2024高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何第八節(jié)曲線與方程學案含解析新人教B版

PAGE1-第八節(jié)曲線與方程最新考綱考情分析1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．2．了解解析幾何的基本思想和利用坐標法探討幾何問題的基本方法．3．能夠依據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.曲線與方程一般在客觀題中主要考查圓的方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程，以考查待定系數(shù)法和定義法為主；在主觀題中往往僅作為某一問的形式出現(xiàn)，重點結合圓錐曲線的其他性質(zhì)進行綜合考查.學問點一曲線與方程的定義一般地，在直角坐標系中，假如某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應關系：那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．學問點二求動點的軌跡方程的基本步驟1．思索辨析推斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點和一條直線．(×)(2)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的．(×)(3)方程y＝eq\r(x)與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(×)2．小題熱身(1)若M，N為兩個定點，且|MN|＝6，動點P滿意eq\o(PM,\s\up16(→))·eq\o(PN,\s\up16(→))＝0，則P點的軌跡是(A)A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線(2)平面內(nèi)到點(1,1)與到直線x＋2y－3＝0的距離相等的點的軌跡是(D)A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．一條直線(3)已知點O(0,0)，A(1，－2)，動點P滿意|PA|＝3|PO|，則P點的軌跡方程是(A)A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：設P點的坐標為(x，y)，則eq\r(x－12＋y＋22)＝3eq\r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.(4)已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是x2＝2y－1.解析：因為拋物線x2＝4y的焦點F(0,1)，設線段PF的中點坐標是(x，y)，則P(2x,2y－1)在拋物線x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化簡得x2＝2y－1.(5)已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是2x－y＋5＝0.解析：由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)則P(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.考點一干脆法求軌跡方程【例1】已知△ABC的三個頂點分別為A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2eq\r(2))，定點P(1,1)．(1)求△ABC外接圓的標準方程；(2)若過定點P的直線與△ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF的中點的軌跡方程．【解】(1)由題意得AC的中點坐標為(0，eq\r(2))，AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，kAC＝eq\r(2)，kAB＝1，故AC的中垂線的斜率為－eq\f(\r(2),2)，AB的中垂線的斜率為－1，則AC的中垂線的方程為y－eq\r(2)＝－eq\f(\r(2),2)x，AB的中垂線的方程為y－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))∴△ABC的外接圓圓心為(2,0)，半徑r＝2＋1＝3，故△ABC外接圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝9.(2)設弦EF的中點為M(x，y)，△ABC外接圓的圓心為N，則N(2,0)，由MN⊥MP，得eq\o(NM,\s\up16(→))·eq\o(PM,\s\up16(→))＝0，∴(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，故弦EF的中點的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).方法技巧(1)若曲線上的動點滿意的條件是一些幾何量的等量關系，則可用干脆法，其一般步驟是：設點→列式→化簡→檢驗．求動點的軌跡方程時要留意檢驗，即除去多余的點，補上遺漏的點．(2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說明軌跡是什么圖形．1．已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，則動點P的軌跡C的方程為(A)A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2y D．y2＝4x解析：設點P(x，y)，則Q(x，－1)．∵eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴動點P的軌跡C的方程為x2＝4y.2．在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(－1,1)關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－eq\f(1,3).則動點P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠1)．解析：因為點B與點A(－1,1)關于原點O對稱，所以點B的坐標為(1，－1)．設點P的坐標為(x，y)，由題意得eq\f(y－1,x＋1)·eq\f(y＋1,x－1)＝－eq\f(1,3)，化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故動點P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)．考點二定義法求軌跡方程【例2】(1)△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________．(2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為________．【解析】(1)如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.依據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．(2)因為圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點，長半軸長為2，短半軸長為eq\r(3)的橢圓(左頂點除外)，其方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．【答案】(1)eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)(2)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)方法技巧定義法求軌跡方程的適用條件及關鍵1適用條件,動點與定點、定直線之間的某些關系滿意直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.2關鍵,定義法求軌跡方程的關鍵是由題意找到動點所適合的常見曲線的幾何特征.1．(2024·湖北黃岡模擬)設D為橢圓x2＋eq\f(y2,5)＝1上隨意一點，A(0，－2)，B(0,2)，延長AD至點P，使得|PD|＝|BD|，則點P的軌跡方程為(B)A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析：∵D為橢圓x2＋eq\f(y2,5)＝1上一點，且易知A、B為橢圓的焦點，∴|DA|＋|DB|＝2a＝2eq\r(5).又|PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝2eq\r(5)，∴P的軌跡方程為x2＋(y＋2)2＝(2eq\r(5))2＝20.故選B.2．(2024·豫北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0，以邊AB的中垂線為x軸，以AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則動點C的軌跡方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．解析：在△ABC中，由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得sinA＋sinB＝2sin(A＋B)＝2sinC，由正弦定理得eq\f(|BC|,2R)＋eq\f(|AC|,2R)＝2·eq\f(|AB|,2R)(R為△ABC外接圓半徑)，可得|CB|＋|CA|＝2|AB|>|AB|.∴點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(除y軸上的點)，其中2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故點C的軌跡方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．考點三相關點(代入法)求軌跡方程【例3】已知M為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的動點，過點M作x軸的垂線MD，D為垂足，點P滿意eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，求動點P的軌跡E的方程．【解】(1)設P(x，y)，y≠0，M(m，n)，則D(m,0)，∵eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，∴(m－x，－y)＝eq\f(5,3)(0，－n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－x＝0，,－y＝－\f(5,3)n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝x，,n＝\f(3,5)y.))又∵M(m，n)為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y))2,9)＝1，即x2＋y2＝25，∴動點P的軌跡E的方程為x2＋y2＝25(y≠0)．方法技巧1可以用“相關點法”求軌跡方程所滿意的條件：①某個動點P在已知方程的曲線上移動；②另一個動點M隨P的改變而改變；③在改變過程中，P和M滿意肯定的規(guī)律.2“相關點法”求軌跡方程的基本步驟：將所求動點P的坐標設為x，y，另一已知動點Q的坐標設為x0，y0，再找尋P，Q之間的關系，把x0，y0分別用x，y表示出來，然后代入點Q滿意的方程即得所求.已知點H(0，－8)，點P在x軸上，動點F滿意PF⊥PH，且PF與y軸交于點Q，Q是線段PF的中點．(1)求動點F的軌跡E的方程；(2)點D是直線l：x－y－2＝0上隨意一點，過點D作E的兩條切線，切點分別為A，B，證明：直線AB過定點．解：(1)設F(x，y)，y≠0，P(m,0)，Q(0，n)，則eq\o(PH,\s\up16(→))＝(－m，－8)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(－m，n)，∵PF⊥PH，∴m2－8n＝0，即m2＝8n，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,2)＝0，,\f(0＋y,2)＝n，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－x，,n＝\f(y,2)，))代入m2＝8n，得x2＝4y(y≠0)