第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)教學(xué)教案

例1關(guān)鍵:將其它類型未定式化為或型未定式。步驟:例2步驟:步驟:例3對數(shù)恒等式例5解：洛必達法則

第三節(jié)泰勒(Taylor)公式不足:

問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同1.若在

點相交n次泰勒多項式n階泰勒公式拉格朗日型余項說明:

麥克勞林(Maclaurin)公式如下：此時泰勒公式稱為麥克勞林公式.拉格朗日型余項佩亞諾型余項解：近似公式誤差其誤差解：

常用函數(shù)的麥克勞林公式解：解：解：求極限的一種方法－利用泰勒展開式求極限例6解：第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與

曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時導(dǎo)數(shù)小于零。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系觀察結(jié)果：函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)增加定理證：應(yīng)用拉格朗日定理,得例1解：例2解：例3

解：導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:注意:

區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,

y

-2

O

2

-4

-2

2

4

x

y=x3駐點例4

解：例4

解：也可用列表的方式，例5證：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式即原式成立。例6證：由零點定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。例7證：小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.問題:如何研究曲線的彎曲方向?二、曲線的凹凸與拐點

NABM觀察與思考：函數(shù)曲線除了有上升和下降外，還有什么特點？如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是（向上）凹的；曲線凹向的定義如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是（向上）凸的。凹的凸的圖形上任意弧段位于所張弦的上方：凸的圖形上任意弧段位于所張弦的下方：凹的定義觀察與思考：

曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？拐點凹的凸的當(dāng)曲線是凹的時，f

(x)單調(diào)增加。當(dāng)曲線是凸的時，f

(x)單調(diào)減少。曲線凹向的判定曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點。定理例8

解：x

yO例9

解：凹凸凹拐點拐點例10解：拐點的求法：1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點或不可導(dǎo)點；2.若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號,則為拐點,若同號則不是拐點.例11解：利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明不等式

例5證：課后作業(yè)：P145習(xí)題3-33，5，7P152習(xí)題3-43(1)(4)(5)(7)，5(1)(4)