三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

第29講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)檢

1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(D“五點(diǎn)法”作圖原理：

在正弦函數(shù)y=sinx,［0,2n］的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0),俱1)，(兀，。)，(第一1)，(2兀，0).

在余弦函數(shù)產(chǎn)cosx,問(wèn)0,2n］的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1),俵0),(K,-1),修0),(2儲(chǔ)1).

(2)五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線(注意光滑).

2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)尸sinxy=cosxy=tanx

ry

圖象'G2二、.(\-

\jy|<Xi/*OflrT

定

|x|xGR,且,keZ\

義RR

域

值域[~U][-1J]R

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

在［2加一TI,

在［一冷+2左九,胃+22兀

2如］(k￡Z)上是

單在(―今+E,^+E)(A￡Z)上是

(2￡Z)上是遞增函數(shù)，在遞增函數(shù)，在

調(diào)

］+2丘，與+2質(zhì)］(左￡［2如，2ht+n］(k

性遞增函數(shù)

￡Z)上是遞減

Z)上是遞減函數(shù)

函數(shù)

周周期是2kn(k￡

周期是2E(k￡Z且周期是kx(k￡Z且攵W0),最小

期Z且kWO),最小

20),最小正周期是2兀正周期是兀

性正周期是2n

對(duì)稱軸是x=

對(duì)對(duì)稱軸是x=3+ht(k￡對(duì)稱中心是

稱kn(k^Z),對(duì)稱(y,0)(AeZ)

Z),對(duì)稱中心是(E,0)(k

性中心是

eZ)(E+率0)(&￡

Z)

pH0Ba----------------------------------------

1、(2023年全國(guó)1卷)已知函數(shù)〃x)=cos5-13>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則口的取值范圍

是.

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)圖象和零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

難度：中等偏下.

【答案】［2,3)

【分析】令〃x)=0,得8s3X=1有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)镺Wx這2兀，所以。這3；於兀，

令/(K)=8S0X-1=O,則8S0X=1有3個(gè)根，

令E=tar,則cos，=l有3個(gè)根，其中16［0,2師］,

結(jié)合余弦函數(shù)y=cosr的圖象性質(zhì)可得4元423n<6元，故24/<3,

斗7....［工…尸1?…覺(jué)不

OX^Z2?X^/4?、3Z6*7

故答案為：［2,3).

2、【2022年北京】已知函數(shù)/(%)=COS?%-si數(shù)為,則()

A./(》)在(一］一上單調(diào)遞減B.f(x)在(一%上單調(diào)遞增

C.f(T)在(0彳)上單調(diào)遞減D.f(x)在仁,工)上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)得出f(x)=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閒(x)=cos2%—sin2x=cos2x.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)一K'V/時(shí)，F(xiàn)V2XV-或則/⑺在(一；,一9上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一:V%V.時(shí),一：〈2%〈.則八%）在（一：*）上不單調(diào)，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)OV%<g時(shí)，0<2”<g,則f（x）在（0,§上單調(diào)遞減，C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)工時(shí)，<2x<^,則f（幻在弓,工）上不單調(diào)，D錯(cuò).

故選：C.

1、y=|cosX的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A[一,,用B.[0,n]

cQ,第D.修,2冗]

【答案】D

【解析】將y=cosx的圖象位于x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱向上翻折，工相上方（或x軸上）的圖象不變,

即得j=|cosM的圖象（如圖）.

故選D.

V

1

—江O2Ln3n2宣X

22萬(wàn)

2、函數(shù)/）=,2$/3一1的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[畀4E,專+4左兀卜0B.；+42,生+同伏￡Z）

C.2+4依，系+4瓦卜0D.3+軟，焉+42卜仁2）

【答案】B

【解析】由題意，得解in3-120,

女￡2+2E,第+2也卜￡2）,

則g+4%,|+4^eZ）.

3、（2022?河北邯鄲?二模）函數(shù)〃x）=sin（2x+1）在卜若）上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,1]B.-孚

C,y=(2sinxcosx)2=sin22x^l,當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=±l,即1=與+￡,Z￡Z時(shí)取"="，即當(dāng)上=當(dāng)十孑，kGZ

時(shí)，ymax=1,故c正確；對(duì)于D,依題意，由tanx,tan2x都殉意義，且tan2x-tanx^O,得x尹E,且xWE

sinKsin2x

,7ii,kKn，-cosXCOS2J(sinxsin2xsinxsin2x.~,

+z,且x六k+t7,kGA、y=~~o----：—=----------------:—=---：------=sin2x,顯然sin2x最大

224,sin2x_sinxsin2xcosx—cos2xsinxsmx

cos2xcosx

值為1,此時(shí)，X=4冗+/，％￡Z,而履+果2rZ使函數(shù)y=二丁,ta：:無(wú)意義,即sin2r不能取到1,故

，fIanLX—lallX

D不正確.故選BC.

