專題07 線段中的四類(lèi)動(dòng)態(tài)模型解讀與提分精練-2025年人教版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》寒假培優(yōu)分層作業(yè)

PAGE1專題07線段中的四類(lèi)動(dòng)態(tài)模型線段中的動(dòng)態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和常考點(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動(dòng)態(tài)模型（與中點(diǎn)、和差倍分結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；定值問(wèn)題；存在性（探究性）問(wèn)題；閱讀理解（新定義）等）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動(dòng)態(tài)模型 1模型2.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的定值模型 5模型3.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的存在性（探究性）模型 8模型4.閱讀理解型（新定義）模型 12 17模型1.線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動(dòng)態(tài)模型1、在與線段長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題中，常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問(wèn)題，而且題中的數(shù)據(jù)無(wú)法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動(dòng)態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。例1．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知線段，點(diǎn)以每秒的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)1秒后點(diǎn)以每秒的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段的長(zhǎng)為？(3)當(dāng)為何值時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？【答案】(1)(2)當(dāng)為6或時(shí)，線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)為6，或時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．【分析】本題考查的是線段的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，清晰的分類(lèi)討論是解本題關(guān)鍵．（1）先求解當(dāng)時(shí)，，，再利用線段的和差運(yùn)算即可得到答案；（2）利用線段的和差關(guān)系建立方程求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，∴．（2）由題意，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，解得．綜上所述，當(dāng)為6或時(shí)，線段的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得．綜上所述，當(dāng)為6，或時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．例2．（24-25七年級(jí)上·河北衡水·期中）如圖，已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為和8．(1)若點(diǎn)A，B分別以每秒1和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左移動(dòng)，直接寫(xiě)出移動(dòng)多少秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8？(2)若P為射線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并求出線段的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在第（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少時(shí)，？【答案】(1)當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8(2)線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5，理由見(jiàn)詳解(3)點(diǎn)所表示的數(shù)為或，【分析】（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為，然后根據(jù)題意可分當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)和左側(cè)進(jìn)行分類(lèi)求解即可；（2）此題可分兩種情況討論，即分和兩種情況求得的長(zhǎng)即可得到答案；（3）分當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)運(yùn)動(dòng)兩種情況求得的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)所表示的數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為，由題意可知后點(diǎn)A、B在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，則有，解得：；當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，則有，解得：；綜上所述：當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8；（2）解：線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，分下面兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．．綜上所述，線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，∴，又，解得：，此時(shí)點(diǎn)所表示的數(shù)為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理得：，，解得：．此時(shí)點(diǎn)所表示的數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)軸的知識(shí)，由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．例3．（23-24七年級(jí)上·天津和平·期末）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M，B出發(fā)以的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值；(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的值；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了線段的和差問(wèn)題和兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，（1）計(jì)算出和的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案；（2）由結(jié)合（1）問(wèn)便可解答；（3）由，分兩種情況討論：①點(diǎn)N在線段上時(shí)，②點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上時(shí)；結(jié)合圖形計(jì)算出線段的長(zhǎng)度關(guān)系即可求解；【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，∵，．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，∵，又，，即，∴；（3）解：由（2）可得：，∵，，，點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖，∵，∴，，即．當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵，，∴，即．綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查求線段長(zhǎng)短的知識(shí)，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，根據(jù)條件理清線段的長(zhǎng)度關(guān)系再解答．模型2.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的定值模型例1．（24-25七年級(jí)上·廣東·假期作業(yè)）在數(shù)軸上點(diǎn)A，，所表示的數(shù)分別是，6，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)以每秒5個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)以每秒20個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明的結(jié)果是定值．【答案】(1)8(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(3)是定值，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查列代數(shù)式及數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式即可解決問(wèn)題．