2024高考數(shù)學一輪復習統(tǒng)考第8章立體幾何第5講直線平面垂直的判定及性質(zhì)學案含解析北師大版

PAGE13-第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)基礎學問整合1．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義假如一條直線l與平面α內(nèi)的eq\x(\s\up1(01))隨意一條直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的eq\x(\s\up1(02))兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線eq\x(\s\up1(07))平行?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，假如它們所成的二面角是eq\x(\s\up1(10))直二面角，就說這兩個平面相互垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的eq\x(\s\up1(11))垂線，則這兩個平面垂直?α⊥β(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于eq\x(\s\up1(14))交線的直線與另一個平面垂直?l⊥α3．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條直線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．(2)線面角θ的范圍：θ∈[0°，90°]．4．二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線動身的eq\x(\s\up1(19))兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：過二面角棱上的任一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱eq\x(\s\up1(20))垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的隨意一條直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直．(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．1．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下列結論正確的是()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m答案A解析依據(jù)線面垂直的判定定理知A正確；當α⊥β，l?α，m?β時，l與m可能平行、相交或異面，故B錯誤；當l∥β，l?α時，α與β可能平行，也可能相交，故C錯誤；當α∥β，l?α，m?β時，l與m可能平行，也可能異面，故D錯誤．故選A.2．(2024·浙江杭州模擬)已知相互垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵n⊥β，∴n⊥l.故選C.3．(2024·廣東五校診斷考試)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案B解析A項，若α⊥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n相交或m，n為異面直線，故不正確；C項，若m⊥n，m?α，n?β，則α，β有可能相交但不垂直，故不正確；D項，若α∥β，m?α，n?β，則m，n有可能是異面直線，故不正確，故選B.4．若a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α答案C解析對于A，B，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；對于C，在平面α內(nèi)存在c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；對于D，肯定能推出a∥b.故選C.5．(2024·江西南昌模擬)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，則AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，則平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上，故選A.6．(2024·沈陽模擬)已知P為△ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的個數(shù)是________．答案3解析如圖所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不肯定垂直于BC.核心考向突破考向一有關垂直關系的推斷例1(1)已知平面α及α外的一條直線l，下列命題中不正確的是()A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD．若l平行于α內(nèi)的多數(shù)條直線，則l∥α答案A解析由直線與平面平行的有關定理和結論可知選項B，D正確，選項C是直線與平面垂直的判定定理，而A中，直線l可以是與平面α相交但不垂直的直線或平行的直線，故選A.(2)(2024·江西臨川一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E①CC1與B1E是異面直線；②AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面A．② B．①③C．①④ D．②④答案A解析對于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C內(nèi)，故錯誤；對于②，AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中點，所以AE⊥BC，又因為B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正確；對于③，上底面ABC是一個正三角形，不行能存在AC⊥平面ABB1A1，故錯誤；對于④，A1C1所在的平面與平面推斷垂直關系需留意的問題(1)作圖要嫻熟，借助幾何圖形來說明線面關系要做到作圖快、準．(2)擅長找尋反例，若存在反例，結論就被駁倒了．(3)要思索完整，反復驗證全部可能的狀況，必要時要運用判定或性質(zhì)定理進行簡潔說明．[即時訓練]1.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中肯定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β答案B解析因為α⊥β，m?