考向一三角函數(shù)的定義域

例1(1)函數(shù))，一嬴匕的定義域?yàn)?/p>

【答案】卜卜舞+E,&￡Zj

【解析】要使函數(shù)有意義，

tanx—l^O,

貝/n

&￡Z,

xW：+E,2￡Z,

即＜

左￡Z.

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

卜,若+E，且x#］+E,}.

(2)函數(shù)y=*\/sin%—cos、的定義域?yàn)?/p>

【答案】2/+率2E+苧(A￡Z)

【解析】要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx20.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出［0,2兀］上尸sinx和y

=cosx的圖象，

如圖所示.

y=cosx

1

27r

在[0,2兀]內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為:，與，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2心所以原函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

卜1,,kRZp

變式、函數(shù)>,=lg(sin2x)+-9—x2的定義域?yàn)?

匹

【答案】-3,-?Ju[o

【解析】,??函數(shù)y=lg(sin2x)+,\/9—P,

sin2x>0,

???應(yīng)滿足

9一?20,

.n..

太兀<￥<7+々兀,

解得12其中女￡Z,

、一3WxW3,

_34<一5或

???函數(shù)的定義域?yàn)?3,一加(。8-

方法息結(jié)：三角函數(shù)定義域的求法

(1)以正切函數(shù)為例,應(yīng)用正切函數(shù)y=tanx的定義域求函數(shù)y=Atan(s+3)的定義域轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的

三角不等式.

(2)求復(fù)雜函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的三角不等式.

2.簡(jiǎn)單三角不等式的解法

(1)利用三角函數(shù)線求解.

(2)利用三角函數(shù)的圖象求解.

考向二三角函數(shù)的值域(最值)

例2、已知a>0,函數(shù)/(x)=-2asin(2A+1)+2a+兒段)在R上的值域是[-5,1],求〃的值.

【解析】因?yàn)閟in3+5)￡[-1，I]，所以一2asin(2x4-^)￡[-2凡2a],所以4a+b].

33

因?yàn)橥?的值域是[—5,1],所以b=-5,4a+b=l,解得。=]>0,故a的值為？

變式：、已知〃>0,函數(shù)/W=-2asin(2x+1)+勿+。當(dāng)方時(shí)，段)的值域是[-5,1],求〃

的值.

【解析】因?yàn)槁?,即，所以以+同專到所以sinQ+翡[一?所以一2asin⑵+/

￡[-2〃，a],所以3a+b].因?yàn)?r)的值域是[-5,1],所以力=-5,3a+8=l,解得。=2>0,故

a的值為2.

變式2、求下列函數(shù)的值域:

sinx-2

⑴)-sinx—1

，八、sinxcosx，八

⑵產(chǎn)sinLcosx+l(0*m.

sinx—2IIq

【解析】⑴因?yàn)閥=..=1——；」所以當(dāng)sinx=-l時(shí)，jmi?=I+5=i所以該函數(shù)的值域

sinx~1sinx~1LL

為假+8)

(2)令，=sinx—cosx,則尸[一

因?yàn)?4＜兀，所以一融一；〈竽，

I

所以一1UW，1又因?yàn)閟inxcosx=-2-，

1_*

sinxcosx=^_=1^L

見(jiàn)以丁sinx-cosx+1r+12'

所以與魚(yú)?尸1,所以該函數(shù)的值域?yàn)閇上乎，1)

方法息結(jié)：1.直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解.

2.化一法：將所給三角函數(shù)化為y=Asin(3x+6)+k的形式，由正弦函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域.

3.換元法：將sinx,cosx,sinxcosx或sinx±cosx換成t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)求解.

考向三三角函數(shù)的單調(diào)性

例3、求函數(shù)y=sin(2t一§的單調(diào)增區(qū)間.

【解析】由2E^＜2X生＜2MI宗A￡Z),得從合WxWEI得伏￡Z),

故所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[也一含，桁+置伙WZ).

變式1、求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

(l)y=sin(M}K￡[0,用；

(2)j=sin(-2x+§；

(3)j=sinQ一圳.

【解析】(1)由2E—9公一卜2仙十親女￡Z),得E—盍含k￡Z).

