中考數(shù)學二輪復習幾何專項知識精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓練專題28 網(wǎng)格中的三角函數(shù)（提優(yōu)）-（解析版）

專題28網(wǎng)格中的三角函數(shù)（提優(yōu)）一．選擇題1．在4×5網(wǎng)格中，A，B，C為如圖所示的格點（正方形的頂點），則下列等式正確的是（）A．sinA=32 B．cosA=12 C．tanA=【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三邊的長，進而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊銳角三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：由網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sinA＝sin45°=22，cosA＝cos45°=22，tan∴選項D是正確的，故選：D．【點評】本題考查勾股定理及逆定理，特殊銳角三角函數(shù)值，掌握勾股定理及逆定理和特殊銳角三角函數(shù)值是正確判斷的前提．2．如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則cos∠C＝（）A．12 B．22 C．32【分析】連接BD，根據(jù)圖形，可以求得AB、AD、DB的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到△ADB時直角三角形，再根據(jù)圖形，可以得到AC、BC的長，即可得到CD的長，然后即可得到cos∠C的值．【解答】解：連接BD，由圖可得，BD=12+22=5∴BD2+AD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，∵AC=32+62=35，∴CD＝25，∴cos∠C=CD故選：D．【點評】本題考查解直角三角形、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．在如圖網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點O，則∠AOC的正切值是（）A．23 B．32 C．35【分析】如圖取格點K，連接BK，則CD∥BK．過點K作KH⊥AB于H．利用面積法求出HK，再利用勾股定理求出BH即可解決問題．【解答】解：如圖取格點K，連接BK，則CD∥BK．過點K作KH⊥AB于H．∵S△ABK=12?AK?4=12?AB?KH∴HK=20∵BH=B∵CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，∴tan∠AOC＝tan∠ABK=HK方法二：如圖取格點M，連接AM，BM．證明∠AMB＝90°，求出tan∠ABM即可解決問題．故選：A．【點評】本題考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．4．△ABC在網(wǎng)格中按如圖所示放置，則sinA的值是（）A．12 B．22 C．32【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D．利用勾股定理先求出AC、AB的長，再利用三角形的面積求出BD的長，在Rt△ABD中，求出sinA．【解答】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D．在Rt△AEC中，AC=AE2在Rt△AEB中，AB=A∵S△ABC=12BC=12×=15又∵S△ABC=12AC=12×3∴12×35×∴BD=5∴sinA=BD故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD＝（）A．5 B．3 C．10 D．2【分析】根據(jù)網(wǎng)格，設(shè)出小正方形的邊長為1，表示出AD＝DC=2，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出DP=13DC，進而在Rt【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，由圖形可知，AD=DC=2∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD⊥DC．∵AC∥BD，∴ACBD∴PC＝2DP，∴AD＝DC＝3DP，∴tan∠APD=AD故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系和平行線分線段成比例定理是解決問題的前提．6．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點若△ABC的頂點都在格點上，則cos∠ABC的值是（）A．13 B．12 C．55【分析】首先判斷∠ACB＝90°，利用勾股定理求出AB，BC即可解決問題．【解答】解：觀察圖象可知：∠ACB＝90°，∵AB=32+4∴cos∠ABC=BC故選：C．【點評】本題考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E均在格點上，連接AB，BC，CD，AE，線段AE的延長線交BC于點F，則tan∠AFB的值（）A．12 B．33 C．49【分析】如圖，連接MC和BM，把∠AFB轉(zhuǎn)化成∠BCM，進而證明∠BMC＝90°，問題便迎刃而解．【解答】解：如圖，連接MC和BM，∵AM∥EC，AM＝EC＝1，∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴AF∥MC，∴∠AFB＝∠MCB，∵tan∠ABM=AMAB=14∴∠ABM＝∠CMN，∵∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠CMN+∠AMB＝90°，∴∠BMC＝90°，∴tan∠AFB＝tan∠BCM=BM故選：A．【點評】本題是解直角三角形的應用，難度較大，主要考查了解直角三角形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是把所求角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到格點直角三角形中解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想．