自動控制原理-第4章-線性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法南京工業(yè)大學電氣工程與控制科學學院1根軌跡的概念2繪制根軌跡的依據(jù)3繪制根軌跡的基本法則4參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡5正反饋回路的根軌跡6根軌跡法在工程中的應用及分析根軌跡法閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由閉環(huán)極點唯一地確定；而閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應的基本特征由閉環(huán)極點確定，閉環(huán)零點影響瞬態(tài)響應的形態(tài)，閉環(huán)極點起主導作用。閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析要求確定系統(tǒng)參數(shù)變化對閉環(huán)零極點分布的影響。為了避免直接求解高階特征方程的根，EVANS提出了由開環(huán)傳遞函數(shù)(的零極點)求取閉環(huán)特征根的一種圖解法——根軌跡法。4.1根軌跡法的概念R(s)C(s)-例已知二階系統(tǒng)結構圖如圖所示試分析開環(huán)增益K的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。特征方程式：閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征根：K=0時，s1=0，s2=－1，對應開環(huán)極點。0<K<1/4時，s1、s2都是負實根；若s1=－0.25，s2=－0.75。K=1/4時，s1=s2=－1/2，兩個相等負實根。特征根：1/4<K<∞時，s1,s2為一對共軛復根；K=1/2時，s1,2=－1/2±j0.5。K：0→∞注意：一組根對應同一個K；K一變，一組根變；K一停，一組根停；0-1j0.5jωσK=0-j0.5K=0.1875K=0.25K=0.5根軌跡：簡稱根跡，它是指系統(tǒng)中某一參數(shù)在可能的取值范圍內連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。4.2繪制根軌跡的依據(jù)--根軌跡方程一、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關系G(s)H(s)R(s)C(s)-閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點構成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點及開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關。開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益與開環(huán)放大倍數(shù)不一樣，它們之間相差一個比例系數(shù)。二、根軌跡方程特征方程：根軌跡方程：開環(huán)傳遞函數(shù)：幅值條件：相角條件：k為整數(shù)幅值條件：相角條件：相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。利用相角條件確定根軌跡上的某點位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點對應的根軌跡增益。根軌跡方程：滿足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點，必然在根軌跡上；滿足相角條件的點必然在根軌跡上。幅值條件與相

角條件的應用-1.5-1-20.5s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o4.3繪制根軌跡的基本法則(180o根軌跡，K*：0→∞)利用繪制根軌跡的基本法則，可以簡單快速地根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布繪制出系統(tǒng)的根軌跡草圖。若系統(tǒng)有n個開環(huán)極點、m個開環(huán)零點，則根軌跡的分支數(shù)有n條。它們起始于開環(huán)極點，有m條終止于開環(huán)零點，尚有(n-m)條終止于無窮遠處零點。法則一起始點、終止點及分支數(shù)根軌跡方程：起始點K*→0s

→pi(n個開環(huán)極點)終止點K*→∞s

→zj(m個開環(huán)零點)根軌跡方程：起始點K*→0s

→pi(n個開環(huán)極點)終止點K*→∞s

→zj(m個開環(huán)零點)(n-m個無窮大零點)分支數(shù)K*從0→∞變化時，一條由起始點移至終值點的根軌跡叫一個分支。根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。因為軌跡方程是一個連續(xù)的方程，當根軌跡增益從0→∞連續(xù)變化時，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)極點只有實根和共軛復根兩類，這些極點在s平面上的分布是對稱于實軸的，因此這些根組成的曲線也必然對稱于實軸。實軸上的根軌跡只能是那些在其右側的實數(shù)開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)的線段。法則三實軸上的根軌跡0jωσ圖4-5某系統(tǒng)零極點分布圖p1p2p3p4z1s1θ2θ1法則二根軌跡的對稱性當K*→∞時，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進線趨于無窮遠處。漸進線與實軸的交點坐標和與實軸正方向的夾角分別為：法則四根軌跡的漸進線當K*→∞

時，s

→∞，特征方程(這時是漸近線方程)為：開環(huán)傳遞函數(shù)

