專題07 線段中的四類動態(tài)模型解讀與提分精練-2025年人教版七年級《數(shù)學》寒假培優(yōu)分層作業(yè)

PAGE1專題07線段中的四類動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點和常考點，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；定值問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.線段中點、和差倍分關系中的動態(tài)模型 1模型2.線段上動點問題中的定值模型 5模型3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型 8模型4.閱讀理解型（新定義）模型 12 17模型1.線段中點、和差倍分關系中的動態(tài)模型1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；3）根據(jù)題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。例1．（23-24七年級上·陜西西安·期末）如圖，已知線段，點以每秒的速度從點沿向點運動，經(jīng)過1秒后點以每秒的速度從點沿向點運動，當點到達點時，、同時停止運動，設點運動的時間為秒．(1)當時，求線段的長度；(2)當為何值時，線段的長為？(3)當為何值時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點？【答案】(1)(2)當為6或時，線段的長；(3)當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．【分析】本題考查的是線段的和差運算，一元一次方程的應用，理解題意，清晰的分類討論是解本題關鍵．（1）先求解當時，，，再利用線段的和差運算即可得到答案；（2）利用線段的和差關系建立方程求解即可；（3）分三種情況：當點為的中點時，當點為的中點時，當點為的中點時，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當時，，，∴．（2）由題意，，，當點在點左側時，，解得；當點在點右側時，，解得．綜上所述，當為6或時，線段的長．（3）當點為的中點時，，解得；當點為的中點時，，解得；當點為的中點時，，解得．綜上所述，當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．例2．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，已知數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別為和8．(1)若點A，B分別以每秒1和3個單位長度的速度向左移動，直接寫出移動多少秒時，A，B兩點的距離恰好為8？(2)若P為射線上的一點（點P不與A，B兩點重合），M為的中點，N為的中點，當點P在射線上運動時，線段的長度是否發(fā)生改變？若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長；若改變，請說明理由．(3)在第（2）問的條件下，點P所表示的數(shù)是多少時，？【答案】(1)當移動1秒或9秒時，A，B兩點的距離恰好為8(2)線段的長度不發(fā)生變化，其值為5，理由見詳解(3)點所表示的數(shù)為或，【分析】（1）設A、B兩點移動的時間為，然后根據(jù)題意可分當點B在點A的右側和左側進行分類求解即可；（2）此題可分兩種情況討論，即分和兩種情況求得的長即可得到答案；（3）分當點在、兩點之間運動和點在點的左側運動兩種情況求得的長，從而求得點所表示的數(shù)．【詳解】（1）解：設A、B兩點移動的時間為，由題意可知后點A、B在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為，當點B在點A的右側時，則有，解得：；當點B在點A的左側時，則有，解得：；綜上所述：當移動1秒或9秒時，A，B兩點的距離恰好為8；（2）解：線段的長度不發(fā)生變化，其值為5．∵M為的中點，N為的中點，∴，分下面兩種情況：①當點在、兩點之間運動時（如圖）．；②當點在點的左側運動時（如圖）．．綜上所述，線段的長度不發(fā)生變化，其值為5．（3）解：當點在、兩點之間運動時，∵，∴，又，解得：，此時點所表示的數(shù)為；當點在點的左側運動時，同理得：，，解得：．此時點所表示的數(shù)為．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用及數(shù)軸的知識，由于引進了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結合的數(shù)學思想．例3．（23-24七年級上·天津和平·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點，C、D兩點分別從M，B出發(fā)以的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）(1)若，當點C、D運動了，求的值；(2)若點C、D運動時，總有，求的值；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點，且，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了線段的和差問題和兩點間的距離的計算，（1）計算出和的長，進而可得出答案；（2）由結合（1）問便可解答；（3）由，分兩種情況討論：①點N在線段上時，②點N在的延長線上時；結合圖形計算出線段的長度關系即可求解；【詳解】（1）解：當點C、D運動了時，，∵，．（2）解：設運動時間為t，則，∵，又，，即，∴；（3）解：由（2）可得：，∵，，，點N在線段上時，如圖，∵，∴，，即．當點N在線段AB的延長線上時，如圖，∵，，∴，即．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查求線段長短的知識，關鍵是細心閱讀題目，根據(jù)條件理清線段的長度關系再解答．