學(xué)習(xí)一元函數(shù)微分學(xué)教材課程

二、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度，即：函數(shù)的變化率。微分指明,當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上改變了多少。（一）導(dǎo)數(shù)與微分（1）導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本公式（3）求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（5）微分微分的定義微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分法則一階微分形式不變性

2．要求（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（2）會(huì)求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程。（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4）掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)。（5）理解高階導(dǎo)數(shù)概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。1.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程S是時(shí)間t的函數(shù)：S=S(t).從時(shí)刻t到t+t時(shí)間段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程為：ΔS=S(t+Δt)-S(t)在時(shí)間間隔Δt內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均速度為:平均速度與Δt的取值有關(guān)，一般不等于質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的速度v，但Δt的值愈小，愈接近于t時(shí)刻的速度v(t)。因此,取極限t0,質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度:1.問(wèn)題的提出例自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題如圖,取極限得自由落體運(yùn)動(dòng)的路程S是時(shí)間t的函數(shù)：例f(x)=x2,M(1,1),則M點(diǎn)處的切線(xiàn)方程:y-1=k(x-1)2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題其它形式1.導(dǎo)數(shù)的定義說(shuō)明一：如果存在，處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大在處不可導(dǎo)則稱(chēng)可導(dǎo)與不可導(dǎo)如果不存在，在處可導(dǎo)則稱(chēng)如果則稱(chēng)在關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：說(shuō)明二：如果函數(shù)

在區(qū)間

導(dǎo)函數(shù)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，

函數(shù)

在區(qū)間

，

導(dǎo)函數(shù)，即內(nèi)有一也可記作

，

導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：是一常數(shù)。

是一函數(shù)。

聯(lián)系：即

函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

就是導(dǎo)函數(shù)

在處的值，注：通常，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)．

說(shuō)明三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)所表示的曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率．平行于x軸的切線(xiàn)垂直于x軸的切線(xiàn)x軸切線(xiàn)切線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線(xiàn)斜率為所求切線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為說(shuō)明四：

若物體的運(yùn)動(dòng)方程為則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為路程關(guān)于時(shí)間的變化率，即速度、加速度的表示法，時(shí)間的變化率，物體在時(shí)刻的加速度為加速度是速度v(t)關(guān)于案例

圖中所顯示的是某地某年中每天最高溫度的函數(shù)曲線(xiàn)，指出大概什么時(shí)候溫度的變化率為零。天天案例1[溫度曲線(xiàn)]從某一時(shí)刻開(kāi)始到時(shí)刻通過(guò)該導(dǎo)線(xiàn)橫截面的電量為則為的函數(shù)設(shè)有非穩(wěn)恒電流通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)．案例2

[電流強(qiáng)度]求時(shí)刻的電流強(qiáng)度案例3

[冷卻速度]當(dāng)物體的溫度高于周?chē)橘|(zhì)的溫度時(shí)，物體就會(huì)不斷冷卻。若物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為請(qǐng)表示出物體在時(shí)刻的冷卻速度？案例4

[非均勻桿的線(xiàn)密度]設(shè)有一細(xì)棒，取棒的一端作為原點(diǎn)，棒上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為于是分布在區(qū)間上的質(zhì)量m是x的函數(shù)對(duì)于均勻細(xì)棒來(lái)說(shuō)，單位長(zhǎng)度細(xì)棒的質(zhì)量叫做這細(xì)棒的線(xiàn)密度。如果細(xì)棒是不均勻的，如何確定細(xì)棒在點(diǎn)線(xiàn)密度物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的變化率為物體的瞬時(shí)速度.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的變化率為電流強(qiáng)度.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的變化率為物體的線(xiàn)(面,體)密度.電流對(duì)時(shí)間的變化率為電磁感應(yīng).右導(dǎo)數(shù):說(shuō)明五：?jiǎn)蝹?cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):例:總結(jié)1、導(dǎo)數(shù)的概念2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)所表示的曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)斜率3、導(dǎo)數(shù)的概念的應(yīng)用電流強(qiáng)度、冷卻速度等2.由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解導(dǎo)數(shù)公式例6解3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證舉例0例如,但是,連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo).01例如,例如,011/π－1/π例8解小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線(xiàn)的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.已知解：例已知解：例（02一、07）設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，求.解：（01一5）設(shè)f‘(0)=2.解：(02一6)設(shè)f(x)在x=x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，則f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)可定義為（）而f(x)在x=a間斷，因此f(x)在x=a不可導(dǎo)。已知f(x)在x=1處可導(dǎo)，試確定a,b的值.解：∵可導(dǎo)必連續(xù)（二）求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式定理證(3)推論1.例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得練習(xí)3.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且4.求證:雙曲線(xiàn)xy=a2(a>0)上任一點(diǎn)處切線(xiàn)與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積為常數(shù).解2.解1.解3.解4.證明:在曲線(xiàn)上任曲一點(diǎn)(x,y),2.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證于是有例1解同理可得例2解特別地3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)（三）求導(dǎo)方法證推廣例3解例4解例5解例6解例7解例(02二5）函數(shù)y=f(sinx2)且f(x)可導(dǎo),求y’=()例(03二7）函數(shù)y=f(lntanx)且f(x)可微,求y’=()1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))3.反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1解例2解4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?例11)解解得隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).2)設(shè)y=y(x)由方程ey=xe