開(n－m)次方二項式定理展開并取前二項近似有漸近線傾角當K*→0

時，可得漸近線的起點幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點(會合點，為了簡化可統(tǒng)稱為分離點)。分離點的可能之處可由下列微分方程解出：(極值法)或分離點的坐標d可由如下方程解出：(試探法)由以上方程求出的解一定有根軌跡的分離點，但不一定全是根軌跡的分離點。如果求得的解滿足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點。確定根軌跡幾個分支的分離點，實質上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。法則五根軌跡的分離點確定根軌跡幾個分支的分離點，實質上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。將特征方程寫成在重根處應滿足將K*表示成復變量s的函數(shù)則例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2，無開環(huán)零點。實軸上的根軌跡(-∞，-2]，[-1，0]。漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。交點相角解得畫出大致根軌跡如圖所示得分離點由特征方程-3-210-10-1-212起始角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與正實軸之間的夾角稱為起始角。終止角：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸之間的夾角稱為終止角。法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)在pl附近的根軌跡上取一點s1，則s1滿足根軌跡的相角條件，即過pl和s1作割線，則割線與正實軸之間的夾角為當s1→pl時，∠(s1-pl)→θpl，于是有0jωσ圖4-7根軌跡起始角p1plp3z1s1θpl根軌跡離開(進入)重極點處的分離角(會合角)按等角性原則來確定，即分離點處分離與會合的根軌跡各個分支之間的夾角等于180o/l，l為分離或會合的根軌跡條數(shù)。法則八根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值方法一：特征方程分解法。將s=jω代入特征方程中解之可得交點與臨界增益值。方法二：勞斯判據(jù)法。令勞斯表出現(xiàn)全零行，但第一列符號不變。這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點上。法則七根軌跡的分離角與會合角特征方程：開環(huán)傳遞函數(shù)：，當n>m時，式中si為閉環(huán)極點。法則九閉環(huán)極點的和與積(1)當n-m≥2時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，且為常數(shù)。即上式表明，當K*變化時，若一些特征根向左移動，則另一些特征根必然向右移動。即在s平面上一部分根軌跡向左移動，則另一部分根軌跡必然向右移動。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制K*從

0→∞

變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡。解：開環(huán)極點：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；無開環(huán)零點；四條根軌跡分支。實軸上的根軌跡[-3，0]。漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。交點相角解得那么分離點∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不滿足相角條件，故s2不是根軌跡上的點，不是分離點。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得在分離點s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會合角為0o、180o，故分離角為±90o。根軌跡在p3處的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o與虛軸的交點及臨界增益值：采用勞斯判據(jù)。閉環(huán)特征方程為或勞斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*令勞斯表s1行的首項為零，求得K*=8.16，根據(jù)s2行的系數(shù)寫出輔助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。與虛軸的交點為±j1.1，對應的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根軌跡如右圖所示。例1：繪制例2：例3例4求起始角和終止角

例5：4.4參數(shù)根軌跡與多回路系統(tǒng)根軌跡根軌跡分類：主要根軌跡：指0≤K*<∞時的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數(shù)根軌跡)。0o根軌跡：正反饋系統(tǒng)根軌跡、負參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數(shù)變化時的根軌跡。根軌跡簇：系統(tǒng)中多個參數(shù)變化時的根軌跡。延遲系統(tǒng)的根軌跡：具有延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的根軌跡。廣義根軌跡……已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：一、參數(shù)根軌跡有時需要討論系統(tǒng)中的參數(shù)，如某個微分或積分時間常數(shù)，反饋系數(shù)或校正環(huán)節(jié)參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。這時，需繪制除開環(huán)增益之外的其它參數(shù)變化時的根軌跡，稱為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡的繪制：利用等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，應用常規(guī)根軌跡的繪制法則進行繪制。