模型2.線段上動點問題中的定值模型例1．（24-25七年級上·廣東·假期作業(yè)）在數(shù)軸上點A，，所表示的數(shù)分別是，6，．(1)求的長；(2)若點是的中點，用含的代數(shù)式表示的長；(3)若點以每秒5個單位的速度向左運動，同時，點以每秒20個單位的速度向右運動，點從原點開始以每秒1個單位的速度向右運動，記的中點為，的中點為，試通過計算說明的結果是定值．【答案】(1)8(2)當時，；當時，．(3)是定值，理由見解析【分析】本題考查列代數(shù)式及數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點之間距離的計算公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的計算公式即可解決問題．（2）對點與點的位置進行分類討論即可解決問題．（3）設運動時間為，用含有的代數(shù)式分別表示出及的長即可解決問題．【詳解】（1）解：因為點，所表示的數(shù)分別是，6，所以．（2）解：因為點是的中點，所以，則點表示的數(shù)是2．當時，．當時，．（3）解：設運動的時間為，則點運動后對應點所表示的數(shù)為，點運動后對應點所表示的數(shù)為，點運動后對應點所表示的數(shù)為，因為的中點為，所以點所表示的數(shù)為．因為中點為，所以點所表示的數(shù)為，所以，，，所以．例2．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）如圖（）所示，已知直線上有兩點，，有一根木棒放在直線上，將木棒沿直線左右水平移動．當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置，當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置．

(1)直接寫出木棒的長；(2)木棒在射線上移動的過程中，當時，求的長；(3)另一根木棒長為，和在直線上的位置如圖（）所示，其中點與重合，點與重合．木棒以個單位長度/秒的速度向左移動，木棒以個單位長度/秒的速度向右移動，它們同時出發(fā)，設運動時間為秒，若式子的值為定值，請直接寫出此時的取值范圍，并寫出這個定值．【答案】(1)；(2)或；(3)，定值為．【分析】（）根據(jù)題意可得的長等于的三分之一，即可求解；（）設，分點在點左側和右側兩種情況列方程求解即可；（）由式子的值為定值可判斷出木棒和木棒重疊，分別求出點與點重合和點與點重合的時間，即可求出的取值范圍，由木棒和木棒重疊可得的值為定值即為的值；本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意，找到等量關系，并運用分類討論的方法分別列出方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可得，；（2）解：設，當點在點左側時，，∵，∴，解得，∴；當點在點右側時，，∵，∴，解得，∴；∴的長為或；（3）解：由題意可得，當木棒和木棒重疊時，式子的值為定值，定值即為，當點與點重合時，，解得；當點與點重合時，，解得；∴當時，式子的值為定值，定值為．例3．（2024七年級上·重慶·專題練習）如圖①，已知線段，，線段在射線上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且(1)若，求的長．(2)當在線段的延長線上時，如圖②所示，若點分別是線段的中點，求的長．(3)當運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段延長線上任意一點，請判斷是否為定值，并說明理由．【答案】(1)或(2)(3)是，見解析【分析】此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解決問題的關鍵．先根據(jù)非負數(shù)的性質求出，，則．（1）若，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，則，根據(jù)可得的長；②當點C在點B的右側時，根據(jù)可得的長；（2）設，則，根據(jù)線段中點定義得，，，從而得，由此可得的長；（3）設，根據(jù)點D與點B重合，點C在點D的左側得點C在線段上，再根據(jù)點P在線段的延長線上畫出圖形，結合圖形得，則，據(jù)此可得出結論．【詳解】（1）解：∵，，，，解得：，，若，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，如圖1①所示：，，；②當點C在點B的右側時，如圖1②所示：，；綜上所述：線段的長為或．（2）解：設，如圖2所示：，∵點分別是線段的中點，，，∴，∴；（3）解：為定值，理由如下：設，∵點D與點B重合，點C在點D的左側，∴點C在線段上，又∵點P在線段的延長線上，如圖3所示：∴，∴，∴．∴為定值．模型3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江蘇南通·七年級月考）如圖，數(shù)軸上點A，C對應的實數(shù)分別為和4，線段，，，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運動，同時線段以1cm/秒的速度向左勻速運動．(1)問運動多少秒時？(2)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時間？(3)P是線段上一點，當B點運動到線段上時，是否存在關系式．若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分點B在點C的左邊和點B在點C的右邊兩種情況討論；（2）所走路程為這兩條線段的和，用路程，速度，時間之間的關系可求解；（3）隨著點B的運動，分別討論當點B和點C重合、點C在點A和B之間及點A與點C重合時的情況．【詳解】（1）設運動t秒時為2單位長度，①當點B在點C的左邊時，由題意得：，解得：；②當點B在點C的右邊時，由題意得：，解得：．