（2）對(duì)點(diǎn)與點(diǎn)的位置進(jìn)行分類(lèi)討論即可解決問(wèn)題．（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，用含有的代數(shù)式分別表示出及的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，所表示的數(shù)分別是，6，所以．（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)表示的數(shù)是2．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以點(diǎn)所表示的數(shù)為．因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以點(diǎn)所表示的數(shù)為，所以，，，所以．例2．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖（）所示，已知直線上有兩點(diǎn)，，有一根木棒放在直線上，將木棒沿直線左右水平移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)剛好落在點(diǎn)移動(dòng)前的位置，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)剛好落在點(diǎn)移動(dòng)前的位置．

(1)直接寫(xiě)出木棒的長(zhǎng)；(2)木棒在射線上移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)另一根木棒長(zhǎng)為，和在直線上的位置如圖（）所示，其中點(diǎn)與重合，點(diǎn)與重合．木棒以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左移動(dòng)，木棒以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右移動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若式子的值為定值，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的取值范圍，并寫(xiě)出這個(gè)定值．【答案】(1)；(2)或；(3)，定值為．【分析】（）根據(jù)題意可得的長(zhǎng)等于的三分之一，即可求解；（）設(shè)，分點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況列方程求解即可；（）由式子的值為定值可判斷出木棒和木棒重疊，分別求出點(diǎn)與點(diǎn)重合和點(diǎn)與點(diǎn)重合的時(shí)間，即可求出的取值范圍，由木棒和木棒重疊可得的值為定值即為的值；本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，并運(yùn)用分類(lèi)討論的方法分別列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意可得，；（2）解：設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，∵，∴，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，∵，∴，解得，∴；∴的長(zhǎng)為或；（3）解：由題意可得，當(dāng)木棒和木棒重疊時(shí)，式子的值為定值，定值即為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，解得；∴當(dāng)時(shí)，式子的值為定值，定值為．例3．（2024七年級(jí)上·重慶·專題練習(xí)）如圖①，已知線段，，線段在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且(1)若，求的長(zhǎng)．(2)當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②所示，若點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，請(qǐng)判斷是否為定值，并說(shuō)明理由．【答案】(1)或(2)(3)是，見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，則．（1）若，則有以下兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，則，根據(jù)可得的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)可得的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，根據(jù)線段中點(diǎn)定義得，，，從而得，由此可得的長(zhǎng)；（3）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)得點(diǎn)C在線段上，再根據(jù)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得，則，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，，解得：，，若，則有以下兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1①所示：，，；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1②所示：，；綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．（2）解：設(shè)，如圖2所示：，∵點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，，∴，∴；（3）解：為定值，理由如下：設(shè)，∵點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)C在線段上，又∵點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3所示：∴，∴，∴．∴為定值．模型3.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江蘇南通·七年級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為和4，線段，，，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以1cm/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．(1)問(wèn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)？(2)線段與線段從開(kāi)始相遇到完全離開(kāi)共經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？(3)P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是否存在關(guān)系式．若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊和點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊兩種情況討論；（2）所走路程為這兩條線段的和，用路程，速度，時(shí)間之間的關(guān)系可求解；（3）隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，分別討論當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C重合、點(diǎn)C在點(diǎn)A和B之間及點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)的情況．【詳解】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)為2單位長(zhǎng)度，①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊時(shí)，由題意得：，解得：；②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊時(shí)，由題意得：，解得：．綜合①②得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)1秒或2秒時(shí)；（2）∵，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是4，，而（秒），線段與線段運(yùn)動(dòng)秒后相遇，又，（秒），線段與線段從開(kāi)始相遇到完全離開(kāi)共經(jīng)過(guò)秒長(zhǎng)時(shí)間；（3）存在，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，，點(diǎn)P在線段AB上，，，當(dāng)時(shí)，，即；此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，，，，，有，故時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，，，，，，有，故，此時(shí)，綜上，線段PD的長(zhǎng)為或5．【點(diǎn)睛】本題以線段和差為題考查了一次方程的應(yīng)用；讀懂題意，分類(lèi)列方程解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【背景知識(shí)】數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．已知結(jié)論：數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)分別為，則兩點(diǎn)之間的距離；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【知識(shí)運(yùn)用】（）點(diǎn)表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．