8．如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長都為1，點A，B，C在正方形的頂點處，則cos∠ACB的值為（）A．23417 B．22 C．85【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)勾股定理可以求得AC、CE的長，再根據(jù)等積法可以求得AH的長，再利用勾股定理即可求得CH的長，從而可以求得cos∠ACB的值．【解答】解：如右圖所示，∵網(wǎng)格中小正方形的邊長都為1，∴CE=22+42=25，AC作AH⊥CE于點H，∵CE?AH2∴25解得，AH=6∵AC=17，AH=655，∠∴CH=(∴cos∠ACH=CH即cos∠ACB=7故選：D．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理解答．9．在如圖所示8×8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則∠AED的正切值是（）A．2 B．12 C．23 【分析】如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【解答】解：如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK=AK故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．二．填空題10．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點O，則∠AOC的正弦值是35【分析】連接BE，過點E作EF⊥AB于點F．說明CD∥BE，∠ABE＝∠AOC，利用勾股定理和三角形的面積公式求出EF、BE，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠ABE的正弦值得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BE，過點E作EF⊥AB于點F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四邊形DBEC是平行四邊形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵AB=22+S△ABE=12AB×EF=12×25∴EF=3在Rt△BEF中，∵BE=1+∴sin∠ABE==3=3∴sin∠AOC=3故答案為：35【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理等知識點，作平行線把∠AOC平移到∠ABE是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則tan∠ACB等于3．【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，先求出△ABC的各邊及CD的長，利用三角形的面積公式再求出BD的長，最后在直角三角形中求出∠ACB的正切值．【解答】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D．∵AB＝5，AC=1+32=∴CD=10∵S△ABC＝15?32?12S△ABC=12×AC∴12×10∴BD=15在Rt△BCD中，tan∠ACB=BD故答案為：3．【點評】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系并利用勾股定理和三角形的面積求出BD的長，是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，點A，B，C為正方形網(wǎng)格中的3個格點，則tan∠ACB＝2．【分析】連接格點B、D．利用勾股定理先計算BC、AB、CD、AD的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，再判定△BCD是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠ACB的正切值．【解答】解：如圖，連接格點B、D．∵BC＝AB=12+32=∴BD⊥AC．在Rt△BCD中，BD=BC2tan∠ACB=BD故答案為：2．【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形，根據(jù)題目特點構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．13．在如圖所示的網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則∠AED的正切值是12【分析】如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【解答】解：如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK=AK故答案為：12【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖，將∠AOB放在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，若點A，O，B都在格點上，則tan∠AOB＝2．【分析】利用格點構(gòu)造直角三角形即可解決問題．【解答】解：如圖，取格點E，連接AE，OE．在Rt△AEO中，tan∠AOB=AE故答案為2．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)造直角三角形解決問題．15．如圖，在1×3的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APC＝2．【分析】如圖，連接BE交CD于O．證明OB＝2OP，即可解決問題．【解答】解：如圖，連接BE交CD于O．∵四邊形BDEC是正方形，∴BE⊥CD，OC＝OD＝OE＝OB∴∠POB＝90°，∵AD∥BC，∴PCPD∴PC＝OP，∴OB＝2OP，∵∠APC＝∠BPO，∴tan∠APC＝tan∠BPO=OB故答案為：2．