2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題(含解析)_第1頁
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2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試時間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由交集的概念即可得解.【詳解】由題意集合,則.故選:A.2.已知函數(shù),則()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過換元法求得的解析式,代入即可.【詳解】因為,令,,即,所以.故選:B3.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】,或,所以,“”“”,但“”“”,所以,“”是“”的充分不必要條件.故選:A4.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接由求解的取值集合得答案.【詳解】∵函數(shù)的定義域為,則由,解得∴函數(shù)的定義域為故選:D.5.若函數(shù)是R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),則下列關(guān)系成立的是()A.B.C.D.【正確答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】∵,且在區(qū)間上是增函數(shù),∴.故選:B.6.若不等式在上有解,則的取值范圍是()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知可得在區(qū)間上有解,求出在區(qū)間上的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,所以在區(qū)間上有解,設(shè),,其中在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以有最小值為,所以實數(shù)的取值范圍是.故選:C.7.已知,,則下列選項正確的是()A. B.C. D.【正確答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù),,由其單調(diào)性結(jié)合圖象得出大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,,,易知函數(shù),為增函數(shù).函數(shù),與函數(shù)的圖象,如下圖所示:由圖可知,.又,,所以.綜上,.故選:B8.設(shè)函數(shù)的定義域為,對于任意,若所有點構(gòu)成一個正方形區(qū)域,則實數(shù)的值為()A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【正確答案】D【分析】先求出.進(jìn)而根據(jù)在的單調(diào)性,得出函數(shù)在處取得最大值.根據(jù)已知即可列出關(guān)系式,求解即可得出答案.【詳解】由已知可得,.因為,所以,解得,所以.因為在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,處取得最小值,所以,在處取得最大值,所以,函數(shù)在處取得最大值.因為,所有點構(gòu)成一個正方形區(qū)域,所以,所以.故選:D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.9.已知,都為正數(shù),且,則下列說法正確的是()A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】利用基本不等式一一判斷即可.【詳解】對于A:,,,,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即,時,等號成立,即的最大值為,故A正確,對于B:,,,,由A可知,,,當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立,即的最小值為,故B正確,對于C:,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,顯然不成立,所以的最大值取不到,故C錯誤,對于D,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,即的最小值為,故D正確,故選:ABD.10.已知,函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】根據(jù)給定的函數(shù),按分類探討,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)增長速度的大小判斷作答.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,函數(shù)圖象為曲線,A可能;當(dāng)時,函數(shù)在上的圖象是不含端點的射線,B可能;當(dāng)時,取,有,即函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點,又,隨著的無限增大,函數(shù)呈爆炸式增長,其增長速度比的大,因此存在正數(shù),當(dāng)時,恒成立,即,C可能,D不可能.故選:ABC11.設(shè)函數(shù),若表示不超過的最大整數(shù),則的函數(shù)值可能是()A.0 B. C.1 D.2【正確答案】AB【分析】先得到函數(shù)的值域,從而得到的范圍,結(jié)合條件即可求解.【詳解】因為,則,所以函數(shù)的值域是,則的范圍是,于是的函數(shù)值可能是或,故選.12.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,事實上,很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,如:對于形如的代數(shù)式,可以轉(zhuǎn)化為平面上點與的距離加以考慮.結(jié)合綜上觀點,對于函數(shù),下列說法正確的是()A.的圖象是軸對稱圖形 B.的值域是C.先減小后增大 D.方程有且僅有一個解【正確答案】AC【分析】由題得,設(shè),,,則,作出圖形,由點在軸的移動得出的性質(zhì),從而判斷各選項.【詳解】由已知,設(shè),,,則,如圖,由圖形可得點關(guān)于對稱時,的值相等,因此的圖象是軸對稱圖形,它關(guān)于直線對稱,A正確;顯然軸,當(dāng)時,,即,又,而不可能共線,即,所以,B錯;設(shè)在軸上,且在右側(cè),在點右側(cè),與交于點,則,,∴,∴,在軸上點的右側(cè),,∴,即這說明點從向右移動時,遞增,同理在軸從左側(cè)向點移動時,減小,C正確;,,設(shè),則的解是和,有一個解,而有兩個解,因此有三個解,D錯.故選:AC.本題考查數(shù)形結(jié)合思想,題中函數(shù)轉(zhuǎn)化為軸上點到兩定點距離差的絕對值,然后通過點的移動確定函數(shù)的性質(zhì),使得較為復(fù)雜的函數(shù)問題得到解決,解題關(guān)鍵是數(shù)與形的結(jié)合,如兩點間距離公式,直線的斜率公式等等.第Ⅱ卷(非選擇題)三、填空題:本小題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)是冪函數(shù),則實數(shù)的值為______________.【正確答案】或【詳解】由題意,解得m=2或-114.已知在R上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),求得的范圍,即得所求.