綜合①②得：當運動1秒或2秒時；（2）∵，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是4，，而（秒），線段與線段運動秒后相遇，又，（秒），線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過秒長時間；（3）存在，設運動時間為t秒，①當時，點B和點C重合，，點P在線段AB上，，，當時，，即；此時，②當時，點C在點A和點B之間，，當點P在線段BC上時，，，，，有，故時，，③當時，點A與點C重合，，，，，，有，故，此時，綜上，線段PD的長為或5．【點睛】本題以線段和差為題考查了一次方程的應用；讀懂題意，分類列方程解決問題是解題的關鍵．例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數(shù)軸是重要的數(shù)學學習工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結合．已知結論：數(shù)軸上點表示的數(shù)分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數(shù)為．【知識運用】（）點表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數(shù)為______．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，點是線段的中點．①點表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；③線段的長度隨時間的變化而變化，當點在點左側時，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請說明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此時定值．【分析】（）根據(jù)題意，求出，再根據(jù)結論解答即可求解；（）根據(jù)題意，表示出秒后點表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點計算公式求解即可；根據(jù)線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；根據(jù)兩點之間的距離公式求出，得到，當時即可求出常數(shù)的值，進而求出定值．【詳解】解：（）∵與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，∴，，∴；線段的中點表示的數(shù)為；故答案為：；；（）秒后，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∵點是線段的中點，∴點表示的數(shù)是，故答案為：；當點為中點時，則，解得，不合，舍去；當點為中點時，則，解得；當點為中點時，則，解得；∴運動時間的值為或；當點在點左側時，，，∴，當時，∴，此時，定值．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線段中點計算公式是解題的關鍵．例3．（2024·廣西桂林·七年級期末）如圖，在直線AB上，線段，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運動．M為AP的中點，N為BP的中點，設點P的運動時間為t秒．(1)若點P在線段AB上的運動，當時，；(2)若點P在射線AB上的運動，當時，求點P的運動時間t的值；(3)當點P在線段AB的反向延長線上運動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計算即可求解；（2）分點在線段上運動和線段的延長線上運動進行討論，從而求解；（3）先將和表示出來，再求出線段、、之間的數(shù)量關系．（1）解：∵M為AP的中點，，∴，∵線段，N為BP的中點，∴．故答案是：2；（2）解：①當點P在線段AB上，時，如圖，∵，，∴，解得：．②當點P在線段AB的延長線上，時，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當時，點P的運動時間t的值為8或24．（3）解：當點P在線段AB的反向延長線上時，，∵，，∴．【點睛】本題主要考查了點的運動和線段之間的關系，熟練掌握幾何的基礎知識是解答本題的關鍵．模型4.閱讀理解型（新定義）模型例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．（1）線段的中點______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；（2）若，點是線段的巧點，則最長為______；【解決問題】（3）如圖②，已知，動點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動；點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為．當為何值時，為、的巧點？說明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）當為或或時，為、的巧點【分析】本題考查了線段的相關計算，與線段有關的動點問題，一元一次方程的應用．（1）根據(jù)“巧點”的定義解答即可；（2）點為線段的巧點，則最長時，滿足，即，即可求解；（3）根據(jù)“巧點”的定義，分為或或，三種情況，分別計算即可求解．【詳解】（1）解：∵點在線段上，點為線段的中點，∴，∴點是線段的的“巧點”，故答案為：是．（2）解：點在線段上，點為線段的巧點，∴則最長時，滿足，即，∴，故答案為：．（3）解：秒后，，，，∵為、的巧點∴或，或，當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，∴當為或或時，為、的巧點．例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【概念學習】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．