高考重難點(diǎn)題型歸納：第30講 排列組合12種題型歸納（原卷版）

第30講排列組合12類

【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空

【典例分析】

1.有匹男生，三女生站一排，其中只有倆個(gè)女生相鄰：

2.有匹男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個(gè)女生相鄰：

【變式演練】

L在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場(chǎng),

且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

2.某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是（）

A.144B.120C.72D.48

3.2021年4月15日，是第六個(gè)全民國(guó)家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個(gè)不同高校進(jìn)行國(guó)家安

全知識(shí)的宣講，時(shí)間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個(gè)，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宜

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.2g種B.32種C.36種D.44種

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個(gè)小區(qū)涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7

【變式演練】

1.正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、。、E、尸六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且

恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,。，E,廣，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

A.192B.336C.600D.以上答案均不對(duì)

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表

面涂色（底面44c不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【變式演練】

L如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

2.在如圖所示的d'■一面體ABCDERG”/中，用3種不同顏色給這個(gè)幾何體各個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏

色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

3,用五種不同顏色給三棱臺(tái)ABC-。砂的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不

同顏色.則不同的染色方法有那.

【題型四】書(shū)架插書(shū)模型

【典例分析】

有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相

對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【變式演練】

1.從A,B,C,D,a,btc,d中任選5個(gè)字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按4（a）,BS）,C（c）,D（d）

先后順序，但大小寫(xiě)可以交換位置，如AMc或辦比都可以），這樣的情況有種.（用數(shù)字作答）

2?.在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少

種安排方法

3.書(shū)架上有排好順序的6本書(shū)，如果保持這6本書(shū)的相對(duì)順序不變，再放上3本書(shū)，則不同的放法共有

（）.

A.210種B.252種C.504種D.505種

【題型五】球放盒子模型1:球不同，盒子也不同

【典例分析】

已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的

盒子的編號(hào)之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【變式演練】

1.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

2.將編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)小球分別放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所

放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為

1167

D

A.7-B.6-一

2524

3.將A,B,C,。四個(gè)小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A,8不能放

入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（)

A.15B.30C.20D.42

【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同

【典例分析】

把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第i個(gè)盒子中至少有i個(gè)球=

則不同放法的總數(shù)是

A.CbB.C.G*9D.C^|9

【變式演練】

1.將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

2.把20個(gè)相同的小球裝入編號(hào)分別為①②③④的4個(gè)盒子里，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)盒每

盒至少4個(gè)球，共有種方法.

A.C；B.C]C.C；A：D.C^Cl

3.將7個(gè)相同的小球放入A,B,C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（）種不同的放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

【題型七】相同元素排列模型1:數(shù)字化法

【典例分析】

如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動(dòng)，則

小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

A.24B.18C.12D.9

【變式演練】

L一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能

力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外

跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)為

加「卜卜卜卜卜”

A.8種B.13種C.21種D.34種

3.如圖所示，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從點(diǎn)A到B,乙從點(diǎn)C到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.

則甲、乙的行走路線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為（）.

圖3

【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等

【典例分析】

1.某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

2.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有

種

【變式演練】

1.某公共汽車站有6個(gè)候車位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車站等候228路公交車的到來(lái)，由于市

內(nèi)堵車，228路公交車一直沒(méi)到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空

座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

2.現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

3.地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫(kù).當(dāng)停車完畢后，恰有兩

個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有.

【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等

【典例分析】

欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.C種D.144種

【變式演練】

1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故乂稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34.....在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被

遞推的方法定義：/(1)=1,/(2)=1,/5)=/(〃-1)+/(〃-2乂〃之2,〃eN)這種遞推方法適合研究生活

中很多問(wèn)題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個(gè)臺(tái)階，某同學(xué)一步可以跨一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，則他到

二樓就餐有()種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

2.從一樓到二樓共有12級(jí)臺(tái)階，可以一步邁一級(jí)也可以一步邁兩級(jí)，要求8步走完，則從一樓到二樓共有

走法.

A.12B.8C.70D.66

3.某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階.他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為

二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.

則他從一層到二層可能的不同過(guò)程共有()種.

