2025年新高考藝術生數學突破講義專題15利用導數解決單調問題

專題15利用導數解決單調問題【考點預測】知識點一：單調性基礎問題1、函數的單調性函數單調性的判定方法：設函數在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數．2、已知函數的單調性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞減．知識點二：討論單調區(qū)間問題類型一：不含參數單調性討論（1）求導化簡定義域(化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；（3）求根做圖得結論(如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區(qū)間段已知，可直接得出結論)；（4）未得結論斷正負(若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負)；（5）正負未知看零點(若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點)；（6）一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導)；求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區(qū)間段)；類型二：含參數單調性討論（1）求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；（3）恒正恒負先討論(變號部分因為參數的取值恒正恒負)；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系)；（5）導數圖像定區(qū)間；【方法技巧與總結】1、求可導函數單調區(qū)間的一般步驟（1）確定函數的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內的一切實數；（3）把函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內的符號，根據的符號判斷函數在每個相應小區(qū)間內的增減性.注①使的離散點不影響函數的單調性，即當在某個區(qū)間內離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增（或遞減）的.例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調遞增函數.②若函數在區(qū)間上單調遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當時，函數在區(qū)間上單調遞增.當時，在這個區(qū)間為常值函數；同理，若函數在區(qū)間上單調遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數的導數大于零，是這個函數在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件.于是有如下結論：單調遞增；單調遞增；單調遞減；單調遞減.【典例例題】例1．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即的定義域為；，當時，；當時，；的單調遞增區(qū)間為．故選：A．例2．（2024·云南昆明·一模）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．為增函數 B．有兩個零點C．的最大值為2e D．的圖象關于對稱【答案】D【解析】A：，令，得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；B：由選項A知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以函數在R上沒有零點，故B錯誤；C：由選項A知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即函數的最小值為，故C錯誤；D：，所以函數圖象關于直線對稱，故D正確.故選：D例3．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域為，且在定義域內單調遞增，在上恒成立，即在上恒成立．令，，，即實數的取值范圍為．故選：B例4．（2024·高三·北京·階段練習）已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】，，令得：，函數的單調遞減區(qū)間為，函數在上單調遞減，，，又函數在上連續(xù)，或，或.故選：C．例5．（2024·江西上饒·一模）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的導函數為 B．在上單調遞減C．的最小值為 D．的圖象在處的切線方程為【答案】C【解析】A：，因此本選項不正確；B：由上可知：，當時，，函數單調遞增，因此本選項不正確；C：由上可知：，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數的最小值為，因此本選項正確；D：由上可知，因為，所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項不正確，故選：C例6．（2024·高三·河北·期末）設函數且在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，在上恒成立，記，則在上恒成立，在上單調遞增，所以只需，解得，故選：A．例7．（2024·高二·廣西河池·期末）已知函數在區(qū)間上不單調，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由.①當時，函數單調遞增，不合題意；②當時，函數的極值點為，若函數在區(qū)間不單調，必有，解得；綜上所述：實數a的取值范圍為.故選：B.例8．（2024·高三·甘肅蘭州·期中）若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，則函數的定義域是，又函數在區(qū)間上單調遞減，由，得，所以，解得，所以實數的取值范圍是．故選：A．例9．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，其中，討論的單調性.【解析】函數，定義域是，，時，時，，時，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.綜上所述：時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.例10．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，當時，求函數的單調區(qū)間.【解析】當時，，該函數的定義域為，，由可得，由可得或，故當時，函數的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.例11．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，其中R.討論的單調性；【解析】依題意，的定義域為，由，得，①當時，恒成立，所以在單調遞增；②當時，令，得，當時，，所以在單調遞減；當時，，所以在單調遞增；綜上，當時，在單調遞增；當時，在單調遞減，在單調遞增.【過關測試】一、單選題1．（2024·高三·山西晉城·開學考試）若在處有極值，則函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，解得，故，當時，，單減；當時，，單增，故函數的單調遞增區(qū)間是.故選：A2．（2024·浙江·模擬預測）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數的定義域為，且，令，解得，所以的單調遞增區(qū)間為.故選：D3．（2024·高三·全國·專題練習）函數f（x）＝2x＋x－2的零點個數是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上單調遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數的零點個數為1.故選B.4．（2024·高二·河南·階段練習）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定義域為，，由，可得，故的單調遞減區(qū)間為．故選：C．5．（2024·陜西榆林·一模）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.故選：B.6．（2024·高三·新疆烏魯木齊·階段練習）若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．因為，所以，所以，所以.故選：C．7．（2024·全國·模擬預測）若函數是上的增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數是上的增函數，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,則，則當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以．故選：C．8．（2024·安徽池州·模擬預測）關于函數，下列說法錯誤的是（

）A．是奇函數 B．是周期函數C．是的唯一零點 D．在上單調遞增【答案】B【解析】對于A中，函數的定義域為，且，所以為奇函數，所以A正確；對于B中，由函數，可得，則為單調遞增函數，所以不存在實數，使得，所以函數一定不時周期函數，所以B錯誤；對于C中，由，得到為單調遞增函數，又由，所以函數有唯一的零點，所以C正確；對于D中，由，得到為上單調遞增函數，所以D正確.故選：B.9．（2024·高三·全國·專題練習）設函數，則函數（

）A．在區(qū)間，內均有一個零點B．在區(qū)間，內均無零點C．在區(qū)間內有一個零點，在區(qū)間內無零點D．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間內有一個零點【答案】D【解析】當時，函數圖象連續(xù)不斷，且，所以函數在上單調遞減.又所以函數有唯一的零點在區(qū)間內.故選：D10．（2024·高三·遼寧·階段練習）已知函數，則“在區(qū)間上單調遞增”的一個充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在區(qū)間上單調遞增等價于在區(qū)間上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要條件，故D正確.故選：D.11．（2024·高三·北京通州·期中）下列函數中，在區(qū)間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A,,所以在上單調遞增，故A錯誤，對于B，由于，所以在上單調遞增，B錯誤，對于C，，故在上單調遞減，C正確，對于D，的圖象如下所示：故在單調遞減，在單調遞增，故D錯誤，

