2024-2025學(xué)年湖北省荊州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省荊州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得或，所以，故選：D2.已知命題，則（）A. B.C. D.時(shí)，為真命題【正確答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】命題，故，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，方程的，所以方程有解，為假命題，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B3.（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值.【詳解】.故選：C4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】本題首先根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性排除,再根據(jù),對(duì)應(yīng),排除,進(jìn)而選出正確答案.【詳解】由函數(shù)，可得，

故函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以是偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此錯(cuò)誤；當(dāng)0時(shí)，，所以錯(cuò)誤．故選:5.若，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，，而，故，故選：D6.已知函數(shù)，若，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由，可求的值.【詳解】函數(shù)，，，所以.故選：C7.“”是“滿足對(duì)任意都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求得，利用包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若，不妨令，則，則，即，可知函數(shù)單調(diào)遞減，可得，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰皾M足對(duì)任意都有成立”的充分不必要條件.故選：A.8.已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，，且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由平移知識(shí)得出是奇函數(shù)，進(jìn)而由單調(diào)性畫出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖像解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，則等價(jià)于.函數(shù)簡(jiǎn)圖如下圖所示：由平移變換可知，函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下圖所示：等價(jià)于或.由圖可知，的解集為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確是（）A.若，，則B.若，，則C.對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有D.若二次函數(shù)，實(shí)數(shù)，則【正確答案】BCD【分析】根據(jù)作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，，由于，，所以，故，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,，由于，，所以，故，B正確，對(duì)于C，，故C正確，對(duì)于D,，故，D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的值域?yàn)镃.不等式的解集為D.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】探討指數(shù)位置的函數(shù)性質(zhì)，再利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)AB條件分析判斷AB；解指數(shù)不等式判斷C；利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上的值域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A正確，B錯(cuò)誤；不等式，解得，C正確；依題意，函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：ACD11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為0D.當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍為【正確答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)新定義結(jié)合函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷A，B，C；由圖象得出時(shí)函數(shù)的最大值，結(jié)合不等式恒成立即可求得a的范圍，判斷D.【詳解】在同一坐標(biāo)系作出和的圖象如圖所示，聯(lián)立可得，即得圖中，由對(duì)稱性可得，則，其圖象是圖中實(shí)線部分．則，故A錯(cuò)誤；由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為0，無最大值，B，C正確；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，D錯(cuò)誤，故選：BC12.已知不等式對(duì)恒成立，則的值可以是（）A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】由題意先對(duì)不等式左邊變形并不斷利用基本不等式求出它的最小值，注意取等條件是否成立，然后將恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)換，即可求出參數(shù)的范圍，最后對(duì)比選項(xiàng)即可求解.【詳解】由題意，第一個(gè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，第二個(gè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；又不等式對(duì)恒成立，等價(jià)于，解得，對(duì)比選項(xiàng)可知的值可以是或或.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵是將不等式左邊變形，利用基本不等式求最小值，從而可將恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而順利求解，靈活的變形技巧是必不可少的，當(dāng)然利用基本不等式求最小值時(shí)，要注意驗(yàn)證取等條件.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則的值為______.【正確答案】34【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算，平方即可求解.【詳解】由可得，進(jìn)而，故3414.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則a的取值范圍為________.【正確答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，求出參數(shù)，再借助單調(diào)性解不等式即得.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，不等式化為，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此，解得，所以a的取值范圍為.故15.已知函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_____.【正確答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性討論最值取值情況即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，得，綜上，實(shí)數(shù)的值是.故答案為.16.已知圖象連續(xù)不斷函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，總有，則滿足不等式的a的取值范圍為_______.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性以及奇偶性，即可根據(jù)單調(diào)性求解.【詳解】由，，當(dāng)時(shí)，可得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，令，由于在單調(diào)遞減，由于在單調(diào)遞減，又，所以為奇函數(shù)，故在單調(diào)遞減，所以可得，即，所以，解得，故四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）設(shè)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，由一元二次的解化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)并集運(yùn)算求解，（2）根據(jù)子集的包含關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】,當(dāng)時(shí),,.小問2詳解】，,又，，，，實(shí)數(shù)a的取值范圍為18.若關(guān)于的不等式的解集是.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【正確答案】（1）1（2）4【分析】（1）利用不等式解集就是方程等于零的兩根求出即可；（2）利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】不等式的解集是，和是方程的兩個(gè)根，,.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍），時(shí)取等號(hào)，故.19.已知函數(shù)增函數(shù)，且.（1）若，，求的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值恰為，而最大值恰為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）16（2）存在，，【分析】（1）根據(jù)以及函數(shù)單調(diào)性可求解，進(jìn)而又基本不等式乘“1”法即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡(jiǎn)可得，是方程的兩個(gè)根，即可一元二次方程的根求解.【小問1詳解】，，，或，又函數(shù)是增函數(shù)，，，.由，得，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【小問2詳解】為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，由，得，即，，是方程的兩個(gè)根，，，，存在，滿足要求.20.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和.（1）求證：是奇函數(shù)，并判斷的單調(diào)性（不需要證明）；（2）若，使得不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析，增函數(shù)（2）【分析】（1）把圖象上的點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求得，得到解析式，由定義法證明函數(shù)是奇函數(shù)，由解析式判斷的單調(diào)性；（2）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，，使得不等式都成立，等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，由單調(diào)性求最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，則有，解得，所以，函數(shù)定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)是奇函數(shù).由函數(shù)和都是R上的增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增.【小問2詳解】是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)，可得，若，使得不等式都成立，等價(jià)于，恒成立，即，在上恒成立，設(shè)，，且，有，由，則，，，則，即，故在上單調(diào)遞減，，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.先看下面的閱讀材料：已知三次函數(shù)（），稱相應(yīng)的二次函數(shù)為的“導(dǎo)函數(shù)”，研究發(fā)現(xiàn)，若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減.例如：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，由，得，由，得或，所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減.結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：（1）求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）某市政府欲在文旅區(qū)內(nèi)如圖所示的矩形地塊中規(guī)劃出一個(gè)兒童樂園（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形（線段和為兩條底邊，），已知，，，其中曲線是以為頂點(diǎn)、為對(duì)稱軸的拋物線的一部分.①設(shè)，求出梯形的面積與的解析式；②求該公園的最大面積.【正確答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減（2）①（）；②【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間；（2）由導(dǎo)數(shù)研究最值.【小問1詳解】的導(dǎo)函數(shù)為,由，得，由，得或，所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減.【小問2詳解】①以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線所在拋物線的方程為（），拋物線過，，得，曲線所在拋物線的方程為，又，，則所在直線為，（），則，，公園的面積（），②由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故該公園的最大面積為．22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）如果關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)解，，，求的取值范圍.【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【分析】（1）直接由分段函數(shù)定義、二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）首先分類討論求出滿足題意的參數(shù)的取值范圍，然后再根據(jù)求根公式、韋達(dá)定理將表示成的函數(shù)，從而即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間