①點(diǎn)表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連接所得線段的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；③線段的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此時(shí)定值．【分析】（）根據(jù)題意，求出，再根據(jù)結(jié)論解答即可求解；（）根據(jù)題意，表示出秒后點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式求解即可；根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式分三種情況解答即可求解；根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出，得到，當(dāng)時(shí)即可求出常數(shù)的值，進(jìn)而求出定值．【詳解】解：（）∵與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，∴，，∴；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：；；（）秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得，不合，舍去；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得；∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為或；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，∴，此時(shí)，定值．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式，線段中點(diǎn)計(jì)算公式，掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式和線段中點(diǎn)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·廣西桂林·七年級(jí)期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計(jì)算即可求解；（2）分點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)和線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將和表示出來(lái)，再求出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，，∴，∵線段，N為BP的中點(diǎn)，∴．故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．模型4.閱讀理解型（新定義）模型例1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；（2）若，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，則最長(zhǎng)為_(kāi)_____；【解決問(wèn)題】（3）如圖②，已知，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)為何值時(shí)，為、的巧點(diǎn)？說(shuō)明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）當(dāng)為或或時(shí)，為、的巧點(diǎn)【分析】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義解答即可；（2）點(diǎn)為線段的巧點(diǎn)，則最長(zhǎng)時(shí)，滿足，即，即可求解；（3）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義，分為或或，三種情況，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)是線段的的“巧點(diǎn)”，故答案為：是．（2）解：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的巧點(diǎn)，∴則最長(zhǎng)時(shí)，滿足，即，∴，故答案為：．（3）解：秒后，，，，∵為、的巧點(diǎn)∴或，或，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴當(dāng)為或或時(shí)，為、的巧點(diǎn)．例2．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【概念學(xué)習(xí)】點(diǎn)在線段上，若，則稱是點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”，記作．例如，如圖1，若，則點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作；若，則，故點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作．【理解與應(yīng)用】(1)已知點(diǎn)在線段上．若，，則________；若，，則_________．(2)如圖2，線段，是線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以，的速度同時(shí)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求出的值；②若，則當(dāng)為何值時(shí)，；③若時(shí)，，則___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段的數(shù)量關(guān)系，解題關(guān)鍵在于理解新定義，根據(jù)新定義列出方程即可．（1）根據(jù)新定義，列出式子即可．（2）①設(shè)，，表示出，列式子求解．②根據(jù)定義，，表示出，即可求解．③分兩種情況進(jìn)行討論，一個(gè)是當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，一個(gè)當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，根據(jù)新定義列出式子，進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：若，，則，若，，則，∵，∴．∵∴．故答案為：；18；（2）①，．∵，∴．∴．∴；②∵，，∴，則．∴，，∵，∴，故；③∵．∴，．分兩種情況：當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，∵，∴．∴．可知，，則；當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，．，則；綜上所述，或；故答案為：或．例3．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖1，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是和3，將這兩點(diǎn)在數(shù)軸上以相同的速度同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，若A，B分別到達(dá)M，N兩點(diǎn)（我們用表示以點(diǎn)A、點(diǎn)B為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)，、表示的含義以此類(lèi)推），且滿足（k為正整數(shù)），我們稱兩點(diǎn)完成了一次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”．如圖2若它們按照原來(lái)的速度和方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，分別到達(dá)，兩點(diǎn)，且滿足（k為正整數(shù)）我們稱兩點(diǎn)完成了二次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”…．(1)若A，B兩點(diǎn)完成了一次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”．①當(dāng)時(shí)，M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為、；②當(dāng)k為任意正整數(shù)時(shí)，求M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)；(2)如圖2所示，若A，B兩點(diǎn)完成了兩次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”，并分別到達(dá)，兩點(diǎn)，若k不變，求，兩點(diǎn)所表示的數(shù)（用含k的式子表示）；(3)若A，B兩點(diǎn)完成了n次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”，并分別到達(dá)兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)是否存在點(diǎn)，使其表示的數(shù)為65？如果存在，求完成的次數(shù)n和此時(shí)點(diǎn)所表示的數(shù)；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)①5，；②M點(diǎn)為，N點(diǎn)為(2)為，為(3)存在，n為5，為【分析】（1）①由題意可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②根據(jù)，可得，即可．（2）由（1）中②可得兩點(diǎn)的值，再進(jìn)行一次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)和也關(guān)于AB中點(diǎn)1對(duì)稱，且k值不變即可求解．（3）根據(jù)題意可得，根據(jù)，可得點(diǎn)，到的中點(diǎn)的距離相等，從而表達(dá)出對(duì)應(yīng)和的值，從特殊取值過(guò)程中，研究n和點(diǎn)以及點(diǎn)的關(guān)系，總結(jié)出一般規(guī)律進(jìn)行解題．