高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題規(guī)范解答系列（三）-數(shù)列學(xué)案新人教版

高考大題規(guī)范解答系列(三)一一數(shù)列

考點一判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列

1(2017?全國卷I)記為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知S2=2,S3=-6.

(1)求｛如｝的通項公式；

(2)求S”，并判斷S”+i，S”，S”+2是否成等差數(shù)列.

【分析】(1)看到§2=2,S3=-6,想到S2=ai+a2,53=0+42+03，利用等比數(shù)列的

通項公式求解.

(2)看到判斷S"+1,Sn，S,+2是否成等差數(shù)列，想到等差數(shù)列的等差中項，利用2S”=S“+1

+S.+2進行證明.

【標(biāo)準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)設(shè)｛〃”｝的首項為4],公比為4

0（1+,）=2,

由題設(shè)可得.......................................................2分|得分點①|(zhì)

?i（l+q+爐）一一6,

解得夕=-2,a\=-2.4分得分點②

故｛如｝的通項公式為斯=(-2)”.............................................................6分|得分點③

/jif1—)22"??

(2)由(1)可得*=1_：1=_\+(_1)'丁，....................8分|得分點④|

42n+3—2n+2

由于S"+2+S〃+I=-Q+(-1)"---j------

n+,

22-----------D

=2[—g+(—l)Jy]=2S〃，....................................11分I得分點⑤

故Sm，S”，S“+2成等差數(shù)列...................................12分I得分點⑥I

【評分細則】

①列出關(guān)于首項為⑶，公比為g的方程組得2分.

②能夠正確求出和4得2分，只求對一個得1分，都不正確不得分.

③正確寫出數(shù)列的通項公式得2分.

④正確計算出數(shù)列的前〃項和得2分.

⑤能夠正確計算出S〃+i+S〃+2的值得2分，得出結(jié)論2S〃=S〃+I+&+2再得1分.

⑥寫出結(jié)論得1分.

【名師點評】

1.核心素養(yǎng)：數(shù)列問題是高考的必考題，求數(shù)列的通項公式及判斷數(shù)列是否為等差或等

比數(shù)列是高考的常見題型.本類題型重點考查“邏輯推理”及“數(shù)學(xué)運算”的學(xué)科素養(yǎng).

2.解題技巧：(1)等差(或等比)數(shù)列的通項公式、前〃項和公式中有五個元素0、d(或夕)、

小?！ā”“知三求二”是等差(等比)的基本題型，通過解方程的方法達到解題的目的.

(2)等差、等比數(shù)列的判定可采用定義法、中項法等.如本題采用中項法得出2S.=S.+i+

〔變式訓(xùn)練1〕

(2021?四川省名校聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，且滿足2s”=-a”+〃(〃￡N").

(1)求證：數(shù)列｛斯-3為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)歹IJ｛詼一1｝的前n項和Tn.

［解析］⑴證明：???2&=一%+〃，

當(dāng)幾=1時，2。］=—。］+1,解得0=/

當(dāng)時，2S”-1=一小-|+〃一1,

兩式相減，得2?！?—〃“+%-［+1,

即

又m-9一卜。，

?,?數(shù)列｛詼一多為等比數(shù)列.

(2)由(1)知，數(shù)列卜“一群是以一點為首項，(為公比的等比數(shù)列.

-嫩，

：?兀=一黃一甘=船)"_1］子

,-3

考點二等差、等比數(shù)列的綜合問題

??■例2(2020?天津，19,15分)已知伍〃｝為等差數(shù)列，｛6｝為等比數(shù)列，ai=bi=\,as

=5(O|—。3)，65=4(64—。3)?

(1)求｛如｝和｛兒｝的通項公式；

(2)記｛%｝的前〃項和為S”，求證：S〃S“+2<S/I(〃EN*)；

黨孝〃為奇數(shù)，

(3)對任意的正整數(shù)〃.設(shè)C“=求數(shù)列｛以｝的前2"項和.