因?yàn)閤￡[0,it],所以O(shè)WxW招，巖WXWJI,

故所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［0,缶［皆，兀］

（2）因?yàn)閥=sin（―2x+§=—sin（合一品

所以由2履+畀2x—卜2E+苧伏￡Z）,

得尿+居

故所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［E+瑞，E+巖］,kd.

71jrLjrjrIrjr57r

（3）由EW2x—wWE+;y（%￡Z）,得~7+wWxWh+y7（2￡Z）,

3乙4ONIN

故所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為傳+1y+77］,&wz.

變式2、設(shè)M>0,若函數(shù)y=4sins在區(qū)間［一號(hào)，與上單調(diào)遞增，求切的取值范圍.

【解析】令f=tox,則y=4sint

因?yàn)閒y>0,xe-j,.,

所以r=cox在區(qū)間一熱：上單調(diào)遞增，

Tin）R3

所以一亍WfW7.

因?yàn)閥=4sincox在區(qū)間［一54上單調(diào)遞增，

所以「一幽幽］』」可

圻以3，4H2，2」，

r3

-

m2

得l69

又①乂），所以0<儂/

3

故（的取值范圍是（0，-

02

方法息結(jié)：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性.首先化成產(chǎn)Asin（3+p）的形式，再把S+R看作整體代入尸sinx

的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)求x的范圍即可.對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)①的范圍的問(wèn)題，首先，

明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集；其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間

的關(guān)系可求解.考查運(yùn)算求解能力，整體代換及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

考向四三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性

例4、（2022年湖北省荊州市高三模擬試卷）（多選題）已知函數(shù)/（x）=2（sinx+|sinx|）cosx,給出下列

四個(gè)命題,其中正確的是()

A./V)的最小正周期為"B./⑶的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

71冗

C./G)在區(qū)間一:，二上單調(diào)遞增D.f⑶的值域?yàn)閇-2,2]

_44_

【答案】BD

【解析】/(x4-^)=2(-sinx+|sinx|)-(-cosx)=2(sinx-|sinx|)cosx^/(x),所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

f(—=2sin—4-sin—cos—=0,f—+x=2(cosx+|cosx|)(-sinA:),

=2(cosx+|cosAj)sinx=

所以〃幻的圖象關(guān)于點(diǎn)oj中心對(duì)稱，B選項(xiàng)正確.

/（0）=2（0+0）1=0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

、4sinxcosx,2k/r<x<2k7r+2sin2x,2k;r<x<2Z;r+冗

’0,2k兀+TT<X<2k兀+2%0,2k7r+乃<x<2k兀+2〃

所以/a）的值域?yàn)閇-2,2],D選項(xiàng)正確.

故選：BD

變式1、（2022年廣東普寧市高三模擬試卷）（多選題）對(duì)于函數(shù)〃x）=kinx|+cos2x,下列結(jié)論正確得

是（）

971

A.〃力的值域?yàn)?,-B.“X）在0,-單調(diào)遞增

_oJL2_

C.〃力的圖象關(guān)于直線X=（對(duì)稱D.“X）的最小正周期為乃

【答案】AD

【解析】

/(x)=|sinx|+cos2x,xeR?

所以/(-x)=|sin(-x)|+cos(-2x)=|sin目+coslx=f(x),

所以/(*)是偶函數(shù)，

所以乃是函數(shù)/*）的周期,

又/嗚=sin(x4-y)+cos2(x+y)=|cosx\-cos2xwf(x),

2

故的最小正周期為乃.

對(duì)于A,因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，令xw［0,乃］,止匕時(shí)sinxNO,

所以/(x)=sinx+1-2sin2x,

99

令，=sinx,f￡[0,1],所以有g(shù)")=—2r+f+l=—2+可知其值域?yàn)楣蔄正確;

88

對(duì)于B,由A可知，g（。在［0,，上單調(diào)遞增，在（；［］上單調(diào)遞減,

因?yàn)閒=sinx,fw[0,l],

所以/（X）在上不是單調(diào)遞增，故B不正確;

對(duì)于C因?yàn)椤?）=1,f=0,

所以〃o）R?，

所以『（力的圖象不關(guān)于直線x=（對(duì)稱，故C不正確；

對(duì)于D,前面已證明正確.

