高等數(shù)學(xué)方明亮版數(shù)學(xué)課件101常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)講義

高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）1/21/20251第十章無窮級(jí)數(shù)（InfiniteSeries）第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第三節(jié)冪級(jí)數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用第六節(jié)傅立葉級(jí)數(shù)主要內(nèi)容1/21/20252第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)第十章（Conceptionandpropertyofconstanttermseries）一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、小結(jié)與思考練習(xí)1/21/20253收斂

,并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散

.顯然1/21/202551/21/20256例3討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為1/21/202572)若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.1/21/20258二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:

令則這說明收斂,其和為cS.

說明:

級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.1/21/20259性質(zhì)2設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為1/21/2025101/21/202511性質(zhì)3在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)1/21/202512性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如1/21/202513證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.1/21/202514注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.課本給出了另外兩種證法！1/21/202515例6判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.1/21/202516內(nèi)容小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念:

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、收斂、發(fā)散、等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)3.級(jí)數(shù)收斂的判別方法2.收斂級(jí)數(shù)的5個(gè)性質(zhì)課外練習(xí)習(xí)題10－13（偶數(shù)題）；41/21/202517思考與練習(xí)答:（1）若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,（2）若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.(用反證法可證)1/21/202518解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和2、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:1/21/202519(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和1/21/2025203、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.