【詳解】若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,即,故.15.,的最大值為______.【正確答案】【分析】利用對數(shù)運算法則化簡,利用換元法,可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值的求解,根據(jù)可求得最大值.【詳解】,令,,;設(shè),當(dāng)時,,當(dāng)時,取得最大值故答案為.思路點睛:本題考查與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域的求解問題,處理此類問題的思路是能夠利用換元法將函數(shù)化為二次函數(shù)的形式,利用二次函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.16.已知函數(shù),記集合,,若,則實數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由題意設(shè)的兩個根為(設(shè)),應(yīng)用韋達(dá)定理得參數(shù)關(guān)系,寫出集合,解不等式得集合,由兩個集合相等得出,不大于的最小值,消去參數(shù)可得出的范圍.【詳解】因為,所以,設(shè)的兩個根為(設(shè)),,,由得,即,由于,則,且(二次函數(shù)最小值),,因此有,所以,代入得,此式恒成立,代入得,解得.故.關(guān)鍵點點睛:通過不等式的解集形式得出,然后利用集合相等得出間的關(guān)系(相等及不等關(guān)系)從而求得參數(shù)范圍.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)集合,,.(1)若,求實數(shù)的值;(2)若且,求實數(shù)的值.【正確答案】(1)5(2)【分析】(1)由題意得出,再利用韋達(dá)定理求得參數(shù)值;(2)由題意得出,求得值后,再代入檢驗.【小問1詳解】由題可得,由,得.從而2,3是方程的兩個根,即,解得.【小問2詳解】因為,.因為,又,所以,即,,解得或.當(dāng)時,,則,不符合題意;當(dāng)時,,則且,故符合題意,綜上,實數(shù)的值為.18計算:(1);(2).【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化與運算法則即可得解;(1)利用對數(shù)的運算法則,結(jié)合換底公式即可得解.【小問1詳解】.【小問2詳解】.19.已知函數(shù).(1)用定義法證明:在上單調(diào)遞增;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)設(shè),利用作差法證明;(2)判斷函數(shù)是奇函數(shù),然后利用奇函數(shù)性變形不等式,再由單調(diào)性化簡轉(zhuǎn)化為恒成立求最值.【小問1詳解】證明:設(shè)任意兩個實數(shù),滿足,則,∵,∴,,∴,即,所以在R上為單調(diào)遞增;【小問2詳解】原不等式化為,∵,∴是奇函數(shù),∴不等式化為,又在R上是增函數(shù),所以,∴問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,即,∴.20.已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值;(2)若方程有解,求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)求出.根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)推得恒成立,即可得出;(2)由(1)知,根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì),即可得出.換元,根據(jù)基本不等式即可得出,即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得,.因為為R上的偶函數(shù),所以,即,即恒成立,所以,,解得.【小問2詳解】由(1)知,.令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,,即,所以.因為方程有解,即有解,所以.21.“智能”是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞運村里,時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上,車內(nèi)沒有司機,也沒有方向盤,這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車,公交車發(fā)車時間間隔(單位:分鐘)滿足,,經(jīng)測算,該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足:,其中.(1)求,并說明的實際意義;(2)若該路公交車每分鐘的凈收益(元),問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時,該路公交車每分鐘的凈收益最大?并求每分鐘的最大凈收益.【正確答案】(1)35;發(fā)車時間間隔為5分鐘時,載客量為35(2)6分鐘,38元【分析】(1)根據(jù)題意求得,從而說明其實際意義;(2)根據(jù)題意,分類討論的取值范圍,利用基本不等式與反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】因為,所以,實際意義為:發(fā)車時間間隔為5分鐘時,載客量為35.【小問2詳解】因為,所以當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以當(dāng)時,取得最大值38;當(dāng)時,,該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則當(dāng)時,取得最大值28.4;綜上所述,當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時,該路公交車每分鐘的凈收益最大,最大凈收益為38元.22.已知函數(shù),其中常數(shù).(1)若函數(shù)分別在區(qū)間,上單調(diào),求的取值范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù)和,使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),且此時的取值范圍是.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.【正確答案】(1)(2)存在,.【分析】(1)結(jié)合勾形函數(shù)的性質(zhì)、絕對值的定義只要在上的最小值不小于0即可得;(2)作出函數(shù)的圖象得4個單調(diào)區(qū)間,首先確定,以及區(qū)間的兩個端點都不在區(qū)間上,在時有,,再由求出的范圍,然后再分四個區(qū)間討論確定范圍.【小問1詳解】設(shè),∵,∴函數(shù)?x分別在區(qū)間0,2,上單調(diào)且,要使函數(shù)分別在區(qū)間0,2,上單調(diào),則只需;【小問2詳解】如圖,可知,在0,1、、、均單調(diào)函數(shù),顯然,,若,則,,則,若,則,令,,因此,(Ⅰ)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,則兩式相除整理得,∵∴上式不成立即,無解,無取值.(Ⅱ)當(dāng)時,在上單調(diào)

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