【理解與應用】(1)已知點在線段上．若，，則________；若，，則_________．(2)如圖2，線段，是線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以，的速度同時向點運動，運動的時間為，當其中一點到達點時，兩點都停止運動．①若點在上運動時，總有，求出的值；②若，則當為何值時，；③若時，，則___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【分析】本題考查了一元一次方程的應用，線段的數(shù)量關系，解題關鍵在于理解新定義，根據(jù)新定義列出方程即可．（1）根據(jù)新定義，列出式子即可．（2）①設，，表示出，列式子求解．②根據(jù)定義，，表示出，即可求解．③分兩種情況進行討論，一個是當在的左側時，一個當在的右側時，根據(jù)新定義列出式子，進行求解．【詳解】（1）解：若，，則，若，，則，∵，∴．∵∴．故答案為：；18；（2）①，．∵，∴．∴．∴；②∵，，∴，則．∴，，∵，∴，故；③∵．∴，．分兩種情況：當在的左側時，∵，∴．∴．可知，，則；當在的右側時，．，則；綜上所述，或；故答案為：或．例3．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖1，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，將這兩點在數(shù)軸上以相同的速度同時相向運動，若A，B分別到達M，N兩點（我們用表示以點A、點B為端點的線段的長，、表示的含義以此類推），且滿足（k為正整數(shù)），我們稱兩點完成了一次“準相向運動”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續(xù)運動，分別到達，兩點，且滿足（k為正整數(shù)）我們稱兩點完成了二次“準相向運動”…．(1)若A，B兩點完成了一次“準相向運動”．①當時，M，N兩點表示的數(shù)分別為、；②當k為任意正整數(shù)時，求M，N兩點表示的數(shù)；(2)如圖2所示，若A，B兩點完成了兩次“準相向運動”，并分別到達，兩點，若k不變，求，兩點所表示的數(shù)（用含k的式子表示）；(3)若A，B兩點完成了n次“準相向運動”，并分別到達兩點，當時是否存在點，使其表示的數(shù)為65？如果存在，求完成的次數(shù)n和此時點所表示的數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】(1)①5，；②M點為，N點為(2)為，為(3)存在，n為5，為【分析】（1）①由題意可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②根據(jù)，可得，即可．（2）由（1）中②可得兩點的值，再進行一次“準相向運動”計算，根據(jù)點和也關于AB中點1對稱，且k值不變即可求解．（3）根據(jù)題意可得，根據(jù)，可得點，到的中點的距離相等，從而表達出對應和的值，從特殊取值過程中，研究n和點以及點的關系，總結出一般規(guī)律進行解題．【詳解】（1）解：①∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴，又∵，，∴M點為5，N點為，故答案為：5，．②∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴．∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴，且AB中點所對應的數(shù)為1，又∵，∴中點所對應的數(shù)也為1，∵，，∴M點為，即，N點為，即；（2）解：由（1）中②可得M點為，N點為，點和也關于中點1對稱，∴．∴，∴．∴為，為．（3）解：存在，理由：∵，A，B兩點完成了n次“準相向運動”，∴，∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，∴的中點所表示的數(shù)為1，∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，∴．∴．∴，∴點，到的中點的距離相等，當n為1時，根據(jù)（1）得：此時點為5，為，當n為2時，為，為，當n為3時，為，為，當n為4時，為，為，以此類推發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時，為正數(shù)，而正數(shù)的規(guī)律是，令，∴，∴，∴．．當表示的數(shù)為65時，，解得：．又∵和關于1對稱，∴為．答：存在次數(shù)n使得為65，此時n為5，為．【點睛】本題考查列代數(shù)式的表達能力，數(shù)軸上表示數(shù)，利用數(shù)軸上線段中點解決相關問題，乘方，數(shù)的規(guī)律總結能力以及數(shù)軸相關知識運用，難度偏大，利用數(shù)形相結合是解題的關鍵．1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，在數(shù)軸上，O是原點，點A表示的數(shù)是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當點B與點O重合時，；乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；乙：畫出圖形，設點P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說法；丙：設點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，利用中點公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當點B與點O重合時，，故甲的說法錯誤；乙：如圖2，當點C與點A重合時，設點P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說法正確；丙：點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，∵O是原點，點A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點，∴點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是，∴，故丙的說法正確．