【詳解】（1）解：①∵A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度相同，時(shí)間也相同，那么運(yùn)動(dòng)路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是和3，∴，又∵，，∴M點(diǎn)為5，N點(diǎn)為，故答案為：5，．②∵A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度相同，時(shí)間也相同，那么運(yùn)動(dòng)路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是和3，∴，且AB中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，又∵，∴中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)也為1，∵，，∴M點(diǎn)為，即，N點(diǎn)為，即；（2）解：由（1）中②可得M點(diǎn)為，N點(diǎn)為，點(diǎn)和也關(guān)于中點(diǎn)1對(duì)稱，∴．∴，∴．∴為，為．（3）解：存在，理由：∵，A，B兩點(diǎn)完成了n次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”，∴，∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是和3，∴的中點(diǎn)所表示的數(shù)為1，∵A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度相同，時(shí)間也相同，那么運(yùn)動(dòng)路程也相同，∴．∴．∴，∴點(diǎn)，到的中點(diǎn)的距離相等，當(dāng)n為1時(shí)，根據(jù)（1）得：此時(shí)點(diǎn)為5，為，當(dāng)n為2時(shí)，為，為，當(dāng)n為3時(shí)，為，為，當(dāng)n為4時(shí)，為，為，以此類(lèi)推發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)，為正數(shù)，而正數(shù)的規(guī)律是，令，∴，∴，∴．．當(dāng)表示的數(shù)為65時(shí)，，解得：．又∵和關(guān)于1對(duì)稱，∴為．答：存在次數(shù)n使得為65，此時(shí)n為5，為．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式的表達(dá)能力，數(shù)軸上表示數(shù)，利用數(shù)軸上線段中點(diǎn)解決相關(guān)問(wèn)題，乘方，數(shù)的規(guī)律總結(jié)能力以及數(shù)軸相關(guān)知識(shí)運(yùn)用，難度偏大，利用數(shù)形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動(dòng)，且．下列說(shuō)法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫(huà)出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說(shuō)法；乙：畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說(shuō)法；丙：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，利用中點(diǎn)公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，，故甲的說(shuō)法錯(cuò)誤；乙：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說(shuō)法正確；丙：點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，∵O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，點(diǎn)N表示的數(shù)是，∴，故丙的說(shuō)法正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算，整式的加減等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·期中）電子跳蚤游戲盤(pán)(如圖)為三角形，如果電子跳蚤開(kāi)始時(shí)在邊的點(diǎn)，，第一步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且；第二步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且；第三步跳蚤從跳回到邊上點(diǎn)，且；…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第n次落點(diǎn)為，則與C之間的距離為．【答案】5【分析】本題首先根據(jù)題意，分別計(jì)算電子跳騷的位置和三角形的頂點(diǎn)的距離，找到循環(huán)的規(guī)律：經(jīng)過(guò)6次跳，電子跳蚤回到起跳點(diǎn)．根據(jù)這一規(guī)律確定第2022次落點(diǎn)的位置，可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，此時(shí)與重合，即經(jīng)過(guò)6次跳，電子跳蚤回到起跳點(diǎn)．∵，即與重合，∴與C之間的距離為．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：此題主要是能夠根據(jù)題意利用線段的和差計(jì)算出有關(guān)線段的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)電子跳蚤的落點(diǎn)的循環(huán)規(guī)律，掌握由特殊到一般推導(dǎo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在邊；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用表示的式子為；（3）點(diǎn)、相遇時(shí)，秒．【答案】7.2【分析】（1）由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由，可知當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，由，可判斷點(diǎn)的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∵，∴當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，∵，∴點(diǎn)在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期末）已知直線上線段，線段（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若線段的端點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，．【答案】2或18【分析】設(shè)線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則，，，，．分兩種情況計(jì)算：①當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)時(shí)，分別將和用含有t的式子表示出來(lái)，根據(jù)列方程即可求出t的值．本題主要考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差、直線上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的把各條線段用含有t的式子表示出來(lái)，并且注意分類(lèi)討論．【詳解】，設(shè)線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則，，，，∵點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，．①當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，，解得．②當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，，，，解得．綜上，線段運(yùn)動(dòng)2秒或18秒時(shí)，．故答案為：2或18．5．（23-24七年級(jí)上·云南·期末）如圖，在射線上有三點(diǎn)，滿足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．(1)當(dāng)（在線段上）時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)___________．（直接寫(xiě)出答案即可）(2)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩點(diǎn)相距？(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)則____________．