A.6B.8C.10D.12

2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題

【題型十】多事件限制重疊型

【典例分析】

班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)

言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為

2333

A.-B.—C.——D.—

17162628

【變式演練】

1.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母-X,身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)人。設(shè)置一

個(gè)六位的密碼.若廠X必選，且符號(hào)不能超過(guò)兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不

變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（）

A.864B.1009C.1225D.1441

2.2019年11月19日至20日，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)攜手北師大版數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦

了以“新課程，我們都是追夢(mèng)人”為主題的北師大版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材交流研討會(huì)，會(huì)議期間舉辦了一場(chǎng)“互動(dòng)

沙龍”，要求從6位男嘉賓，2位女嘉賓中演機(jī)選出4位嘉賓進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演講，且女嘉賓至少要選中1位，如果2

位女嘉賓同時(shí)被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（）

A.1860B.1320C.1140D.1020

3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個(gè)車位中的四個(gè)內(nèi)，要求相同顏色的車不

在同一行也不在同一列，則共有種不同的停放方法.（用數(shù)字作答）

ABC

DEF

【題型十一】多重限制分類討論

【典例分析】

高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書(shū)館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級(jí)或2級(jí)樓梯去二樓，并在心

中默默計(jì)算這樣走完25級(jí)樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來(lái)在13級(jí)處有

一寬度達(dá)L5米的平臺(tái)，這樣原來(lái)的走樓梯方案需要調(diào)整，請(qǐng)問(wèn)，對(duì)于剩下的15級(jí)（12+3）樓梯按分2段的

走法與原來(lái)一次性走15級(jí)的走法相比較少了種.

圖1圖2

【變式演練】

1.市內(nèi)某公共汽車站有7個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)隨機(jī)坐在某個(gè)座位上候車，則

甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為：（用數(shù)字作答）3位同學(xué)相鄰，另2位同學(xué)也相鄰，

但5位同學(xué)不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

2.2021年某地電視臺(tái)春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評(píng)劇6個(gè)劇種的各

一個(gè)片段.對(duì)這6個(gè)劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該

戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺(tái)劇《星火》.《星火》的票價(jià)為50元/人，每人限購(gòu)

一張票.甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔.他們六人排成一列到售票處

買(mǎi)票，而售票處一開(kāi)始沒(méi)有準(zhǔn)備50元零錢(qián)，那么他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購(gòu)票時(shí)售票處不出

現(xiàn)找不出錢(qián)的狀態(tài).（）

A.720B.360C.180D.90

【題型十二】綜合應(yīng)用

【典例分析】

設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第2,…，10）個(gè)人的水桶需77分鐘，假設(shè)

方各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個(gè)可用時(shí)，應(yīng)如何安排他（她）們的接水次序，使他（她）們的總的花費(fèi)時(shí)間（包括

等待時(shí)間和自己接水所花費(fèi)的時(shí)間）最少（）

A.從不中最大的開(kāi)始，按由大到小的順序排隊(duì)

B.從77中最小的開(kāi)始，按由小到大的順序排隊(duì)

C.從靠近77平均數(shù)的一個(gè)開(kāi)始，依次按取一個(gè)小的取一個(gè)大的的擺動(dòng)順序排隊(duì)

D.任意順序排隊(duì)接水的總時(shí)間都不變

【變式演練】

1.由1,2,3,4,5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，

后3個(gè)數(shù)字保持遞增“（如五位數(shù)“43125”：前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率

是（）

2.設(shè)A是集合｛1,2,345,6,7,8910｝的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集4的個(gè)數(shù)為（）

A.32B.56C.72D.84

3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)

項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（）

【課后練習(xí)】

1.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則AC區(qū)域涂色不相同的概

4

D.

7

2.將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用,

則不同的染色方法的總數(shù)是

A.540B.480C.420D.360

3.清明節(jié)前夕，某校團(tuán)委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時(shí)代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過(guò)初賽，共有10人進(jìn)

入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年

級(jí)3人相鄰的前提下，高一年級(jí)3人不相鄰的概率為（）

795

B.—C.—D.—

A.H121414

4.10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)

順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.B.C試C.C；&D.C試

5.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有

且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

6.現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同

放法的種數(shù)是（）

A.28B.24C.18D.16

7.某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)連

在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

A.16B.18C.32D.72

8.校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)?/p>

放時(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒(méi)有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有種.（用數(shù)學(xué)作

答）

9.如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A、A是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)

角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的

最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N、M處為止.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過(guò)4到達(dá)N處的方法有64種

Q1

C.甲、乙兩人在A2處相遇的概率為不

400

D.甲、乙兩人相遇的概率為g

10.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)

7步登完樓梯的概率為.

11.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)

院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為4