故選D．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，線段中點的計算，整式的加減等知識，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．2．（23-24七年級上·浙江紹興·期中）電子跳蚤游戲盤(如圖)為三角形，如果電子跳蚤開始時在邊的點，，第一步跳蚤從跳到邊上點，且；第二步跳蚤從跳到邊上點，且；第三步跳蚤從跳回到邊上點，且；…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第n次落點為，則與C之間的距離為．【答案】5【分析】本題首先根據(jù)題意，分別計算電子跳騷的位置和三角形的頂點的距離，找到循環(huán)的規(guī)律：經(jīng)過6次跳，電子跳蚤回到起跳點．根據(jù)這一規(guī)律確定第2022次落點的位置，可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，此時與重合，即經(jīng)過6次跳，電子跳蚤回到起跳點．∵，即與重合，∴與C之間的距離為．故答案為：5【點睛】本題考查了規(guī)律型：此題主要是能夠根據(jù)題意利用線段的和差計算出有關線段的長，發(fā)現(xiàn)電子跳蚤的落點的循環(huán)規(guī)律，掌握由特殊到一般推導規(guī)律是解題的關鍵．3．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知長方形中，，，動點從點出發(fā)沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發(fā)以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為；（3）點、相遇時，秒．【答案】7.2【分析】（1）由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，由，可知當點到達終點時，點運動路程為，由，可判斷點的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，∵，∴當點到達終點時，點運動路程為，∵，∴點在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．【點睛】本題考查動點，列代數(shù)式，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）已知直線上線段，線段（點在點的左側，點在點的左側），若線段的端點從點開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時點從點開始以2個單位/秒的速度向右運動，點是線段的中點，則線段運動秒時，．【答案】2或18【分析】設線段運動的時間為t秒，則，，，，．分兩種情況計算：①當M點在N點左側時，②當M點在N點右側時，分別將和用含有t的式子表示出來，根據(jù)列方程即可求出t的值．本題主要考查了線段的中點、線段的和差、直線上的動點問題，解題的關鍵是正確的把各條線段用含有t的式子表示出來，并且注意分類討論．【詳解】，設線段運動的時間為t秒，則，，，，∵點N是線段的中點，．①當M點在N點左側時，，，，解得．②當M點在N點右側時，，，，，解得．綜上，線段運動2秒或18秒時，．故答案為：2或18．5．（23-24七年級上·云南·期末）如圖，在射線上有三點，滿足．點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動；點從點出發(fā)在線段上向點勻速運動（點運動到點時停止運動），兩點同時出發(fā)．(1)當（在線段上）時，點運動到的位置恰好是線段的中點，則點的運動速度為____________．（直接寫出答案即可）(2)若點的運動速度為，經(jīng)過多長時間兩點相距？(3)當點運動到線段上時，分別取和的中點則____________．（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)經(jīng)過2秒，秒，P、Q兩點相距；(3)【分析】（1）根據(jù)，求得，得到，求得，根據(jù)線段中點的定義得到，求得，由此即得到結論；（2）分點P、Q相遇前和點P、Q相遇后兩種情況，設運動時間為t秒，然后分別根據(jù)線段的和差、速度公式列出等式求解即可得；（3）先畫出圖形，再根據(jù)線段的和差、線段的中點定義求出和的長，從而即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點P在線段上時，，，∴，而，∴，∴，∵點Q是線段的中點∴，而，∴，∴點Q的運動速度為；（2）解：設運動時間為t秒則，∵點Q運動到O點時停止運動∴點Q最多運動時間為依題意，分以下兩種情況：①當點P、Q相遇前，，即，解得②當點P、Q相遇后，，，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意，舍去；當時，與重合，停止運動，此時，當再運動時，相距，此時，綜上，經(jīng)過2秒，秒，P、Q兩點相距；（3）解：如圖，設，點P在線段上，則，即，點E、F分別為和的中點，，則．【點睛】本題考查了線段的和差、線段的中點定義，一元一次方程的應用等知識點，較難的是題（2），依題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．6．（23-24七年級上·天津和平·期末）已知線段，線段CD在直線AB上運動（在的左側，在的左側）．(1)若滿足；①當點與點重合時，；②、分別是、BD的中點，當時，求的長；(2)當線段CD運動到點距離點一個單位長度時，若有一點在點右側且位于線段AB的延長線上，試求的值．