2025年冀教初中數(shù)學八上《1軸對稱》教案 4

PAGEPAGE1第十二章軸對稱12.1軸對稱12.2作軸對稱圖形一、知識點1、軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另外一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，兩個圖形關于直線對稱也稱軸對稱。2、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。3、如果兩個圖形關于某一條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。4、兩個圖形關于某一直線對稱，如果它們的對應線段（或延長線）相交，那么交點在對稱軸上。5、如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。（1）軸對稱包含兩層含義：一是有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀、大小完全相同。二是對重合的方式有限制，也就是它們的位置關系必段滿足一個條件，把它們沿某一條下線對折能夠重合。（2）全等的圖形不一定是軸對稱的。兩軸對稱的圖形一定是全等的。（3）軸對稱逆定理的作用是判定兩個圖形是否關于某一直線對稱，它是作對稱圖形的主要依據(jù)。6、軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這直線線是它的對稱軸。7、軸對稱的定義：（1）、有兩個圖形，能夠完全重合，即形都狀大小都相同。（2）、對重合的方式有限制，也就是它們的位置關系必須滿足一個條件：把它們沿某一直線對折后，能夠重合，全等的圖形不一定是軸對稱的，而軸對稱的圖形一定是全等的。8、如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，它是作對稱圖形的主要依據(jù)。9、軸對稱和對稱軸圖形的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：（1）軸對稱是說兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是說一個特殊形狀的圖形。（2）、軸對稱涉及兩個圖形，軸對稱圖形是對一個圖形說的。聯(lián)系：（1）定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合。（2）如果把軸對稱圖形沿著對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就是關于這條直線成軸對稱，那么它就是一個軸對稱圖形，經(jīng)常遇到的軸對稱圖形有：等腰三角形、線段、角、正方形、等腰梯形等。12.1軸對稱練習：1、如圖所示：AB＞AC,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點D，自點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,求證：BE=CF A E G C B F D2、如圖：在四邊形ABCD中，AC、BD交于O，且AB=AD,BC=DC，試問：AC、BD有何關系？為什么?A解：AC垂直平分BD。 B O D C3、糧食部門要修建一個儲運倉庫，如圖所示，按照設計要求：儲運倉庫到兩城市A、B的距離必須相等，且到兩條高速公路a和b的距離相等，儲運倉庫P應修在什么位置？在圖上標出它的位置。 a o ·B ·A b12.2作軸對稱圖形1、作軸對稱圖形概述給出一個圖形和一條直線，即可作出這個圖形關于這條直線的軸對稱圖形，由所給出的直線（對稱軸）位置的不同，得到的軸對稱圖形的位置也不同，在作圖時，始終要注意：任一對對應點的連線段被對稱軸垂直平分。2、作一個圖形關于某一直線的對稱圖形的方法。由于幾何圖形都可以看成由若干個點組成的，所以只要做出這些點關于對稱軸的對稱點，再連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形，因為兩點確定一條直線，所以對于直線形（如三角形、四邊形等），只要作出圖形中的一個特殊點（一般情況下取頂點或線段的端點）的對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。3、平面直角坐標系中關于坐標軸對稱的點的坐標的物征在平面直角坐標系中，點P(x,y)與它關于X軸對稱點的坐標，其橫坐標不變，縱坐標為相反數(shù)。點P(x,y)與它關于Y軸對稱點的坐標，其縱坐標不變，橫坐標為相反數(shù)。