等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點。而閉環(huán)零點通常則不同，必須由原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定。按常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出X*變化時等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。一般說，只要所論參數(shù)是線性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫成不含可變參數(shù)的多項式加上可變參數(shù)和另一多項式的乘積，然后將不含參數(shù)的多項式除方程式兩邊即可求等效開環(huán)傳遞函數(shù)?？偨Y：一般步驟求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式1+G(s)H(s)=0對（1）式進行變換1+(GH)c＝0使得參數(shù)X*出現(xiàn)在根軌跡等式上面，即：使得X*成為根軌跡增益按照(GH)c＝－1一般規(guī)則根軌跡方式已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：例已知系統(tǒng)結構圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求Ta由0→∞連續(xù)變化時的閉環(huán)根軌跡。51+TasR(s)C(s)-系統(tǒng)結構圖原系統(tǒng)特征方程即可改寫為新系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中Ta*

=Ta相當于新系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示：

Ta變化反映了系統(tǒng)開環(huán)零點變化對系統(tǒng)性能的影響。當Ta很小時，一對共軛復數(shù)極點離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應有強烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。

當Ta加大時，兩閉環(huán)極點離虛軸遠，靠近實軸，系統(tǒng)的阻尼加強，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。

當Ta再加大時，兩閉環(huán)極點變?yōu)閷崝?shù)，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應具有非周期性。二、多回路反饋系統(tǒng)的根軌跡前面介紹的單回路系統(tǒng)根軌跡的繪制方法，不僅適合單回路，而且也適合多回路系統(tǒng)，其思路和方法是先作內環(huán)根軌跡，再用幅值條件試探求出內環(huán)的閉環(huán)極點，進而作為外環(huán)的一部分開環(huán)極點，再畫出外環(huán)的根軌跡。例已知系統(tǒng)結構圖如圖所示，試繪制該系統(tǒng)關于參數(shù)α的根軌跡。αsR(s)C(s)-具有兩個反饋回路的系統(tǒng)-E(s)解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程K1=2K1=4上式可改寫為系統(tǒng)的特征方程根軌跡簇K1=2K1=4∞←αα=0α=0-j1j1j√3-j√3若取K1不同的定值，取α為可變參數(shù)，畫出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡圖如圖所示。由圖可知，在α為有限值的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。選擇適當?shù)摩林?，可使系統(tǒng)具有較好的相對穩(wěn)定性。例已知控制系統(tǒng)如圖所示：內環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為例已知雙環(huán)反饋系統(tǒng)結構圖如圖所示，試繪制以Kc為變量的根軌跡。R(s)C(s)-圖雙回路反饋系統(tǒng)-解(1)作內環(huán)根軌跡內環(huán)根軌跡如圖所示：(2)求出K*=1.06時的內環(huán)閉環(huán)極點(用試探法)s-2.2-2.3-2.32-2.34-2.36-2.38-2.4K*0.5290.8960.9801.061.161.251.34用試探法求出一個閉環(huán)實極點為s1=-2.34，然后再求一對共軛復數(shù)極點。長除法：解得s2,3=-0.33±j0.58根之和與積：設s2,3=σ±jω根之和：根之積：(3)內環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(4)由內環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得到外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)(5)外環(huán)(系統(tǒng))的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡四、零度根軌跡1.若控制系統(tǒng)為正反饋，如圖G1(s)H(s)特征方程式為1?GK(s)=0幅值條件：相角條件：根軌跡方程:

Gk(s)=1根軌跡方程的相角條件是180°的根軌跡為常規(guī)根軌跡或180°根軌跡，軌跡方程的相角條件是0°的根軌跡為零度根軌跡.2.非最小相位系統(tǒng)：凡是在S平面右半平面有開環(huán)零極點的系統(tǒng)，與之相反稱為最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)中包含有最高次冪的系數(shù)為負的環(huán)節(jié),則也需要繪制零度根軌跡。例如§4.5零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡請注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角條件:2kπ繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個數(shù)不變！不變！2根軌跡對稱于軸實3根軌跡起始于,終止于開環(huán)極點開環(huán)零點()∞()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不變！4∣n-m∣條漸近線對稱于實軸,起點∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不變！漸近線方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5實軸上某段右側零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡偶6根軌跡的分離點j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不變！不變！7與虛軸的交點8起始角與終止角變了3、繪制規(guī)則（與常規(guī)根軌跡相比）①實軸上根軌跡只能出現(xiàn)在其右側開環(huán)零極點總數(shù)為偶數(shù)的區(qū)段上②漸近線θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角入射角例.設單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制根軌跡。解：由題意知，需繪制零度根軌跡。繪制步驟如下：(1)起點：s1=0，s2