【答案】(1)①；②；(2)8或4【分析】（1）①本題考查了線段的和差，解題的關鍵是根據(jù)平方非負性求出a，b得值；②本題考查了線段得和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩種情況；（2）本題考查了線段的和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩張情況．【詳解】（1）解：，，，①當D點與B點重合時，；②如下圖1，分別為線段的中點，，；如上圖2，分別為線段的中點，，；（2）如下圖，由題意得：，；如下圖，，．7．（23-24七年級上·江西南昌·期末）已知：如圖，點M是線段上一定點，，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）。(1)若，當點C、D運動了，此時，；（直接填空）(2)當點C、D運動了，求的值；(3)若點C、D運動時，總有，則；（直接填空）(4)在（3）的條件下，是直線上一點，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或1【分析】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．（1）先求出、的長，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出與的關系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得，然后根據(jù)，代入即可求解；（4）分點N在線段上和點N在線段的延長線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，，，∵，，∴，∴，，故答案為：；．（2）解：當點C、D運動了時，，，∵，∴；故答案為：；（3）解：根據(jù)C、D的運動速度知：，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：；（4）解：①當點N在線段上時，如圖1，

∵，又∵∴，∴∴；②當點N在線段的延長線上時，如圖2，

∵，又∵，∴，∴；綜上所述：或1．8．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）已知：數(shù)軸上有點A，表示的數(shù)為a，且滿足關于x的方程為一元一次方程．數(shù)軸上還存在線段和線段（點M始終在點N左邊，點P始終在點Q左邊）．(1)當三點重合，且，時，求的值及所表示的數(shù)．(2)如圖，若線段的中點為，線段的中點為，求的值．(3)在（1）的條件下，點M從A點出發(fā)，使線段以1個單位每秒的速度向右勻速運動，點P從A點出發(fā)，使線段以3個單位每秒的速度向右勻速運動，當點P與點N重合時，線段以原速返回向左運動，當點Q與點M相遇時，線段再次以原速向右運動……當點N所表示的數(shù)為時，求點P與點N共相遇了多少次？【答案】(1)；點表示的數(shù)為；點表示的數(shù)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可求出的值，由三點重合，，可得，，進而可求出點所表示的數(shù)；（2）由線段的中點為，線段的中點為可得：，；再通過線段的和差關系可得，即可得出結果；（3）計算出從點與點第一次重合到點與點第二次重合所需時間為秒；即從點與點第一次重合后的每秒，點與點相遇一次；依次計算即可；【詳解】（1）解：∵關于x的方程為一元一次方程∴解得：∵三點重合∴，∴點表示的數(shù)為：；點表示的數(shù)為：（2）解：∵線段的中點為，線段的中點為∴，∴∴（3）解：在（1）的條件下表示的數(shù)為，當點所表示的數(shù)為時；∴線段的總運動時間為：（秒）點與點第一次重合所用時間為：（秒）從點與點第一次重合到點與點第二次重合所需時間為：（秒）即從點與點第一次重合后的每秒，點與點相遇一次；故點與點共相遇：（次）答：當點所表示的數(shù)為時，求點與點共相遇了次．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、線段的和差關系、圖形運動中的周期規(guī)律；熟練掌握上述基礎知識是解題的關鍵．9．（23-24七年級上·湖南湘西·期末）如圖，M是線段上一動點，沿以的速度往返運動1次，N是線段的中點，，設點M運動時間為t秒．(1)當時，①______，②此時線段的長度______；(2)用含有t的代數(shù)式表示運動過程中的長；(3)在運動過程中，若中點為C，則的長度是否變化？若不變，求出的長；若變化，請說明理由．【答案】(1)①2，②；(2)當時，，當時，；(3)的長度不變，為【分析】本題主要考查了線段的和差計算，線段中點的定義，列代數(shù)式：（1）①根據(jù)路程等于速度乘以時間進行求解即可；②根據(jù)線段的和差關系和線段中點的定義可得答案；（2）分當時，當時，兩種情況討論求解即可；（3）根據(jù)線段中點的定義得到，再由線段的和差關系可得．【詳解】（1）解；①由題意得，；②∵，，∴，∵N是線段的中點，∴；（2）解：當時，，當時，；（3）解：∵點C和點N分別是的中點，∴，∴，∴的長度不變，為．10．（23-24七年級上·四川綿陽·期末）如圖，數(shù)軸上，，三點對應的數(shù)分別是，，，滿足，，且為最大的負整數(shù)，點為線段上一點，將射線沿點對折后落在射線上，點的對應點為，點為的中點．(1)求的值；(2)動點從點出發(fā)沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向點運動，同時動點從點出發(fā)沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向點運動．設運動的時間為秒，當，相遇時，求的值．【答案】(1)2．(2)．【分析】本題考查的是負整數(shù)的定義，線段中點的定義，一元一次方程的幾何應用，理解題意是關鍵．（1）先求解，，由中點的定義可得，再建立方程求解即可；（2）當點，相遇時，結合，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：，，且為最大的負整數(shù)，，，．