有280+168=448，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題．8.在等差數(shù)列{an}中，若a6+a8+a10=72，則2a10﹣a12的值為（）A．20 B．22 C．24 D．28參考答案：C【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故選：C．9.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為A. B.C. D.參考答案：C四棱錐的表面積為10.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，的外接圓半徑為，若邊上一點(diǎn)滿足，且，則的面積為

.參考答案：12.某學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行該校大型活動(dòng)的知曉情況分層抽樣調(diào)查．若該校的高一學(xué)生、高二學(xué)

生和高三學(xué)生分別有800人、1600人、1400人．若在高三學(xué)生中的抽樣人數(shù)是70，則在

高二學(xué)生中的抽樣人數(shù)應(yīng)該是

．參考答案：8013.圓心在y軸上，且與直線2x+3y﹣10=0相切于點(diǎn)A（2，2）的圓的方程是．參考答案：x2+（y+1）2=13考點(diǎn)：圓的切線方程．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：設(shè)圓心為A（0，b），則=，求出b，即可得出圓的方程．解答：解：設(shè)圓心為A（0，b），則=，∴b=﹣1，∴圓的方程是x2+（y+1）2=13．故答案為：x2+（y+1）2=13．點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓相切，求出圓心坐標(biāo)是關(guān)鍵14.已知正實(shí)數(shù),則的值為___________.參考答案：略15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,N,則數(shù)列的前項(xiàng)和為

.

參考答案：16.過拋物線的焦點(diǎn)，且被圓截得弦最長(zhǎng)的直線的方程是_____________參考答案：x+y-1=0

略17.在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則=________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知，且．（1）求證：；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍．參考答案：見解析考點(diǎn)：不等式證明：（Ⅰ）所以當(dāng)且及僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。（Ⅱ）由（Ⅰ）知對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于 因?yàn)橹恍?，即?9.

已知數(shù)列，滿足條件：，．（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得對(duì)任意N*都成立的正整數(shù)的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）∵∴，∵，…………2分∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

∴∴

…………4分（Ⅱ）∵，

…………6分∴

．

…………8分

∵，又，∴N*，即數(shù)列是遞增數(shù)列．∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．

…………10分

要使得對(duì)任意N*都成立，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，只需，由此得．∴正整數(shù)的最小值是5．

…………12分

略20.已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;(II)若,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求整數(shù)的最大值.參考答案：解：(I)因?yàn)椋?dāng)a≤0時(shí)，，所以函數(shù)在其定義域R上為增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，由得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(II)當(dāng)a=1時(shí)，，若g(x)在區(qū)間(0,＋∞)上為增函數(shù)，則在(0,＋∞)上恒成立，即在(0,＋∞)上恒成立，令，令，又當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí)，所以函數(shù)在(0,＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為α，即由上可知x∈(0,α)時(shí)L(x)＜0，即；當(dāng)x∈(α,＋∞)時(shí)L(x)＞0，即，所以有最小值，把代入上式可得,又因?yàn)?所以,又恒成立,所以,又因?yàn)闉檎麛?shù),所以,所以整數(shù)的最大值為1.略21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，

N*，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若存在

N*，使得，，成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的N*，且，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.參考答案：解析：（Ⅰ）由已知可得，兩式相減可得，即，又，所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列為a,0,0……,0，……；當(dāng)時(shí)，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，。綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（Ⅱ）對(duì)于任意的，且，是否成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r=0時(shí)，由（Ⅰ），知，故對(duì)于任意的，且，7成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，。若存在，使得成等差數(shù)列，則，，即，由（Ⅰ），知的公比，于是對(duì)于任意的，且，，從而，，即成等差數(shù)列。綜上，對(duì)于任意的，且，成等差數(shù)列。22.（本小題滿分12分）如圖1，，，過動(dòng)點(diǎn)作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿

將折起，使（如圖2所示）．

圖1

圖2（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。畢⒖即鸢福海↖）；（II）是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，大小為．試題解析：解析：（Ⅰ）方法一：在圖1所示的中，設(shè)，則.由，知，為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后(如圖2)，，，且.所以平面.又，所以.于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，即時(shí)，三棱錐的體積最大．方法二：同方法一，得.令，由，且，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大．（Ⅱ）方法一：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，.于是可得，，且．設(shè)，則，因?yàn)榈葍r(jià)于，解得，．所以當(dāng)(即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí)，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，及，得可取．設(shè)與平面