=?1，s3

=?5。(2)終點：三條根軌跡都趨向無窮遠。(3)實軸上根軌跡存在的區(qū)間為[－5，－1]，[0，+∞)。(4)計算分離點：N(s)=1，D(s)=s(s+1)(s+5)代入式D′(s)N(s)?D(s)N′(s)=0解得

s1=?3.52s2=?0.48由于?0.48不在根軌跡上，所以根軌跡的分離點為?3.52。(5)根軌跡的漸近線。①傾角四、零度根軌跡②與實軸交點4.7根軌跡法在系統(tǒng)分析中的應用閉環(huán)極點與過渡過程的關系系統(tǒng)穩(wěn)定的條件全部閉環(huán)極點在虛軸之左閉環(huán)極點位置與動態(tài)性能指標的關系閉環(huán)傳遞函數(shù)：矢量長度——與角度有關調節(jié)時間：根平面上的合格區(qū)等ξ線（等超調量線，等衰減比線）等σ線（等ts線）等線ωd線例設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡法，并分析K*=4時系統(tǒng)的性能。解(1)作根軌跡圖如圖所示。

(2)根據(jù)幅值條件確定系統(tǒng)的零極點分布。根據(jù)根軌跡的一些特殊點(如分離點、與虛軸交點)確定試探范圍。0-3-2.3(K*=4.35)s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15當閉環(huán)極點在實軸上取不同值，對應的根軌跡增益如上表所示。當K*=4時，用試探法求得：s1=-2s2=-2.52

特征多項式為當K*=4時，系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點為負實數(shù)，而另兩個則為共軛復數(shù)。

特征多項式為用長除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個閉環(huán)復數(shù)極點為：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系統(tǒng)性能暫態(tài)性能s1和s2的實部分別為復數(shù)極點實部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡化為由主導極點S3,4所決定的二階系統(tǒng)。開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為(傳遞系數(shù)不變)式中：ωn=0.89rad/s，ζ=0.27。系統(tǒng)的單位階躍響應為：超調量峰值時間調節(jié)時間穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)為Ⅰ型：Kp=∞，Ka=0，Kv=K*/(3×2)=4/6=2/3。系統(tǒng)的臨界開環(huán)根軌跡增益K*=8.16，相應的開環(huán)增益K=8.16/(3×2)=1.36系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益取值范圍為0<K<1.36下一張0-3-2.3(K*=4.35)j1.2(K*=8.16)上一張閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響：(1)穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定要求其閉環(huán)極點全部位于左半s平面。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，其響應的根軌跡必須全部位于s平面的左半部。(2)運動形態(tài)。設系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，如果閉環(huán)極點全部為實數(shù)，即對應的根軌跡段全部位于實軸上，則系統(tǒng)的時間響應一定是單調的；如果系統(tǒng)存在閉環(huán)復數(shù)極點，則系統(tǒng)的時間響應一定是有振蕩的。(3)平穩(wěn)性。系統(tǒng)的平穩(wěn)性由系統(tǒng)階躍響應的超調量來度量。欲使系統(tǒng)響應平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復數(shù)極點的阻尼角應盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應的快速性，閉環(huán)主導極點的阻尼角一般取45o。4.7根軌跡法在系統(tǒng)分析中的應用暫態(tài)響應性能分析閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點確定，而閉環(huán)系統(tǒng)的零極點可由根軌跡法確定。當系統(tǒng)存在一對主導極點時，可以用低階系統(tǒng)來近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。(4)快速性。欲使系統(tǒng)具有好的響應快速性，其響應的各暫態(tài)分量應具有較大的衰減因子，且各暫態(tài)分量的系數(shù)應盡可能小。即系統(tǒng)的閉環(huán)極點應遠離虛軸，或用閉環(huán)零點與虛軸附近的閉環(huán)極點構