α，則m，β的位置關系不確定，可能平行、相交、m在β面內(nèi)，故A錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確；若α⊥β，m∥α，則m，β的位置關系也不確定，故C錯誤；若m⊥n，n∥β，則m，β的位置關系也不確定，故D錯誤．故選B.2．(2024·銀川模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案A解析由平面圖形，得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，故選A.精準設計考向，多角度探究突破考向二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)角度1利用線線垂直證明線面垂直例2(1)(2024·河北唐山一模)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點，以EF為折痕把△AEF折起，使點A到達點P的位置，且PB＝BE.①證明：BC⊥平面PBE；②求點F到平面PEC的距離．解①證明：因為E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點，所以EF∥BC，因為∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因為BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，所以BC⊥平面PBE.②取BE的中點O，連接PO，由①，知BC⊥平面PBE，BC?平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE，因為PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因為PO?平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，在Rt△POC中，PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝2eq\r(5)，在Rt△EBC中，EC＝eq\r(EB2＋BC2)＝2eq\r(5)，在△PEC中，PC＝EC＝2eq\r(5)，PE＝2，所以S△PEC＝eq\r(19)，又因為S△ECF＝2，設點F到平面PEC的距離為d，由VF－PEC＝VP－ECF，得S△PEC·d＝S△ECF·PO，即eq\r(19)×d＝2×eq\r(3)，所以d＝eq\f(2\r(57),19).即點F到平面PEC的距離為eq\f(2\r(57),19).(2)(2024·廣東揭陽二模)已知如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2eq\r(2)，點E，F(xiàn)，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的相應面相交，交線圍成一個幾何圖形．①在圖中畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積(畫圖說出作法，不用說明理由)；②求證：D1B⊥平面DEF.解①設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，則四邊形MNAC為所作圖形．連接A1C1，易知MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，又因為A1C1綊AC，所以四邊形MNAC為梯形，且MN＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，過M作MP⊥AC于點P，因為MC＝eq\r(8＋4)＝2eq\r(3)，PC＝eq\f(AC－MN,2)＝eq\r(2)，所以MP＝eq\r(MC2－PC2)＝eq\r(10)，所以梯形MNAC的面積S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋4eq\r(2))×eq\r(10)＝6eq\r(5).②證法一：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，設D1B1交EF于點Q，連接DQ，則Q為EF的中點并且為D1B1的四等分點，如圖，D1Q＝eq\f(1,4)×4eq\r(2)＝eq\r(2)，由DE＝DF，得DQ⊥EF，又因為B1D1⊥EF，B1D1∩DQ＝Q，所以EF⊥平面BB1D1D，則EF⊥D1B.因為eq\f(D1Q,D1D)＝eq\f(D1D,DB)＝eq\f(1,2)，且∠QD1D＝∠D1DB，則△QD1D∽△D1DB，所以∠D1QD＝∠BD1D，所以∠QD1B＋∠D1QD＝∠DD1B＋∠BD1Q＝90°，所以DQ⊥D1B，又因為EF∩DQ＝Q，所以D1B⊥平面DEF.證法二：設D1B1交EF于點Q，連接DQ，則Q為EF的中點，且為D1B1的四等分點，D1Q＝eq\f(1,4)×4eq\r(2)＝eq\r(2)，由BB1⊥平面A1B1C1D1，知BB1⊥EF又因為B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，所以EF⊥平面BB1D1D，所以EF⊥D1B，由eq\f(D1Q,D1D)＝eq\f(D1D,DB)＝eq\f(1,2)，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，得∠QDD1＝∠D1BD，所以∠QDB＋∠D1BD＝∠QDB＋∠QDD1＝90°，所以DQ⊥D1B，又因為DQ∩EF＝Q，所以D1B⊥平面DEF.角度2利用線面垂直證明線線垂直例3(1)(2024·廣東韶關模擬)如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC＝CD＝1，AD＝2，∠ADC＝90°.點E是AD的中點，將△ABE沿BE折起如圖，使得A′E⊥平面BCDE.點M，N分別是線段A′B，EC的中點．①求證：MN⊥BE；②求三棱錐E－BNM的體積．解①證明：∵AD＝2，且點E是AD的中點∴ED＝1.∵四邊形ABCD是直角梯形，BC＝1，∴ED綊BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵BC＝CD＝DE＝1，∠ADC＝90°，∴四邊形BCDE為正方形．∵N是EC的中點，∴N是BD的中點．又M是A′B的中點，∴MN∥A′D.∵A′E⊥平面BCDE，∴BE⊥A′E，又BE⊥ED，且A′E∩ED＝E，∴BE⊥平面A′ED，∴BE⊥A′D，則BE⊥MN.②∵A′E⊥平面BCDE，且M是線段A′B的中點，∴M究竟面BEN的距離為eq\f(1,2)A′E＝eq\f(1,2)，又正方形BCDE的邊長為1，∴S△BNE＝eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(1,4).∴三棱錐E－BNM的體積V＝VM－BEN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24).(2)(2024·北師大試驗中學3月模擬)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，點M是SD的中點，AN⊥SC，交SC于點N.