（直接寫(xiě)出答案即可）【答案】(1)(2)經(jīng)過(guò)2秒，秒，P、Q兩點(diǎn)相距；(3)【分析】（1）根據(jù)，求得，得到，求得，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由此即得到結(jié)論；（2）分點(diǎn)P、Q相遇前和點(diǎn)P、Q相遇后兩種情況，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，然后分別根據(jù)線段的和差、速度公式列出等式求解即可得；（3）先畫(huà)出圖形，再根據(jù)線段的和差、線段的中點(diǎn)定義求出和的長(zhǎng)，從而即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P在線段上時(shí)，，，∴，而，∴，∴，∵點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)∴，而，∴，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒則，∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)∴點(diǎn)Q最多運(yùn)動(dòng)時(shí)間為依題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇前，，即，解得②當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇后，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，與重合，停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，當(dāng)再運(yùn)動(dòng)時(shí)，相距，此時(shí)，綜上，經(jīng)過(guò)2秒，秒，P、Q兩點(diǎn)相距；（3）解：如圖，設(shè)，點(diǎn)P在線段上，則，即，點(diǎn)E、F分別為和的中點(diǎn)，，則．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差、線段的中點(diǎn)定義，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），依題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．6．（23-24七年級(jí)上·天津和平·期末）已知線段，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（在的左側(cè)，在的左側(cè)）．(1)若滿足；①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；②、分別是、BD的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)線段CD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)距離點(diǎn)一個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，若有一點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)且位于線段AB的延長(zhǎng)線上，試求的值．【答案】(1)①；②；(2)8或4【分析】（1）①本題考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方非負(fù)性求出a，b得值；②本題考查了線段得和差，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)圖，注意兩種情況；（2）本題考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)圖，注意兩張情況．【詳解】（1）解：，，，①當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，；②如下圖1，分別為線段的中點(diǎn)，，；如上圖2，分別為線段的中點(diǎn)，，；（2）如下圖，由題意得：，；如下圖，，．7．（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線段上一定點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）。(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，此時(shí)，；（直接填空）(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值；(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則；（直接填空）(4)在（3）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或1【分析】本題考查了線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出、的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出與的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得，然后根據(jù)，代入即可求解；（4）分點(diǎn)N在線段上和點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，，，∵，，∴，∴，，故答案為：；．（2）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，，∵，∴；故答案為：；（3）解：根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：；（4）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖1，

∵，又∵∴，∴∴；②當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

∵，又∵，∴，∴；綜上所述：或1．8．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知：數(shù)軸上有點(diǎn)A，表示的數(shù)為a，且滿足關(guān)于x的方程為一元一次方程．?dāng)?shù)軸上還存在線段和線段（點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左邊，點(diǎn)P始終在點(diǎn)Q左邊）．(1)當(dāng)三點(diǎn)重合，且，時(shí)，求的值及所表示的數(shù)．(2)如圖，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的值．(3)在（1）的條件下，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，使線段以1個(gè)單位每秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，使線段以3個(gè)單位每秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，線段以原速返回向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇時(shí)，線段再次以原速向右運(yùn)動(dòng)……當(dāng)點(diǎn)N所表示的數(shù)為時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)N共相遇了多少次？【答案】(1)；點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)表示的數(shù)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可求出的值，由三點(diǎn)重合，，可得，，進(jìn)而可求出點(diǎn)所表示的數(shù)；（2）由線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為可得：，；再通過(guò)線段的和差關(guān)系可得，即可得出結(jié)果；（3）計(jì)算出從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合到點(diǎn)與點(diǎn)第二次重合所需時(shí)間為秒；即從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合后的每秒，點(diǎn)與點(diǎn)相遇一次；依次計(jì)算即可；【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程為一元一次方程∴解得：∵三點(diǎn)重合∴，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：；點(diǎn)表示的數(shù)為：（2）解：∵線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為∴，∴∴（3）解：在（1）的條件下表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)所表示的數(shù)為時(shí)；∴線段的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒）點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合所用時(shí)間為：（秒）從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合到點(diǎn)與點(diǎn)第二次重合所需時(shí)間為：（秒）即從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合后的每秒，點(diǎn)與點(diǎn)相遇一次；故點(diǎn)與點(diǎn)共相遇：（次）答：當(dāng)點(diǎn)所表示的數(shù)為時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)共相遇了次．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義、線段的和差關(guān)系、圖形運(yùn)動(dòng)中的周期規(guī)律；熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（23-24七年級(jí)上·湖南湘西·期末）如圖，M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，N是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，①______，②此時(shí)線段的長(zhǎng)度______；(2)用含有t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若中點(diǎn)為C，則的長(zhǎng)度是否變化？