作軸對稱圖形的練習1、如圖所示：已知在?ABC中，AB=AC==10,DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于D，若?DBC的周長為16，求BC的長及?ABC的周長。 分析：DB=AD,所以DB+AD=AC,所以 A E D BC2、下列圖形中不是對稱圖形的是（D）A、線段B、相交直線C、有公共端點D、有公共端點的兩條不相等線段3、全等和對稱的關系是(B)A、全等必對稱B、對稱必全等C、全等一定不對稱D、對稱不定全等。4、不重合兩點的對稱軸是（）。5、如圖：某同學打臺球時想通過擊黑球A，使其撞擊桌邊MN后反彈，來擊中白球B，請在圖中標明，黑球撞在MN上哪一點才達到目的？（以球心A、B來代表兩球）·A B· M N分析:作點A關于MN的對稱點A’，連接BA’與MN交于P，連接PA，則點P就是要求的點。則經(jīng)AP撞擊MN，必沿PB反彈擊中白球B。一變：如圖：在∠AOB的內部有一點p，如何在OA和OB上各取一點Q、R，使?PRQ的周長最小。B·p O A分析：作點P關于OA的對稱點，P’，作點P關于OB的對稱點P’’,連接P’P’’,交OA于點R，交OB于點Q，PR、PQ，則?PRQ的周長最小。二變：某班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直列，如圖中的AO、BO,AO桌面上擺滿了糖果，BO桌面上擺滿了桔子，坐在C處的學生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到坐位上，請你幫他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？ A O· B分析：因為這兩列桌子的交角沒有明確，所以應分兩種情況：一種是交角小于90度時，如圖: OA·PB以OA為軸作點P的對稱點P’，以BC為軸作P點的對稱點p’’點，連接p’p’’點，交OA、OB于，M、N，連接PMN所以由P—M—N—P最短。如果OA、OB交于直角，則直接到O取完再回到P點就可以了。變三：再一條大河流中，有一形如三角形的小島，如圖所示，岸與小島有一橋相連，現(xiàn)在準備在小島的各設立一個水質取樣點，水利部門在岸邊設立一個觀測站，每天有專人從觀測站步行去三個取樣點取樣，然后帶回去化驗，請問：三個取樣點分別設在什么位置，才能使得每天取樣所用的時間最短？ A 小島 B D C 觀測站 E分析：設觀測點為E,橋與小島相連點為D，小島的三邊分別為：AB、AC、BC，作D關于AB的對稱點D’，作D關于AC的對稱點C’’,連接C’C’’，與AB、AC交于M、N，則：D、M、N為所求。12.3等腰三角形1、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底，兩腰所夾的角叫頂角，底邊與腰的夾角叫底角。2、三角形的角平分線、中線、和高3、三形全等的判定和性質4、三角形內角和及三邊關系定理5、等腰三角形性質定理等腰三角形的兩底角相等。6、等腰三角形的性質定理：推論一：等腰三角形的頂角平分線平分底邊并且垂直于義邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。推論二：等邊三角形三個內角都相等，并且每個角都等于60度。推論的作用：可證明角相等、線段相等或垂直。7、等腰三角形三線合一：等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高相等相互重合。只要知道其中一個結論，就可以得出其他兩個結論。8、等腰直角三角形的兩個底角相等且都等于45度。9、等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角，或直角，但頂角可為鈍角或直角。10、等腰三角形三邊之間的關系：設腰長為a度長為b，則b211、等腰三角形三角之間的關系:設頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180-2∠B12、等腰三角形的判定定理：如果一個三角形兩個底角相等，那么它所對的邊也相等。（簡寫成等角對等邊）A、該定理的作用：是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù)。B、注意：該定理不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等，因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用底角、和腰的名詞。只有等腰三角形才有底角、腰的概念。