故選：AD

變式2、（2022年福建莆田市模擬試卷）（多選題）已知函數(shù)/（x）=2|sinx+cosx|-sin2x,則（）

7F

A.函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2萬(wàn)B.x=——為函數(shù)y=/（x）的一條對(duì)稱軸

4

7171

C.函數(shù)f（x）的最小值為1,最大值為2D.函數(shù)/（%）在—上單調(diào)遞減

?4

【答案】BC

【解析】

因?yàn)椤?X+4)=2卜in(x+/r)+cos(x+;r)|-sin2(x+4)=2ksinx-cosj|-sin2x,所以

/(x+^)=2|sinx+cosx|-sin2x=/(x),A錯(cuò)誤；

因/(---x)=2|sin(---x)+cos(---x)|-sin2(---x)=2|-cosx-sinx|-sin(一乃-2x)

2222

=2|sinx+cos'-sin2x=f(x),

所以『(一?-幻=/(-?+%)所以函數(shù)/［一?+")為偶函數(shù)，所以/(一?+“|的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，

7T

所以/=——為函數(shù)y=/(幻的一條對(duì)稱軸，B正確；

4

令binx+cosM=f,有sin2x=/一1，則、=2卜111%+(：05%|—5皿21=一/+21+1,當(dāng)xeR時(shí)，

t=V5sin(x+()e［o,&］,

因?yàn)閥=一/+2］+1在［0,1］上單調(diào)遞增，在［1,&］上單調(diào)遞減，

又"0)=1,/(1)=2,/(&)=-2+20+1=20?iv2

所以當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)“X)取最大值，最大值為2,當(dāng)冗=0時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為1，C正

確；

函數(shù)/(“由》=一*+2/+1和/=kinx+cosN復(fù)合而成,當(dāng)xe時(shí),

函數(shù)f=卜inx+cosx|=sinx+cosx=V^sin(x+?),因?yàn)閤+?w梟弓，

所以函數(shù)1=>/25mx+在—,—上單調(diào)遞減，所以函數(shù)，Tsinx+cos目在7,事上單調(diào)遞減，且

/G[1,V2],

函數(shù)了=一r+2，+1在[1,a]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)〃力在上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤，

故選：BC

變式3、(2022年福建，杭縣高三模擬試卷)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：/(X)-.

①〃2力為奇函數(shù)；②“31+1)為偶函數(shù)；③/(X)在R上的最大值為2.

【答案】/(x)=2siny(答案不唯一)

【解析】分析函數(shù)的三條性質(zhì)，可考慮三角函數(shù)，

因?yàn)椤?x)為奇函數(shù)，f(x)在R上的最大值為2,

jrr

所以函數(shù)/(%)的解析式可以為/(x)=2sin萬(wàn).

對(duì)于①，/(2x)=2sin7tr,因?yàn)?sin()(一x))=-2sin7L￥,所以/(2x)為奇函數(shù)，符合；

3n(-x)37cx

對(duì):②，/(3x+l)=2sin./x+D=2cos網(wǎng)因?yàn)?cos=2cos—,所以/(3x+l)為偶

222

函數(shù)，符合；

irr

對(duì)于③，f(x)=2sinw的最大值為2,符合.

jrr

故答案為：f(x)=2sin—(答案不唯一)

方法息結(jié)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性.求7U)的對(duì)稱軸，只需令求x即

可；如果求大幻的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令3+伊=女"伏WZ)，求上即可.奇偶性可以用定義判斷，也可

以通過(guò)誘導(dǎo)公式將y=4sinQx+0)轉(zhuǎn)化為產(chǎn)Asin或y=Acos3乂考查運(yùn)算求解能力?整體代換及轉(zhuǎn)化與

化歸的思想.

3(2022年福建上杭縣模擬試卷)“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于(%,0)中心對(duì)稱”是“sin/=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

k

y=tanx的對(duì)稱中心為(一兀,0),女wZ,y=sinx的對(duì)稱中心為(E,0),攵eZ,y=tanx的對(duì)稱中心不一

定為y=sinx的對(duì)稱中心；y=sinx的龍■稱中心?定為y=tanx的對(duì)稱中心.

故選：B.

2、(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/3=V5sin2人十28s2八十，〃在區(qū)間。卷上的最大值為6,則

常數(shù)加的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

/(x)=V5sin2x+2cos2x+/w=>/3sin2x+cos2x+w+1=2sin^2x+^+///+l,

當(dāng)時(shí)，-^2x+-^—,

2666

則函數(shù)的最大值為/(x)=2sin]+m+l=m+3=6,解得加=3.

故選：C.

/

3、(2。22年湖南常德市模擬試卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|sinx|,若。=/(兀-ln2)/二八嚏；2),c=fV,

\7

則()

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<b