若不變，求出的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①2，②；(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(3)的長(zhǎng)度不變，為【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義，列代數(shù)式：（1）①根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間進(jìn)行求解即可；②根據(jù)線段的和差關(guān)系和線段中點(diǎn)的定義可得答案；（2）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況討論求解即可；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，再由線段的和差關(guān)系可得．【詳解】（1）解；①由題意得，；②∵，，∴，∵N是線段的中點(diǎn)，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）解：∵點(diǎn)C和點(diǎn)N分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴的長(zhǎng)度不變，為．10．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，數(shù)軸上，，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，，，滿足，，且為最大的負(fù)整數(shù)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，將射線沿點(diǎn)對(duì)折后落在射線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求的值；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)，相遇時(shí)，求的值．【答案】(1)2．(2)．【分析】本題考查的是負(fù)整數(shù)的定義，線段中點(diǎn)的定義，一元一次方程的幾何應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．（1）先求解，，由中點(diǎn)的定義可得，再建立方程求解即可；（2）當(dāng)點(diǎn)，相遇時(shí)，結(jié)合，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：，，且為最大的負(fù)整數(shù)，，，．由題意，得，．為的中點(diǎn)，，即，解得．的值為2．（2）解：根據(jù)題意，得，，．當(dāng)點(diǎn)，相遇時(shí)，由，，解得．當(dāng)，相遇時(shí)，．11．（23-24七年級(jí)上·山東濰坊·期末）數(shù)軸上A，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，12，線段在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)始終是的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到A，之間時(shí)，若，則______；______；(2)如圖2，當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，分別在點(diǎn)A兩側(cè)時(shí)，設(shè)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為．①＝______（用含的代數(shù)式表示）；②求與的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)在數(shù)軸上表示數(shù)的位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．求運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】(1)4，4(2)①；②(3)1秒或3秒【分析】（1）兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng)即可；（2）①中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，再用表示出即可；②用表示出，即可得出與的數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況討論，利用兩點(diǎn)距離公式列出方程可求解．【詳解】（1）解：∵A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、12，∴，∵，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：4，4；（2）解：①∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，∴，∴．故答案為：；②∵，，∴；（3）解：∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上表示數(shù)，，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為；，，當(dāng)點(diǎn)P向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，且與Q沒(méi)有相遇時(shí)，由題意可得：，解得；當(dāng)點(diǎn)P向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，且與Q相遇后時(shí)，由題意可得：，解得；綜上所述：運(yùn)動(dòng)1秒或3秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．掌握兩點(diǎn)間的距離公式，正確的列出代數(shù)式和方程，是解題的關(guān)鍵．12．（23-24七年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·期末）如圖，P是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，兩點(diǎn)分別從出發(fā)以、的速度沿直線先向左運(yùn)動(dòng)（C在線段上，D在線段上）．

(1)若運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說(shuō)明；(2)在（1）的條件下，Q是直線上一點(diǎn)，且，求的值；(3)在（1）的條件下，若運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段上），分別是的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或(3)②正確，【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，（1）設(shè)C，D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒，先表示出，進(jìn)而求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可；（3）若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，設(shè)，則．求得，當(dāng)M、N分別是的中點(diǎn)時(shí)，的值不變．設(shè)當(dāng)C點(diǎn)停止后D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)秒．分別表示出，繼而求出，進(jìn)而表示出，即可求解．能夠根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)C，D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．∵，∴，∴，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，∵，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，∴；綜上，的值為或1；（3）②的值不變，正確，理由如下：若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，則，，由（1）知，設(shè)，則．∵，∴，解得，∴，當(dāng)M、N分別是的中點(diǎn)時(shí)，的值不變．設(shè)當(dāng)C點(diǎn)停止后D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)秒．則，∴，∴，∴．13.（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖1，已知數(shù)軸上從左向右依次有四點(diǎn)、、、，其中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是．(1)若，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______；(2)如圖2，在（1）的條件下，若一小球甲在數(shù)軸上從點(diǎn)處以單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)處以單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)甲乙兩小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，立即在點(diǎn)和點(diǎn)處各放一塊擋板，其中，當(dāng)球在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問(wèn)：為何值時(shí)，甲、乙兩小球之間的距離為個(gè)單位．(3)在（2）的條件下，將線段、分別繞點(diǎn)、點(diǎn)豎直向上折起，連接線段，圍成如圖3的長(zhǎng)方形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以單位/的速度沿點(diǎn)－－－勻速運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，問(wèn)：為何值時(shí)，的面積為？