【點評】本題考查解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．16．如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝277【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α＝30°，同理可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°結(jié)合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD【解答】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°，同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a=3a，∴AD=AE∴sin（α+β）=AE故答案為：27【點評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律等知識；構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．如圖，是由10個小正三角形構(gòu)造成的網(wǎng)格圖（每個小正三角形的邊長均為1），則sin（α+β）＝277【分析】如圖，連接BC，構(gòu)造直角三角形ABC，由正三角形及菱形的對角線平分對角的性質(zhì)，得出∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，從而α+β＝∠ACB，分別求出△ABC的邊長，利用正弦函數(shù)的定義可得答案．【解答】解：如圖，連接BC∵上圖是由10個小正三角形構(gòu)造成的網(wǎng)格圖∴任意相鄰兩個小正三角形都組成一個菱形∴∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，∴α+β＝∠ACB∵每個小正三角形的邊長均為1∴AB＝2，在Rt△DBC中，BCBD=BC1∴BC=∴在Rt△ABC中，AC=∴sin（α+β）＝sin∠ACB=故答案為：27【點評】本題考查了構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值，正確作出輔助線，明確正弦函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．18．在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點A，B和C，D，AB和CD相交于點O，則tan∠BOC的值為103【分析】如圖，連接AD，取格點E，連接DE，則E，D，C共線．在Rt△AOD中，求出AD，OD即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AD，取格點E，連接DE，則E，D，C共線．∵AE∥BC，∴BCAE∵EC＝42，ED＝DC＝AD＝22∴OC=4∴OD＝22?∵∠ADO＝90°，∴tan∠BOC＝tan∠AOD=AD故答案為53【點評】本題考查解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．19．（1）如圖1，如果ɑ，β都為銳角，且tanɑ=13，tanβ=12，則ɑ+β＝（2）如果ɑ，β都為銳角，當tanɑ＝5，tanβ=23時，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角ɑ，畫出∠MON，使得∠MON＝ɑ﹣β．此時ɑ﹣β＝【分析】（1）如圖1中，只要證明△ABC是等腰直角三角形即可解決問題．（2）如圖2中，由OB=26，MB＝22，OM＝32，推出OB2＝MB2+OM2，推出∠BMO＝90°，推出tan∠MOB=23，推出∠MOB＝β，由∠OBN＝α，即可推出∠MON＝α﹣β【解答】解：（1）如圖1中，∵AC=5，BC=5，AB∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴α+β＝45°．故答案為45°；（2）如圖2中，∵OB=26，MB＝22，OM＝32∴OB2＝MB2+OM2，∴∠BMO＝90°，∴tan∠MOB=2∴∠MOB＝β，∵∠BON＝α，∴∠MON＝α﹣β＝45°．故答案為45．【點評】本題考查解直角三角形、勾股定理的逆定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．如圖，在2×2的網(wǎng)格中，以頂點O為圓心，以2個單位長度為半徑作圓弧，交圖中格線于點A，則tan∠ABO的值為2+3【分析】連接OA，過點A作AC⊥OB于點C，由題意知AC＝1、OA＝OB＝2，從而得出OC=OA2?AC2=3、BC＝OB﹣OC＝2?【解答】解：如圖，連接OA，過點A作AC⊥OB于點C，則AC＝1，OA＝OB＝2，∵在Rt△AOC中，OC=O∴BC＝OB﹣OC＝2?3∴在Rt△ABC中，tan∠ABO=ACBC=故答案是：2+3【點評】本題主要考查解直角三角形，根據(jù)題意構(gòu)建一個以∠ABO為內(nèi)角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題21．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，線段AB、CD的端點均為格點．（1）AB的長度為25，CD的長度為13（2）若AB與CD所夾銳角為α，求tanα的值．【分析】（1）把AB和CD看成格點直角三角形的斜邊，再根據(jù)勾股定理進行解答便可；（2）找一格點E，使得CE∥AB，再過E作EF⊥CD于G，得另的格點F，由△DEG∽△FED的比例線段求得EG，DG，進而得CG，再計算∠ECG的正切值，便是tanα的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，AB=2CD=2故答案為：25；13；（2）取格點E，連接CE，則CE∥AB，取格點F，連接EF，使得EF于點G，如圖所示∵∠EDF＝∠EGD＝90°，∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED，∴EGED=DG∴EG=41313，∴CG＝CD﹣DG=7∴tan∠ECG=EG∵AB∥CE，∴α＝∠ECG，∴tanα=4【點評】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．