廣東省茂名市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024年茂名市普通高中高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.4.已知直線與拋物線：交于兩點(diǎn)，則（）A. B.5 C. D.5.已知一個(gè)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7.函數(shù)，（，）滿足，且在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.時(shí)，平面B.時(shí)，四面體的體積為定值C.時(shí)，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，不共線且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.或 B.C. D.，在上的投影向量相等10.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，記事件“”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（）A B. C. D.與互斥11.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，，且，則（）A當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)B.當(dāng)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有1條三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓錐的底面直徑為，母線長(zhǎng)為2，則此圓錐的體積是______.13.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且，則的最大值為_(kāi)_____.14.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在以為直徑的圓上，則的漸近線方程為_(kāi)_____.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，正三棱柱中，為邊的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.16.已知函數(shù)，.（1）若在點(diǎn)處的切線的斜率為1，求的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.17.銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求值.18.已知橢圓：（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)，直線（且）與交于不同的兩點(diǎn)，，若直線與交于另一點(diǎn)，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.某同學(xué)參加趣味答題比賽，規(guī)則如下：第1次答題時(shí)，若答對(duì)則得2分，否則得1分；從第2次答題開(kāi)始，若答對(duì)則獲得上一次答題得分2倍，否則得1分，該同學(xué)每次答對(duì)的概率都為，答錯(cuò)的概率都為，且每次答對(duì)與否相互獨(dú)立.記第次答題得分為.（1）求；（2）求（）的分布列和期望；（3）在游戲開(kāi)始前，該同學(xué)有兩個(gè)選擇，①?gòu)牡?次開(kāi)始，若第次得分剛好為時(shí)，則該同學(xué)獲得勝利，游戲結(jié)束.②從第1次開(kāi)始，若第次得分剛好為時(shí)，則該同學(xué)獲得勝利，游戲結(jié)束.已知共有4次答題環(huán)節(jié)，求該同學(xué)選擇哪個(gè)方案獲得勝利的概率更大.2024年茂名市普通高中高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】由題可得，則，故選：B2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【詳解】,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,位于第二象限,選B.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性得函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C,D，在根據(jù)時(shí)，排除B,進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除C，D.當(dāng)時(shí)，，，排除B.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4.已知直線與拋物線：交于兩點(diǎn)，則（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】證明直線過(guò)焦點(diǎn)，再利用焦半徑公式和韋達(dá)定理即可得到答案.【詳解】將與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，顯然拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，令，即，則，則直線過(guò)焦點(diǎn)，則.故選：B.5.已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與其前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列中有項(xiàng)，其中偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，為等差數(shù)列，，，解得，，此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選：.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】證明函數(shù)的奇偶性，再分析出其單調(diào)性，從而得到，解出即可.【詳解】由可得且，則偶函數(shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則恒成立，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，解得或.故選：D.7.函數(shù)，（，）滿足，且在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】代入解出，再利用整體法得到，解出即可.【詳解】，，因?yàn)?，，則因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)0之前的三個(gè)零點(diǎn)依次為，則，解得.故選：C.8.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.時(shí)，平面B.時(shí)，四面體的體積為定值C.時(shí)，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則【答案】C【解析】【分析】利用線面平行的判定推理判斷A；由線面平行確定點(diǎn)到平面的距離是定值判斷B；由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷C；求出外接球半徑計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，而平面，平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，正方體中，當(dāng)時(shí)，面積是定值，又，平面，平面，則平面，于是點(diǎn)到平面的距離是定值，因此四面體的體積為定值，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而，則，因此不垂直于，不存在，使得平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然平面，則三棱錐與以線段為棱的長(zhǎng)方體有相同的外接球，令球半徑為，則，球的表面積，解得，D正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，進(jìn)而確定球半徑求解.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，不共線且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.或 B.C. D.，在上投影向量相等【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的向量表示即可判斷AB；根據(jù)向量加減法的幾何意義或者根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C；舉出反例即可判斷D.