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)，，得到，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解；（2）由題意可得甲、乙碰到板子的時(shí)間均為，分為碰板前后兩種情況討論，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合題意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合題意，由此即可解答；（3）先分別計(jì)算出當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)、、時(shí)的時(shí)間值，再分類(lèi)討論當(dāng)運(yùn)動(dòng)到、、上的情況，根據(jù)面積公式列方程求出時(shí)間即可．【詳解】（1），，，，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，故答案為：；（2），，即，由題意可得甲、乙碰到板子的時(shí)間均為，分類(lèi)討論，分為碰板前后兩種情況，①甲、乙碰到板子前（），甲距離點(diǎn)：，乙距離點(diǎn)：，解得：，，符合題意；②甲、乙碰到板子后（）甲與點(diǎn)的距離為：，乙與點(diǎn)的距離為：，，解得：，，符合題意，綜上所述，或?yàn)闀r(shí)，甲、乙兩小球之間的距離為個(gè)單位；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，①當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，即，解得：，符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，由（2）得，，即，解得：，符合題意；③當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，，即，解得：，不符合題意；綜上所述，為或時(shí)，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間的距離公式，理解題意找到其中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．14．（23-24七年級(jí)·福建·期末）如圖，已知，點(diǎn)C、D分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，求的值；(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持，求OA的長(zhǎng)；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)M，使，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結(jié)果即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，∴，∵，∴，∴，∴．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵，，∴，∴；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．15．（23-24七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）材料閱讀：對(duì)線段而言，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，有，反過(guò)來(lái)，當(dāng)有時(shí)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則______；若，則______；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，若它們相遇則點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩中點(diǎn)之間的距離；(3)已知線段，點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s，則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立？【答案】(1)，(2)之間的距離(3)或時(shí)，等式成立【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段中點(diǎn)等知識(shí)．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用含的式子表達(dá)線段的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．（1）用含式子表示，即可求解；（2）由題意先求和，根據(jù)中點(diǎn)定義求出和，即可求得的距離；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前時(shí)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回時(shí)，分別表示、，代入題中等式，即可求出時(shí)間．【詳解】（1）解：，，又，，．（2）如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，，又、是線段、的中點(diǎn)，，，．（3）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前時(shí)，即時(shí)，由題意得，，，，又，，解得：；當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回時(shí)，即時(shí)，由題意得，，，又，，解得：，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，等式成立．16．（23-24七年級(jí)上·湖南永州·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)N表示的數(shù)為n，且．

(1)______，______；(2)P為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q為的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，點(diǎn)Q在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q均在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，線段的中點(diǎn)、和差的計(jì)算，（1）根據(jù)幾個(gè)非負(fù)性項(xiàng)之和為0，則每一個(gè)非負(fù)性均為0，據(jù)此即可求解；（2）分當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，點(diǎn)Q在線段上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q均在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，三種情況討論，畫(huà)出圖形，根據(jù)線段的中點(diǎn)、和差即可計(jì)算求解．【詳解】（1）∵，又∵，，∴，，∴，，故答案為：，；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，點(diǎn)Q在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q均在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，，理由如下：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如圖，

∵點(diǎn)P表示的數(shù)為x，點(diǎn)N表示的數(shù)為，點(diǎn)M表示的數(shù)為，∴，，∴，∵Q為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，點(diǎn)Q在線段上時(shí)，即，如圖，

∴，，∴，∵Q為的中點(diǎn)，∴，且，∴，則：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q均在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，如圖，

∴，，∴，∵Q為的中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，∴，∴，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，點(diǎn)Q在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q均在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，．17．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點(diǎn)C將線段分成和兩部分，若，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段稱作互為圓周率伴侶線段(1)若，則______；(2)若點(diǎn)D也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置(3)若點(diǎn)M、N均為線段的圓周率點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(4)在圖2中，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)O、C位置同時(shí)出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，P、C、Q三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)，請(qǐng)求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點(diǎn)的定義及相關(guān)線段的大小比較即可解題；（3）由題意可知，點(diǎn)C表示的數(shù)是，設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且，根據(jù)題意可得關(guān)于x的一元一次方程，求解即