由題意，得，．為的中點，，即，解得．的值為2．（2）解：根據(jù)題意，得，，．當點，相遇時，由，，解得．當，相遇時，．11．（23-24七年級上·山東濰坊·期末）數(shù)軸上A，兩點對應的數(shù)分別是，12，線段在數(shù)軸上運動，點在點的左邊，且，點始終是的中點．(1)如圖1，當線段運動到A，之間時，若，則______；______；(2)如圖2，當線段運動到點，分別在點A兩側時，設在數(shù)軸上對應的數(shù)為．①＝______（用含的代數(shù)式表示）；②求與的數(shù)量關系；(3)當線段運動到點在數(shù)軸上表示數(shù)的位置時，動點從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向運動；同時動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向運動；當點或點中有一點到達點時，另一點也隨之停止運動．求運動多長時間時，，兩點間的距離為1個單位長度？【答案】(1)4，4(2)①；②(3)1秒或3秒【分析】（1）兩點間的距離公式求出的長，，求出的長，進而求出的長，進一步求出的長即可；（2）①中點，求出的長，再用表示出即可；②用表示出，即可得出與的數(shù)量關系；（3）分兩種情況討論，利用兩點距離公式列出方程可求解．【詳解】（1）解：∵A、B兩點對應的數(shù)分別是、12，∴，∵，∴，∵點F是的中點，∴，∴，∴．故答案為：4，4；（2）解：①∵點F是的中點，在數(shù)軸上對應的數(shù)為，，∴，∴．故答案為：；②∵，，∴；（3）解：∵點C運動到數(shù)軸上表示數(shù)，，∴點E表示的數(shù)為；，，當點P向數(shù)軸正方向運動，且與Q沒有相遇時，由題意可得：，解得；當點P向數(shù)軸正方向運動，且與Q相遇后時，由題意可得：，解得；綜上所述：運動1秒或3秒時，P、Q兩點間的距離為1個單位長度．【點睛】本題考查兩點間的距離公式，線段中點有關的計算，列代數(shù)式，一元一次方程的應用．掌握兩點間的距離公式，正確的列出代數(shù)式和方程，是解題的關鍵．12．（23-24七年級上·重慶長壽·期末）如圖，P是定長線段上一點，兩點分別從出發(fā)以、的速度沿直線先向左運動（C在線段上，D在線段上）．

(1)若運動到任一時刻時，總有，請說明；(2)在（1）的條件下，Q是直線上一點，且，求的值；(3)在（1）的條件下，若運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段上），分別是的中點，下列結論：①的值不變；②的值不變．只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．【答案】(1)見解析(2)或(3)②正確，【分析】本題考查了兩點間的距離，（1）設C，D運動的時間是秒，先表示出，進而求解即可；（2）分兩種情況：當點Q在線段上時，當點Q在線段的延長線上時，分別求解即可；（3）若C、D運動5秒后，設，則．求得，當M、N分別是的中點時，的值不變．設當C點停止后D點繼續(xù)運動秒．分別表示出，繼而求出，進而表示出，即可求解．能夠根據(jù)點的運動情況，進行分類討論是解題的關鍵．【詳解】（1）設C，D運動的時間是秒．∵，∴，∴，∴，∴；（2）當點Q在線段上時，∵，∴，∵，∴，∴，∴；當點Q在線段的延長線上時，∵，∴，∴；綜上，的值為或1；（3）②的值不變，正確，理由如下：若C、D運動5秒后，則，，由（1）知，設，則．∵，∴，解得，∴，當M、N分別是的中點時，的值不變．設當C點停止后D點繼續(xù)運動秒．則，∴，∴，∴．13.（23-24七年級上·江蘇泰州·期中）如圖1，已知數(shù)軸上從左向右依次有四點、、、，其中，點對應的數(shù)是．(1)若，則點對應的數(shù)是______；(2)如圖2，在（1）的條件下，若一小球甲在數(shù)軸上從點處以單位/秒的速度向右運動，同時另一小球乙從點處以單位/秒的速度向左運動，當甲乙兩小球開始運動時，立即在點和點處各放一塊擋板，其中，當球在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為秒，問：為何值時，甲、乙兩小球之間的距離為個單位．(3)在（2）的條件下，將線段、分別繞點、點豎直向上折起，連接線段，圍成如圖3的長方形中，點從點出發(fā)，以單位/的速度沿點－－－勻速運動，最終到達點．設點運動時間為秒，問：為何值時，的面積為？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)，，得到，再利用兩點之間的距離公式即可求解；（2）由題意可得甲、乙碰到板子的時間均為，分為碰板前后兩種情況討論，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合題意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合題意，由此即可解答；（3）先分別計算出當點運動到點、、時的時間值，再分類討論當運動到、、上的情況，根據(jù)面積公式列方程求出時間即可．【詳解】（1），，，，點對應的數(shù)是，點對應的數(shù)是，故答案為：；（2），，即，由題意可得甲、乙碰到板子的時間均為，分類討論，分為碰板前后兩種情況，①甲、乙碰到板子前（），甲距離點：，乙距離點：，解得：，，符合題意；②甲、乙碰到板子后（）甲與點的距離為：，乙與點的距離為：，，解得：，，符合題意，綜上所述，或為時，甲、乙兩小球之間的距離為個單位；（3）當點運動到點時，，當點運動到點時，，當點運動到點時，，①當點在運動時，，，即，解得：，符合題意；

②當點在運動時，，，由（2）得，，即，解得：，符合題意；③當點在運動時，，，，即，解得：，不符合題意；綜上所述，為或時，的面積為．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應用，線段的和差關系，三角形的面積，解題的關鍵是掌握兩點之間的距離公式，理解題意找到其中蘊含的等量關系，學會用分類討論的思想解決問題．14．（23-24七年級·福建·期末）如圖，已知，點C、D分別為線段、上的動點，若點C從點O出發(fā)以的速度沿方向運動，同時點D從點B出發(fā)以的速度沿方向運動．