【詳解】對(duì)AB，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)正確；對(duì)C，由向量加法和減法的幾何意義，是矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度是相等的，選項(xiàng)C正確；或者由，則，則，則，則，故C正確；對(duì)D，根據(jù)矩形性質(zhì)知，在上在上的投影向量的模不一定相等，如圖所示：，且，，在上的投影向量分別為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，記事件“”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（）A. B. C. D.與互斥【答案】AC【解析】【分析】列出所有滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可判斷A；求出事件，，的情況，再利用條件概率公式即可判斷BC；再根據(jù)互斥事件的判定方法即可判斷D.【詳解】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的可能結(jié)果共有36種.對(duì)A，事件“”的可能結(jié)果有6種，即，選項(xiàng)A正確；對(duì)B，事件“為偶數(shù)”的可能結(jié)果有種，事件“為偶數(shù)且”的可能結(jié)果有5種，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，事件“為奇數(shù)”的可能結(jié)果有18種，事件“為奇數(shù)且”的可能結(jié)果有2種.，選項(xiàng)C正確；對(duì)D，樣本點(diǎn)為時(shí)，說(shuō)明與不互斥，選項(xiàng)D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，，且，則（）A.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)B.當(dāng)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有1條【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，直接代入求導(dǎo)即可得到其極值點(diǎn)；對(duì)B，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，再根據(jù)其零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到不等式組，解出即可；對(duì)C，代入，化簡(jiǎn)即可；對(duì)D，設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，代入，再轉(zhuǎn)化得，轉(zhuǎn)化為直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且得53a+b>0?9a+b<0，得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，選項(xiàng)C正確；對(duì)D，，不在曲線上.設(shè)過(guò)點(diǎn)的曲線切線的切點(diǎn)為，，過(guò)點(diǎn)的曲線切線的方程為，又點(diǎn)在切線上，有，即，設(shè)，，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，，∵m∈a3+b,+∞,∴m?ba>故選；BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程，將代入切線方程得，最后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓錐的底面直徑為，母線長(zhǎng)為2，則此圓錐的體積是______.【答案】【解析】【分析】求出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式即可求出答案.【詳解】記圓錐的底面半徑為，母線為，高為，則，，故答案為：.13.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】99【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，然后借助數(shù)列單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，所以使得成立的的最大值為99.故答案為：9914.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在以為直徑的圓上，則的漸近線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，利用勾股定理得到，則得到，最后再利用余弦定理得到齊次方程即可.【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，則，在Rt中，，則，故或(舍去)，所以，則，故，所以在中，，整理得，則，則，則，故的漸近線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齊次方程，四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，正三棱柱中，為邊的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明，利用線面平行判定即可證明；（2）利用等體積法求出，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用面面角的夾角公式即可.【小問(wèn)1詳解】連接，與交于點(diǎn)，連接，分別為邊的中點(diǎn)，；又平面平面，平面.【小問(wèn)2詳解】，正三棱柱中，平面，，又是正三角形，是邊的中點(diǎn)，，又，且平面，平面，取的中點(diǎn)，則兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則，，記平面，平面的法向量分別為，則，，即，，故可取，則，，又二面角所成的平面角是銳角，故其余弦值為.16.已知函數(shù)，.（1）若在點(diǎn)處的切線的斜率為1，求的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由求出，再由導(dǎo)致求出極值即可；（2）令，得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出可得單調(diào)性，結(jié)合在上最值情況可得答案.【小問(wèn)1詳解】，若在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則，解得，所以，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以在有極小值，為，無(wú)極大值；【小問(wèn)2詳解】若，則，令，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，即.17.銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可得到，則得到角的大??；（2）記，則，再利用余弦定理得或，再分類討論即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：，，，又，，又.【小問(wèn)2詳解】記，則；由余弦定理，即，，或，時(shí)，角對(duì)的邊最大，且，則是鈍角，舍去；時(shí)，角對(duì)的邊最大，且，符合.又；，又，，.18.已知橢圓：（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)，直線（且）與交于不同的兩點(diǎn)，，若直線與交于另一點(diǎn)，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）首先得到，再根據(jù)離心率和關(guān)系即可得到方程組，解出即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，計(jì)算直線的方程，令化解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，又由，得，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，，所以，直線的方程為，根據(jù)的對(duì)稱性可知，若直線恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，令，解得所以直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再寫(xiě)出直線的表達(dá)式，令計(jì)算為定值即可.19.某同學(xué)參加趣味答題比賽，規(guī)則如下：第1次答題時(shí)，若答對(duì)則得2分，否則得1分；