f(y)

確定,f二階可導(dǎo),f

1,求y

.解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):eyy

=e

f(y)+xe

f(y)f

(y)y

故(02二6）函數(shù)y=y(x)由方程所確定,求解：3)(04四2）函數(shù)y=y(x)由方程所確定,求解：例2解所求切線(xiàn)方程為顯然通過(guò)原點(diǎn).例3解解：有隱函數(shù)求導(dǎo)法從而，在點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)斜率于是切線(xiàn)方程：例2、證明星形線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)介于兩坐標(biāo)軸之間的一段等于定長(zhǎng)a。解：有隱函數(shù)求導(dǎo)法從而，在點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)方程在兩坐標(biāo)軸上的截距為5、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:例4解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例(03三2）解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得法一法二例(01三2）解5、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問(wèn)題:消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得例1（03一11）解例2（04二5）解例3解

所求切線(xiàn)方程為例4設(shè)其中f可導(dǎo),且解：例5求對(duì)數(shù)螺線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程。解：曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為因此，所求切線(xiàn)方程為即點(diǎn)的直角坐標(biāo)為例6解例7解（四）高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題:變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度.定義記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù),高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例2解例3解注意:

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),分析結(jié)果的規(guī)律性,寫(xiě)出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)例4解例5解例6解同理可得2.n階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:萊布尼茲公式例7解3.間接法:常用高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過(guò)四則運(yùn)算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).例8解例（01二2）設(shè)f(x)=x3+3x求f(4)(0)=________ln43例（04二4）設(shè)f(x)=x3+5x2+e2x求y(10)=________1024e2x解解例101)例92)解練習(xí)2、設(shè)連續(xù)，且，求.解答可導(dǎo)不一定存在故用定義求（五）微分實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題:一般函數(shù)y=f(x)是否也有y=f(x+x)-f(x)=Ax+o(x)?A是什么?如何求?1.微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))由定義知:2.可微的條件定理證(1)必要性(2)充分性例1解MNT）幾何意義:(如圖)P例:已知曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)方程為2x-y+1=0,求x=1處的微分.3.微分的法則求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則例2解例3解4.一階微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性例4解例3解例5解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.于是xdy-ydx=xdx+ydy,.例6設(shè)由確定y為x的函數(shù),求dy.解應(yīng)用微分的運(yùn)算法則及一階微分形式的不變性,有5.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用計(jì)算函數(shù)增量的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值誤差估計(jì)計(jì)算函數(shù)增量的近似值例1解計(jì)算函數(shù)的近似值例1解常用近似公式證明例2解

案例1[金屬立體受熱后體積的改變量]某一正立方形金屬體的邊長(zhǎng)為2米，當(dāng)金屬受熱邊長(zhǎng)增加解體積的微分為將代入上式，得體積改變量米時(shí)，體積的微分是多少？體積的改變量又是多少？案例2[電壓改變量]設(shè)有一電阻負(fù)載歐，現(xiàn)負(fù)載功率P從400瓦變到401瓦，求負(fù)載兩端電壓的改變量。解由電學(xué)知，負(fù)載功率即故所以電壓的改變量為（伏）誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差