故選：C二、多選題12．（2024·高三·安徽六安·期末）下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】A選項，定義域為，且，故為偶函數，且時，單調遞增，故A正確；B選項，的定義域為，故不是偶函數，故B項錯誤；C選項，時，單調遞減，故C項錯誤；D選項，的定義域為R，且，故是偶函數，且時，，函數單調遞增，故D項正確.故選：AD13．（2024·山西晉城·一模）若一個函數在區(qū)間上的導數值恒大于0，則該函數在上純粹遞增，若一個函數在區(qū)間上的導數值恒小于0，則該函數在上純粹遞減，則（

）A．函數在上純粹遞增B．函數在上純粹遞增C．函數在上純粹遞減D．函數在上純粹遞減【答案】BC【解析】若，則，因為，所以A錯誤．若，則，當時，恒成立，所以B正確．若，則，所以C正確．若，則在上不恒成立，所以D錯誤．故選：BC14．（2024·高三·江西宜春·期中）下列函數中，是奇函數且在區(qū)間上是減函數的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A，函數的定義域為R，是增函數，A不對；對于B，函數的定義域為R，是奇函數，并且在上單調遞減，B對；對于C，函數的定義域為，是奇函數，并且在上單調遞減，C對；對于D，函數的定義域為R，且，是奇函數，對函數求導，當，函數單調遞減，即，解得，所以遞減區(qū)間是.D不對．故選：BC三、填空題15．（2024·高三·全國·專題練習）若函數f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍是．【答案】【解析】由條件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.16．（2024·江西上饒·一模）若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為．【答案】【解析】因為，所以，因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以在上恒成立，即時，恒成立，因為，當且僅當時等號成立，即，所以，故答案為：.17．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍．【答案】【解析】存在，使得可得，構造函數，其中，則，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.18．（2024·高三·全國·專題練習）下列四個函數：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函數是．【答案】①③【解析】法1：(圖象法)分別畫出各個函數的大致圖象．①函數圖象如下圖所示：由圖象可知該函數是凹函數，符合題意；②，，圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數是先凸后凹，不符合題意；③；函數圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數是凹函數，符合題意；④，函數圖象如下圖所示：

由圖象可知：該函數是凸函數，不符合題意，故答案為：①③法2：利用二階導數判斷．①，所以該函數是凹函數，②，顯然當時，，當時，，因此當時，函數先凸后凹，③，是凹函數，④，是凸函數，故答案為：①③.19．（2024·廣西·模擬預測）函數的單調遞增區(qū)間為．【答案】【解析】函數的定義域為，，由得或（因為，故舍去），所以在區(qū)間上單調遞增．故答案為：四、解答題20．（2024·河北·模擬預測）已知函數在處的切線為軸．(1)求的值；(2)求的單調區(qū)間．【解析】（1）因為，所以，依題意且，所以，解得.（2）由（1）可得函數的定義域為，又，令，則，所以（）在定義域上單調遞增，又，所以當時，當時，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.21．（2024·廣東·一模）已知，函數.(1)求的單調區(qū)間.(2)討論方程的根的個數.【解析】（1）因為（）.所以：.由，又函數定義域為，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增.（2）因為，所以：當時，，方程無解；當，函數在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個數為.22．（2024·江西南昌·一模）已知函數.(1)求的單調遞減區(qū)間；(2)求的最大值.【解析】（1），令，得，即，所以的單調遞減區(qū)間為；（2）當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，即的最大值為.23．（2024·廣東韶關·二模）已知函數在點處的切線平行于軸．(1)求實數；(2)求的單調區(qū)間和極值．【解析】（1）由可得：，由題意，，解得；（2）由（1）得，，則，當時，，則在上是減函數；當時，，在上是增函數.故時，函數有極小值為，無極大值.故函數的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數有極小值為，無極大值.24．（2024·高三·貴州安順·期末）已知函數(1)求的單調增區(qū)間；(2)方程在有解，求實數m的范圍.【解析】（1）的定義域為R，，當時，；時，；故單調增區(qū)間為，；（2）由（1）知，函數在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∵，，，，∴，，故函數在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，∴，∴.25．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.【解析】函數的定義域為，求導得，①當，即時，由，得，由，得，因此在上單調遞增，在上單調遞減；②當，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調遞增，在上單調遞減；③當，即時，恒成立，因此在上單調遞增；④當，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．26．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數，，證明：函數在上單調遞減.【解析】證明：因為，，所以，因為，所以，所以在上單調遞減.27．（2024·高三·河南鄭州·階段練習）已知函數在處的切線方程為.(1)求，的值；(2)證明：在上單調遞增.【解析】（1）因為，所以，依題意可得，即，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，則，令，，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，即當時，所以在上單調遞增.28．（2024·高三·河南·階段練習）已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數解，求實數的取值范圍．【解析】（1）當時，，∴，由，得，由，得，所以函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實數解．化為在上存在實數解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數解．29．（2024·高二·安徽滁州·開學考試）已知函數在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調區(qū)間，并求極值.【解析】（1）因為，該函數的定義域為，，則，解得，此時，，經檢驗，，合乎題意.因此，，.（2）因為，該函數的定義域為，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，函數的極小值為，無極大值.30．（2024·高三·吉林長春·期末）已知函數．(1)，求函數的最小值；(2)若在上單調遞減，求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，令，則有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此當時，則