22．如圖，射線OA放置在4×5的正方形虛線網(wǎng)格中，現(xiàn)請你在圖中找出格點（即每個小正方形的頂點）B，并連接OB、AB使△AOB為直角三角形，并且（1）使tan∠AOB的值為1；（2）使tan∠AOB的值為12【分析】根據(jù)tan∠AOB的值分別為1、12【解答】解：（1）如圖1所示：（2）如圖2所示；【點評】此題主要考查了應用設(shè)計與作圖，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．23．如圖，是由邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格，點A，B，C均在格點上，連接BC．（1）tan∠ABC的值等于15（2）在網(wǎng)格中，用無刻度直尺，畫出∠CBD，使tan∠CBD=2【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即刻得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)值作出圖形即可．【解答】解：（1）如圖，在Rt△BCE中，tan∠ABC=1故答案為：15（2）如圖所示，tan∠CBD=2【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．24．閱讀下列的材料，某數(shù)學學習小組遇到這樣的一個問題：如圖α、β都為銳角，且tanα=14，tanβ=35，求該數(shù)學課外小組最后是這樣解決問題的，如圖1，把α、β放在正方形網(wǎng)格中，使得∠ABD＝α，∠CBE＝β，且BA，BC直線BD的兩側(cè)，連接AC．（1）觀察圖象可知，α+β＝∠ABC＝45°；（2）請參考該數(shù)學小組的方法解決問題：如果α，β都為銳角，當tanα＝3，tanβ=12時，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角α，畫出∠MON＝α﹣β，并求∠【分析】（1）由BC2＝AB2+AC2＝2AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，那么α+β＝∠ABC＝45°；（2）連接MN，由OM2＝ON2+MN2＝2ON2，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，那么α﹣β＝∠MON＝45°．【解答】解：（1）如圖1．∵BC2＝32+52＝34，AB2＝42+12＝17，AC2＝42+12＝17，∴BC2＝AB2+AC2＝2AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴α+β＝∠ABC＝45°．故答案為45；（2）如圖2，連接MN．∵OM2＝32+12＝10，ON2＝22+12＝5，MN2＝22+12＝5，∴OM2＝ON2+MN2＝2ON2，∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，∴α﹣β＝∠MON＝45°．【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作圖﹣應用與設(shè)計作圖，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進行計算，判斷所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．如圖，由12個形狀、大小完全相同的小矩形組成一個大的矩形網(wǎng)格，小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)格的格點，已知這個大矩形網(wǎng)格的寬為6，△ABC的頂點都在格點．（1）求每個小矩形的長與寬；（2）在矩形網(wǎng)格中找一格點E，使△ABE為直角三角形，求出所有滿足條件的線段AE的長度．（3）求sin∠BAC的值．【分析】（1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，根據(jù)圖形可知小矩形的長與寬間的數(shù)量關(guān)系有兩個：2個矩形的寬＝矩形的長；兩個矩形的寬+1個矩形的長＝6，據(jù)此列出方程組，并解答即可；（2）利用圖形和勾股定理逆定理進行解答；（3）由銳角三角函數(shù)的定義進行解答．【解答】解：（1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，依題意得：x+2y=62y=x解得x=3y=1.5所以每個小矩形的長為3，寬為1.5；（2）如圖所示：，AE＝3或35或32（3）∵由圖可計算AC=3∴AB=3設(shè)AC邊上的高為h．則有12?35?h=12?∴h=∴sin∠BAC=6【點評】本題考查了四邊形綜合題，需要掌握二元一次方程組的應用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義的應用，主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力，求三角函數(shù)值需構(gòu)建直角三角形是解此類題的常用作法．26．數(shù)學老師布置了這樣一個問題：如果α，β都為銳角．且tanα=13，tanβ=12．求甲、乙兩位同學想利用正方形網(wǎng)格構(gòu)圖來解決問題．他們分別設(shè)計了圖1和圖2．（1）請你分別利用圖1，圖2求出α+β的度數(shù)，并說明理由；（2）請參考以上思考問題的方法，選擇一種方法解決下面問題：如果α，β都為銳角，當tanα＝5，tanβ=23時，在圖3的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角α，畫出∠MON，使得∠MON＝α﹣β．求出α﹣【分析】（1））①如圖1中，只要證明△AMC≌△CNB，即可證明△ACB是等腰直角三角形．②如圖2中，只要證明△CEB∽△BEA，即可證明∠BED＝α+β＝45°．（2）如圖3中，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α﹣β，只要證明△MFN≌△NHO即可解決問題．【解答】解：（1）①如