(1)如圖1，當運動時間為時，求的值；(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使，點P是直線OB上一點，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結果即可；（2）設運動時間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結果即可；（3）當點P在O、B之間時，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當點P在點B右邊時，可得，進而可得結果．【詳解】（1）解：當運動時間為時，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設運動時間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點P在點O右邊，當點P在O、B之間時，∴，∵，∴，∴，∴．

當點P在點B右邊時，∵，，∴，∴；綜上，或．【點睛】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關鍵是數(shù)形結合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關系求出結果．15．（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習）材料閱讀：對線段而言，當點在線段上，且點是的中點時，有，反過來，當有時，則點為線段的中點．(1)如圖1，點在線段上，若，則______；若，則______；(2)如圖2，已知線段，點分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，點的運動速度為，點的運動速度為，若它們相遇則點同時停止運動．線段的中點為點，線段的中點為點，運動時，求兩中點之間的距離；(3)已知線段，點分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，若點的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點同時停止運動，設運動時間為s，則當為何值時，等式成立？【答案】(1)，(2)之間的距離(3)或時，等式成立【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，線段中點等知識．運動過程中用含的式子表達線段的長度是解決本題的關鍵．（1）用含式子表示，即可求解；（2）由題意先求和，根據(jù)中點定義求出和，即可求得的距離；（3）分兩種情況：當點到達點之前時，當點到達點返回時，分別表示、，代入題中等式，即可求出時間．【詳解】（1）解：，，又，，．（2）如圖，點的運動速度為，點的運動速度為，運動時間為，，，又、是線段、的中點，，，．（3）當點到達點之前時，即時，由題意得，，，，又，，解得：；當點到達點返回時，即時，由題意得，，，又，，解得：，綜上所述，當或時，等式成立．16．（23-24七年級上·湖南永州·期末）如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)為m，點N表示的數(shù)為n，且．

(1)______，______；(2)P為數(shù)軸上的動點，設Q為的中點，點P從點M向左運動時，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)，(2)當點P在線段上時，；當點P在點N左側，點Q在線段上時，；當點P、點Q均在點N左側時，，理由見詳解【分析】本題考查了絕對值的非負性，線段的中點、和差的計算，（1）根據(jù)幾個非負性項之和為0，則每一個非負性均為0，據(jù)此即可求解；（2）分當點P在線段上時；當點P在點N左側，點Q在線段上時；當點P、點Q均在點N左側時，三種情況討論，畫出圖形，根據(jù)線段的中點、和差即可計算求解．【詳解】（1）∵，又∵，，∴，，∴，，故答案為：，；（2）當點P在線段上時，；當點P在點N左側，點Q在線段上時，；當點P、點Q均在點N左側時，，理由如下：設點P表示的數(shù)為x，∵，，∴，當點P在線段上時，如圖，

∵點P表示的數(shù)為x，點N表示的數(shù)為，點M表示的數(shù)為，∴，，∴，∵Q為的中點，∴，∴，∴，∴；當點P在點N左側，點Q在線段上時，即，如圖，

∴，，∴，∵Q為的中點，∴，且，∴，則：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；當點P、點Q均在點N左側時，如圖，

∴，，∴，∵Q為的中點，∴，且，∴，∴，∴，∴，綜上所述：當點P在線段上時，；當點P在點N左側，點Q在線段上時，；當點P、點Q均在點N左側時，．17．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、點B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段稱作互為圓周率伴侶線段(1)若，則______；(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置(3)若點M、N均為線段的圓周率點，求線段的長度；(4)在圖2中，點P、Q分別從點O、C位置同時出發(fā)，分別以每秒3個單位長度、每秒2個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒．當點P在點C左側時，P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點，請求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點的定義及相關線段的大小比較即可解題；（3）由題意可知，點C表示的數(shù)是，設M點離O點近，且，根據(jù)題意可得關于x的一元一次方程，求解即