13、等腰三角形判定定理的推論：推論一：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論二：有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。推論三：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。14、等邊三角形的判定方法A、運用定義：三條邊相等B、三個角相等C、有一個角是60度的等腰三角形。等腰三角形練習：（解讀）如圖所示：在?ABC中，AB=AC,D在BC上，且，AD=BD，AC=CD求∠BA B D C設：∠B為X度。5X=180，所以∠B=36等腰三角形的周長是30，一邊長是12，求另兩邊長。分兩種情況討論3、如圖，AB=AC，BD=CD,AD的延長線交BC于點E，求證：AE⊥BC。D ADD B E CO4、如圖所示，O為等邊三角形ABC內的一點，∠OCB=∠OBC,求∠BOCO B C5、探究題F在三角形ABC中，AD為BC的中線，E為AC上的一點，BE與AD交于F，若AE=EF，求證：AC=BFF A BDC 分析：證AC=BF，可利用三角形全等，而它們所在的三角形，不全等，故想到可將它們移到一個三角形中，利用等角對對邊來求證。延長AD至M，使DM=AD，連接BM，就可以證出。6、辯析題：D是等腰三角形ABC底邊上的一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE和DF，如圖：當D在什么位置時，DE=DF？并說明理由。D AD E F B C 分析：要使DE=DF需使三角形BFD和三角形DFC全等。所以應在BC的中點即可。7、難題:在?ABC中，AB=AC，∠BAC=80度，P為?ABC內的一點，若∠PBC=10度，∠PCB=30度，求∠PAB的度數(shù)。 A E B CP AAPPB CP分析：以BC為邊做一等邊三角形，連接AE、則BE=EC=BC，E在BC的中垂線上，所以∠AEB=∠AEC=30度。求出?ABE??PBC則角PAB=70度。單元梳理與能力整合軸對稱的應用在中考命題中，此類問題只是一道選擇題，只要求判斷是不是軸對稱圖形和有幾條對稱軸。如l圓、正方形、三角形、平行四邊形、圖標、文字，符號等。線段的垂直平分線如圖：是三角形ABC中∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于F，試說明：∠BAF=∠AFC的理由。 A E B D C F分析：因為EF是AD的垂直平分線，所以∠DAF=∠ADF,而∠ADF=∠B+∠BAD,而∠DAF=∠DAC+∠CAF結論可證。等腰三角形的熱點問題如圖所示：AD是三角形ABC的角平分線，BE⊥AD交AD的延長線與E，EF∥AC,交AB與F，求證：AF=FB A F B D C E等腰三角型的綜合應用如圖：在三角形ABC中，AB=AC，AE⊥AB于E，在BC上截取CD=CA，連接AD，若AD=BD，則∠DAE的度數(shù)是多少？ A B C DE 分析：5∠B=180度，所以∠B=36度，又因為：∠ADC=∠DAC，所以∠ADC=∠DAC=72度，所以∠DAE=90-72=18度。運用線段垂直平分線的性質與判定解題如圖：AB=AC，DE垂直平分AB交AB與D,交AC與E，若三角形ABC的周長為28，BC=8,求三角形的周長。 A D E B C6、與軸對稱有關的作圖如圖：已知∠AOB與線段CD，求作一點P，使點p到CD的兩端點距離相等且到∠AOB兩邊的距離也相等。B C D OA分析：這個點一定在CD的垂直平分線與∠BOA的角分線的交點上。構造直角坐標系中的軸對稱證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如圖：在直角坐標系中作A關于X軸、Y軸的對稱點A’,A’’，連接OA,OA’,OA’’,則X軸為AA’的的垂直平分線。OA=OA’，且∠AOX=XOA’同理OA=OA＇＇∠ＹＯA＝∠ＹＯＡ＇＇，所以∠AOX＋XOA’＋∠ＹＯA＋∠ＹＯＡ＇＇＝180度，所以Ａ＇＇、O、Ａ＇在同一直線上。所以∠ＹＯA+∠AOX=90度。所以∠A’’AA’=90度。所以可證。 y A’A O x A’’與坐標有關的對稱問題如圖：三角形ABC的三個頂點坐標分別為A(-1,5),B(-4,2),C(-2,1),作出與三角形ABC關于y軸的對稱的三角形A’B’C’.轉化思想如圖：在三角形ABC中BA=BC，∠B=120度，AB的垂直平分線交AC于D，求證：AD=12 A C D分析：連接DF，則∠DFC=90度，又因為∠C=30度，所以可證.10、如圖：在三角形ABC中，AB=AC,E為AC上的一點，ED⊥BC于D,交BA的延長線于F,求證：AE=AF.F A E B C分析：∠F+∠B=90度，∠C+∠A