①求證：SC⊥AM；②求△AMN的面積．解①證明：∵SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴SA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD.∵AM?平面SAD，∴CD⊥AM.又SA＝AD＝1，點M是SD的中點，∴AM⊥SD.∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD.∵SC?平面SDC，∴SC⊥AM.②∵M是SD的中點，∴VS－ACM＝VD－ACM＝VM－ADC，∴VS－ACM＝eq\f(1,3)S△ACD·eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，∵AN⊥SC，SC⊥AM，AN∩AM＝A，∴SC⊥平面AMN，∴VS－ACM＝eq\f(1,3)S△AMN·SC.∵SC＝eq\r(3)，∴△AMN的面積S△AMN＝eq\f(3VS－ACM,SC)＝eq\f(\r(3),12).(1)證明線線垂直的常用方法①利用特別圖形中的垂直關系．②利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)③利用勾股定理的逆定理．④利用直線與平面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的常用方法①利用線面垂直的判定定理，它是最常用的思路．②利用線面垂直的性質(zhì)：若兩條平行線之一垂直于平面，則另一條線必垂直于該平面．③利用面面垂直的性質(zhì)：a.兩個平面相互垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．b．若兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．[即時訓練]3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點．(1)求證：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．解(1)證明：連接BD.∵PA＝PD，N為AD的中點，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r(3).又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f(2,3)VC－PNB＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(2,3).4．(2024·湖南六校聯(lián)考)如圖，幾何體的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥底面ABCD，F(xiàn)D⊥底面ABCD，EB＝2FD＝4.(1)求證：EF⊥AC；(2)求幾何體EFABCD的體積．

解(1)證明：連接BD，∵FD⊥底面ABCD，EB⊥底面ABCD，∴EB∥FD，AC⊥EB，且E，F(xiàn)，D，B四點共面，設DB∩AC＝O，∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥DB，又DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB.∵EF?平面EFDB，∴AC⊥EF.(2)∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四邊形EFDB為直角梯形，在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝eq\r(3)，∴梯形EFDB的面積S＝eq\f(2＋4×2,2)＝6.∵AC⊥平面EFDB，∴VEFABCD＝VC－EFDB＋VA－EFDB＝eq\f(1,3)S·AO＋eq\f(1,3)S·CO＝4eq\r(3).考向三面面垂直的判定與性質(zhì)例4(1)(2024·陜西漢中重點中學3月聯(lián)考)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，AA1⊥平面ABCD.AB＝2AD＝4，∠DAB①證明：平面D1BC⊥平面D1BD；②若直線D1B與底面ABCD所成的角為30°，M，N，Q分別為BD，CD，D1D的中點，求三棱錐C－MNQ的體積．解①證明：∵D1D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴D1D⊥BC.又AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(22＋42－2×2×4×cos60°)＝2eq\r(3)，∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又AD∥BC，∴BC⊥BD.又D1D∩BD＝D，BD?平面D1BD，D1D?平面D1BD，∴BC⊥平面D1BD，而BC?平面D1BC，∴平面D1BC⊥平面D1BD.②∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即為直線D1B與底面ABCD所成的角，即∠D1BD＝30°，而BD＝2eq\r(3)，∴DD1＝2，又VC－MNQ＝VQ－CMN＝eq\f(1,4)VQ－BDC，∴VC－MNQ＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×1＝eq\f(\r(3),6).(2)(2024·河南焦作四模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為正三角形，AA1⊥底面ABC，AA1＝3AB，點E在線段CC1上，平面AEB1⊥平面AA1B1B.①請指出點E的位置，并給出證明；②若AB＝1，求點B1到平面ABE的距離．解①點E為線段CC1的中點．證明如下：取AB的中點為F，AB1的中點為G，連接CF，F(xiàn)G，EG.則FG∥CE，F(xiàn)G＝CE，所以四邊形FGEC為平行四邊形．所以CF∥EG.因為CA＝CB，AF＝BF，所以CF⊥AB.又因為AA1⊥底面ABC，CF?底面ABC，所以AA1⊥CF.又因為AA1∩AB＝A，所以CF⊥平面AA1B1B.所以EG⊥平面AA1B1B，而EG?平面AEB1，所以平面AEB1⊥平面AA1B1B.②由AB＝1，得AA1＝3.由①可知，點E到平面ABB1的距離為EG＝CF＝eq\f(\r(3),2).而△ABB1的面積S△ABB1＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，AE＝BE＝eq\f(\r(13),2)，等腰△ABE底邊AB上的高為eq\r(\f(13,4)－\f(1,4))＝eq\r(3).記點B1到平面ABE的距離為h，由VB1－ABE＝VE－ABB1?eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)，解