￡〃為偶數(shù)

【分析】(1)看到求｛““｝和｛6｝的通項公式，想到求0,6,公差d和公比4

(2)看到求證S"S“+2<&+i想到求出S〃并用作差比較法證明.

(3)看到數(shù)列求和且金通項分奇、偶，因此想到分組求和.

【標(biāo)準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)設(shè)等差數(shù)列(a夕的公差為d,等比數(shù)列｛兒｝的公比為q.由m=1,45=5(%一的),可得d

=1，............................................................1分|得分點①|(zhì)

從而｛為｝的通項公式為小=幾...................................2分得分點②

由加=1,85=4(84一例)，又qWO，可得夕2-4“+4=0,解得g=2,3分|得分點③

從而｛兒｝的通項公式為兒=2"1................................4分|得分點④

⑵證明：由(1)可得&=硬#.................................

5分得分點⑤

故S"S"t2=；〃(〃+l)(〃+2)(〃+3),S3I=；(〃+1F(〃+2)2,.........

6分得分點⑥

從而12—SQ=一女〃+1)("+2)<0,所以SSH2<SS..........

SnSn(i8分得分點⑦

(3。〃-2)b〃(3〃-2)2“r2"、

(3)當(dāng)〃為奇數(shù)時，c〃=9分得分點⑧

〃+2〃(〃+2)〃+2n'

當(dāng)〃為偶數(shù)時，.................................10分得分點⑨

nn(O2*22k2、j2n

對任意的正整數(shù)〃，有鏟一2扇T-后T卜赤11分得分點⑩

kikIx/

和tc2k=f/+*+…①

12分得分點?

尸1k=l

1”132九一3,2n-\

由①得彳=不+京H----―@

Jt=l

由①一②得含怎=；+亳+…+|一季"一]12/1-1

44〃+

E1--

從而得，:然=,一黑.

14分得分點?

2nnnAfl6〃+54

因此孕=守一+部=--對

4〃6〃+54---------

所以，數(shù)列｛C'｝的前2”項和為土■一不益一?..................15分得分點?

【評分細則】

①正確寫出關(guān)于d的方程，求對d得1分.

②求對外的通項公式得1分.

③正確寫出關(guān)于4的一元二次方程，求對0得1分.

④求對仇的通項公式得1分.

⑤求對S1的公式得1分.

⑥求對SX+2,能+1得1分.

⑦求對S”S“i2—S〉i的結(jié)果并證出結(jié)論得2分.

⑧求對n為奇數(shù)時c〃得1分.

⑨求對〃為偶數(shù)時心得1分.

⑩求對〃=2々-1時2c2”1得1分.

*=1

?寫出n=2k時ECZA得1分.

i=l

?用錯位相減法求對的求和得2分.

?求對cn的前2n項和得1分.

【名師點評】

1.核心素養(yǎng)：

數(shù)列的前〃項和是高考重點考查的知識點，錯位相減法是高考考查的重點，突出考查“數(shù)

學(xué)運算”的核心素養(yǎng).

2.解題技巧：

(1)熟記等差、等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式，解題時結(jié)合實際情況合理選擇.如

第(1)問運用了等差、等比數(shù)列的通項公式.

(2)運用作差比較法證明SS?+2<S>i.

(3)本問的關(guān)鍵有兩點：一是分類分別求金的通項；二是當(dāng)〃=2及時用錯位相減法求9

的和.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(2018?天津，18)設(shè)｛為｝是等比數(shù)列,公比大于0,其前〃項和為S〃(〃￡N*),｛6｝是等差數(shù)

列.已知。1=1,。3=。2+2,O|二力3+力5，05=64+266.

(1)求｛斯｝和｛6｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛S〃｝的前〃項和為

①求。；

分1日告(公+一+2)①2"”_

②證樂左伙+1)依+2廠〃+2—2(〃N).

［解析］⑴設(shè)等比數(shù)列優(yōu)〃｝的公比為貝夕>0).

由0=1,〃3=。2+2,可得42-g—2=0.

因為q>0,可得q=2,故0|=2"